Страница 161, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

687 a) Вычисли периметр правильного шестиугольника со стороной 4,5 см.

б) Периметр правильного пятиугольника равен 9 см. Чему равна длина его стороны?

а)

Периметр правильного многоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Поскольку у правильного многоугольника все стороны равны, его периметр можно найти, умножив количество сторон ($n$) на длину одной стороны ($a$). Формула для вычисления периметра: $P = n \cdot a$.

В данной задаче речь идет о правильном шестиугольнике, у которого 6 сторон, то есть $n = 6$. Длина стороны дана и составляет $a = 4,5$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$P = 6 \cdot 4,5 = 27$ см.

Ответ: 27 см.

б)

Для нахождения длины стороны правильного многоугольника ($a$), зная его периметр ($P$) и количество сторон ($n$), нужно периметр разделить на количество сторон. Формула для вычисления стороны: $a = \frac{P}{n}$.

В этой задаче дан правильный пятиугольник, у которого 5 сторон, то есть $n = 5$. Периметр известен и равен $P = 9$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$a = \frac{9}{5} = 1,8$ см.

Ответ: 1,8 см.

687 a) Вычисли периметр правильного шестиугольника со стороной 4,5 см.

б) Периметр правильного пятиугольника равен 9 см. Чему равна длина его стороны?

688 Построй:

а) правильный шестиугольник со стороной 3 см;

б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см;

в) квадрат с диагональю 7 см;

г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см.

Есть ли у этих многоугольников оси симметрии, центр симметрии? Обладают ли они поворотной симметрией?

а) правильный шестиугольник со стороной 3 см

Для построения используется свойство, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности ($a_6 = R$).
1. Циркулем строим окружность радиусом $R = 3$ см с центром в точке O.
2. Выбираем на окружности произвольную точку А (первая вершина).
3. Не меняя раствора циркуля ($3$ см), ставим его острие в точку A и делаем засечку на окружности, получая точку B. Затем ставим острие в точку B и делаем следующую засечку, получая точку C, и так далее, пока не получим шесть точек.
4. Соединяем последовательно точки A, B, C, D, E, F отрезками. Полученный шестиугольник ABCDEF — искомый.
Этот многоугольник, как правильный с четным числом сторон ($n=6$), имеет 6 осей симметрии, центр симметрии (центр описанной окружности) и обладает поворотной симметрией (при поворотах вокруг центра на углы, кратные $360^\circ/6 = 60^\circ$).
Ответ: Многоугольник имеет 6 осей симметрии, центр симметрии и обладает поворотной симметрией.

б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см

1. Циркулем строим окружность радиусом $R = 2,5$ см с центром в точке O.
2. Проводим через центр O произвольный диаметр AD.
3. Устанавливаем раствор циркуля равным радиусу окружности ($2,5$ см), ставим острие в точку D и проводим дугу, которая пересечет окружность в двух точках, B и C.
4. Соединяем точки A, B и C отрезками. Треугольник ABC — искомый.
Этот многоугольник, как правильный с нечетным числом сторон ($n=3$), имеет 3 оси симметрии (каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны) и обладает поворотной симметрией (при поворотах на углы, кратные $360^\circ/3 = 120^\circ$). Центра симметрии у правильного треугольника нет.
Ответ: Многоугольник имеет 3 оси симметрии, обладает поворотной симметрией, но не имеет центра симметрии.

в) квадрат с диагональю 7 см

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
1. Строим отрезок AC длиной 7 см (это будет одна из диагоналей).
2. Находим его середину O (например, построив серединный перпендикуляр).
3. Через точку O проводим прямую, перпендикулярную AC.
4. На этой прямой от точки O в обе стороны откладываем отрезки длиной, равной половине диагонали, то есть $7 / 2 = 3,5$ см. Получаем точки B и D.
5. Соединяем последовательно точки A, B, C и D. Четырехугольник ABCD — искомый квадрат.
Этот многоугольник, как правильный с четным числом сторон ($n=4$), имеет 4 оси симметрии, центр симметрии (точка пересечения диагоналей) и обладает поворотной симметрией (при поворотах на углы, кратные $360^\circ/4 = 90^\circ$).
Ответ: Многоугольник имеет 4 оси симметрии, центр симметрии и обладает поворотной симметрией.

г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см

1. Строим окружность радиусом $R = 4$ см с центром в точке O.
2. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра. Их концы (4 точки) — первые четыре вершины восьмиугольника.
3. Строим биссектрисы прямых углов, образованных диаметрами. Точки их пересечения с окружностью — это еще четыре вершины.
4. Последовательно соединяем все восемь полученных на окружности точек. Полученная фигура — искомый правильный восьмиугольник.
Этот многоугольник, как правильный с четным числом сторон ($n=8$), имеет 8 осей симметрии, центр симметрии (центр описанной окружности) и обладает поворотной симметрией (при поворотах на углы, кратные $360^\circ/8 = 45^\circ$).
Ответ: Многоугольник имеет 8 осей симметрии, центр симметрии и обладает поворотной симметрией.

688 Построй:

a) правильный шестиугольник со стороной 3 см;

б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см;

в) квадрат с диагональю 7 см;

г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см.

Есть ли у этих многоугольников оси симметрии, центр симметрии? Обладают ли они поворотной симметрией?

689 а) Центр $O$ окружности, описанной около правильного $n$-угольника, соединён с двумя его последовательными вершинами $A$ и $B$ (рис. 135). Чему равна величина угла $AOB$?

б) Как, зная величину угла $AOB$, построить правильный $n$-угольник с помощью транспортира? Построй правильный пятиугольник и определи, есть ли у него оси симметрии, центр симметрии. При каких поворотах он переходит сам в себя?

Рис. 135

Рис. 136

а)

Правильный n-угольник, вписанный в окружность, делит ее на n равных дуг. Центральный угол, опирающийся на одну из этих дуг (и, соответственно, на одну из сторон n-угольника), является частью полного угла в $360^\circ$. Поскольку все n центральных углов, образованных соединением центра с вершинами, равны, то величина одного такого угла, $\angle AOB$, равна полному углу, деленному на количество вершин (или сторон) n.

Таким образом, формула для вычисления величины угла AOB: $\angle AOB = \frac{360^\circ}{n}$

Ответ: Величина угла AOB равна $\frac{360^\circ}{n}$.

б)

Зная величину центрального угла $\angle AOB = \frac{360^\circ}{n}$, можно построить правильный n-угольник с помощью транспортира и циркуля, выполнив следующие шаги:

1. Начертить окружность произвольного радиуса R с центром в точке O.
2. Выбрать на окружности произвольную точку A — это будет первая вершина.
3. Провести радиус OA.
4. Используя транспортир, отложить от радиуса OA угол, равный $\frac{360^\circ}{n}$.
5. Отметить точку B на окружности, через которую проходит вторая сторона построенного угла. Это будет вторая вершина.
6. Повторять эту процедуру, откладывая такой же угол от каждого нового радиуса (OB, OC и т.д.), пока не будут найдены все n вершин.
7. Последовательно соединить все вершины отрезками для получения искомого n-угольника.

Построение и анализ правильного пятиугольника:

Для правильного пятиугольника $n=5$. Величина центрального угла составляет $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$. Построение выполняется по описанному выше алгоритму с использованием угла $72^\circ$.

• Оси симметрии: У правильного n-угольника есть n осей симметрии. Поскольку 5 — нечетное число, каждая ось симметрии правильного пятиугольника проходит через одну из его вершин и середину противоположной стороны. Таким образом, у правильного пятиугольника 5 осей симметрии.
• Центр симметрии: Правильный n-угольник имеет центр симметрии только в том случае, если n — четное число. Так как для пятиугольника $n=5$ (нечетное число), у него нет центра симметрии.
• Повороты: Правильный n-угольник совмещается сам с собой при повороте вокруг своего центра на угол, кратный величине центрального угла $\frac{360^\circ}{n}$. Для пятиугольника это углы, кратные $72^\circ$. Таким образом, пятиугольник переходит сам в себя при поворотах на углы $72^\circ$, $144^\circ$ ($2 \cdot 72^\circ$), $216^\circ$ ($3 \cdot 72^\circ$) и $288^\circ$ ($4 \cdot 72^\circ$). Поворот на $360^\circ$ возвращает фигуру в исходное положение.

Ответ: Правильный пятиугольник имеет 5 осей симметрии и не имеет центра симметрии. Он переходит сам в себя при поворотах на углы $72^\circ, 144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$ вокруг своего центра.

689 а) Центр O окружности, описанной около правильного n-угольника, соединен с двумя его последовательными вершинами A и B (рис. 135). Чему равна величина угла $AOB$?

б) Как, зная величину угла $AOB$, построить правильный n-угольник с помощью транспортира? Построй правильный пятиугольник и определи, есть ли у него оси симметрии, центр симметрии. При каких поворотах он переходит сам в себя?

Рис. 135

Рис. 136

Рис. 135

Рис. 136

690 Паркет составлен из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 136). Найди величину угла правильного восьмиугольника.

Для нахождения величины угла правильного восьмиугольника можно использовать информацию, представленную на рисунке 136. Паркет составлен из правильных восьмиугольников и квадратов, которые стыкуются друг с другом без зазоров.

Рассмотрим любой узел паркета — точку, в которой сходятся углы нескольких фигур. Из рисунка видно, что в каждом таком узле сходятся два угла правильных восьмиугольников и один угол квадрата. Сумма всех углов, сходящихся в одной точке на плоскости, составляет полный угол, то есть $360^\circ$.

Обозначим искомую величину угла правильного восьмиугольника через $\alpha$. Угол правильного квадрата нам известен, он равен $90^\circ$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв сумму двух углов восьмиугольника и одного угла квадрата к $360^\circ$:
$2\alpha + 90^\circ = 360^\circ$

Решим это уравнение, чтобы найти $\alpha$:
$2\alpha = 360^\circ - 90^\circ$
$2\alpha = 270^\circ$
$\alpha = \frac{270^\circ}{2}$
$\alpha = 135^\circ$

Таким образом, величина угла правильного восьмиугольника составляет $135^\circ$.

Для проверки можно использовать общую формулу для вычисления внутреннего угла правильного n-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Для восьмиугольника, у которого $n=8$ сторон, получаем:
$\alpha = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$.
Результаты совпадают.

Ответ: $135^\circ$

690 Паркет составлен из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 136).

Найди величину угла правильного восьмиугольника.

691 Величина угла правильного n-угольника вычисляется по формуле

$\alpha = \frac{180(n - 2)}{n}$

Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного n-угольника для n = 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 20.

Для вычисления величины угла $\alpha$ правильного $n$-угольника воспользуемся данной формулой: $\alpha = \frac{180(n-2)}{n}$.

Для n = 3:

Подставим значение $n=3$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(3-2)}{3} = \frac{180 \cdot 1}{3} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

Для n = 4:

Подставим значение $n=4$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(4-2)}{4} = \frac{180 \cdot 2}{4} = \frac{360}{4} = 90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$.

Для n = 5:

Подставим значение $n=5$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(5-2)}{5} = \frac{180 \cdot 3}{5} = \frac{540}{5} = 108^{\circ}$.

Ответ: $108^{\circ}$.

Для n = 6:

Подставим значение $n=6$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(6-2)}{6} = \frac{180 \cdot 4}{6} = 30 \cdot 4 = 120^{\circ}$.

Ответ: $120^{\circ}$.

Для n = 9:

Подставим значение $n=9$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(9-2)}{9} = \frac{180 \cdot 7}{9} = 20 \cdot 7 = 140^{\circ}$.

Ответ: $140^{\circ}$.

Для n = 12:

Подставим значение $n=12$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(12-2)}{12} = \frac{180 \cdot 10}{12} = 15 \cdot 10 = 150^{\circ}$.

Ответ: $150^{\circ}$.

Для n = 15:

Подставим значение $n=15$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(15-2)}{15} = \frac{180 \cdot 13}{15} = 12 \cdot 13 = 156^{\circ}$.

Ответ: $156^{\circ}$.

Для n = 20:

Подставим значение $n=20$ в формулу:

$\alpha = \frac{180(20-2)}{20} = \frac{180 \cdot 18}{20} = 9 \cdot 18 = 162^{\circ}$.

Ответ: $162^{\circ}$.

691 Величина угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{180(n - 2)}{n}$.

Пользуясь этой формулой, вычисли величину угла правильного $n$-угольника для $n = 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 20$.

692 Можно ли составить паркет:

а) из правильных треугольников и квадратов;

б) из правильных пятиугольников;

в) из правильных треугольников и шестиугольников;

г) из правильных восьмиугольников? Если возможно, то покажи, как многоугольники «сходятся» в общей вершине.

Для того чтобы можно было составить паркет (замостить плоскость без пробелов и наложений), необходимо, чтобы сумма углов многоугольников, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^\circ$. Формула для нахождения внутреннего угла правильного n-угольника: $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Рассчитаем углы для многоугольников, упомянутых в задаче:

• Правильный треугольник (n=3): $\alpha_3 = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ$
• Квадрат (n=4): $\alpha_4 = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$
• Правильный пятиугольник (n=5): $\alpha_5 = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$
• Правильный шестиугольник (n=6): $\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$
• Правильный восьмиугольник (n=8): $\alpha_8 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$

а) из правильных треугольников и квадратов

Проверим, можно ли подобрать такое целое количество треугольников ($k$) и квадратов ($m$), чтобы сумма их углов в одной вершине была равна $360^\circ$. $k \cdot 60^\circ + m \cdot 90^\circ = 360^\circ$ Разделим уравнение на $30^\circ$: $2k + 3m = 12$ Будем искать решения в натуральных числах. Если $m=1$, то $2k = 9$, $k$ не целое. Если $m=2$, то $2k = 12 - 3 \cdot 2 = 6$, откуда $k = 3$. Это решение нам подходит. Таким образом, в одной вершине могут сойтись три правильных треугольника и два квадрата. Их сумма углов будет $3 \cdot 60^\circ + 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.
Ответ: Да, можно. В одной вершине сходятся 3 треугольника и 2 квадрата.

б) из правильных пятиугольников

Угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$. Проверим, делится ли $360^\circ$ на $108^\circ$ нацело. $360 / 108 = 3.333...$ Поскольку результат не является целым числом, невозможно составить паркет только из правильных пятиугольников, так как в вершине будет либо зазор, либо наложение.
Ответ: Нет, нельзя.

в) из правильных треугольников и шестиугольников

Проверим, можно ли подобрать такое целое количество треугольников ($k$) и шестиугольников ($m$), чтобы сумма их углов в одной вершине была равна $360^\circ$. $k \cdot 60^\circ + m \cdot 120^\circ = 360^\circ$ Разделим уравнение на $60^\circ$: $k + 2m = 6$ Будем искать решения в натуральных числах. Если $m=1$, то $k = 6 - 2 \cdot 1 = 4$. Это возможно: 4 треугольника и 1 шестиугольник ($4 \cdot 60^\circ + 1 \cdot 120^\circ = 240^\circ + 120^\circ = 360^\circ$). Если $m=2$, то $k = 6 - 2 \cdot 2 = 2$. Это тоже возможно: 2 треугольника и 2 шестиугольника ($2 \cdot 60^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 120^\circ + 240^\circ = 360^\circ$).
Ответ: Да, можно. Например, в одной вершине сходятся 4 треугольника и 1 шестиугольник.

г) из правильных восьмиугольников

Угол правильного восьмиугольника равен $135^\circ$. Проверим, делится ли $360^\circ$ на $135^\circ$ нацело. $360 / 135 = 2.666...$ Поскольку результат не является целым числом, невозможно составить паркет только из правильных восьмиугольников.
Ответ: Нет, нельзя.

692 Можнo ли составить паркет:

а) из правильных треугольников и квадратов;

б) из правильных пятиугольников;

в) из правильных треугольников и шестиугольников;

г) из правильных восьмиугольников?

Если возможно, то покажи, как многоугольники «сходятся» в общей вершине.

693. Нарисуй в тетради паркет, составленный:

а) из одинаковых ромбов;

б) из одинаковых параллелограммов.

а) из одинаковых ромбов

Паркет из одинаковых ромбов можно составить так, чтобы создать оптическую иллюзию объемных кубов. Для этого удобно использовать ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$.

1. Нарисуйте три одинаковых ромба, соединив их в одной точке тупыми углами ($120^\circ$). Эта фигура будет выглядеть как изометрическая проекция куба. Чтобы усилить эффект, грани «куба» можно раскрасить в разные оттенки.

2. Продолжайте пристраивать такие же «кубы» друг к другу. Каждый новый «куб» будет примыкать к уже нарисованным по одной или двум граням (ромбам).

3. В результате вся плоскость будет заполнена ромбами без пробелов и наложений. В одних вершинах будут сходиться по три тупых угла ромбов, а в других — по шесть острых углов ($6 \times 60^\circ = 360^\circ$).

Ответ: Пример паркета из одинаковых ромбов показан на рисунке выше.

б) из одинаковых параллелограммов

Любым одинаковым параллелограммом можно замостить плоскость, то есть составить паркет. Самый простой способ — это уложить их рядами со сдвигом.

1. Нарисуйте один параллелограмм. Пусть его стороны равны $a$ и $b$, а один из углов равен $\alpha$.

2. Пририсуйте к нему сбоку еще один такой же, совмещая их боковые стороны. Повторяйте, пока не получите горизонтальный ряд.

3. Нарисуйте второй ряд над первым, сдвинув его так, чтобы нижние вершины параллелограммов второго ряда совпали с верхними вершинами параллелограммов первого ряда.

4. Продолжая таким образом, можно покрыть всю плоскость. В каждой внутренней вершине паркета будут сходиться четыре параллелограмма. Сумма углов в такой вершине всегда будет равна $360^\circ$, так как она состоит из двух пар противоположных углов параллелограмма ($ \alpha + (180^\circ - \alpha) + \alpha + (180^\circ - \alpha) = 360^\circ $).

Ответ: Пример паркета из одинаковых параллелограммов показан на рисунке выше.

693 Нарисуй в тетради паркет, составленный:

а) из одинаковых ромбов;

б) из одинаковых параллелограммов.

694 Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему?

Всегда ли это можно сделать?

Да, из 20 (или любого другого количества) одинаковых произвольных треугольников всегда можно составить паркет, то есть замостить часть плоскости без пробелов и наложений.

Ответ: Да, всегда.

Почему?

Это свойство следует из фундаментальных геометрических особенностей любого треугольника. Существует два основных объяснения, почему любой треугольник может замостить плоскость.

Объяснение 1: Через сложение в параллелограмм

Возьмём два одинаковых произвольных треугольника. Если приложить их друг к другу по любой из равных сторон (повернув один из них на $180^\circ$ вокруг середины этой общей стороны), то они образуют параллелограмм. Любой параллелограмм может замостить плоскость без зазоров путем параллельных переносов (простых сдвигов). Так как каждый такой параллелограмм состоит из двух наших исходных треугольников, то это доказывает, что и сами треугольники могут замостить плоскость.

Объяснение 2: Через сумму углов в вершине

Ключевое условие для создания паркета (замощения) — это возможность соединить несколько фигур в одной точке (вершине) так, чтобы сумма их углов в этой точке была равна ровно $360^\circ$.

У любого треугольника есть три угла. Обозначим их величины как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Как известно из геометрии, сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Если мы возьмём шесть одинаковых треугольников и расположим их вокруг одной общей точки так, чтобы в ней сошлись по два угла каждого вида (два угла $\alpha$, два угла $\beta$ и два угла $\gamma$), то общая сумма углов в этой точке составит:

$2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 2(\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Это гарантирует, что треугольники сойдутся в одной точке без зазоров и наложений. Повторяя такое расположение в других вершинах, можно замостить всю плоскость.

Таким образом, форма абсолютно любого треугольника подходит для создания паркета. Заданное количество (20 штук) лишь ограничивает размер фрагмента паркета, который можно составить.

Ответ: Потому что любой треугольник является фигурой, способной замостить плоскость. Это возможно благодаря тому, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, что позволяет шести таким треугольникам идеально сойтись в одной вершине (с суммой углов $360^\circ$), а также потому, что из двух любых одинаковых треугольников можно составить параллелограмм, которым, в свою очередь, легко замостить плоскость.

694 Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему?