Номер 692, страница 161, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 3. Правильные многоугольники - номер 692, страница 161.

Условие 2023.

692 Можно ли составить паркет:

а) из правильных треугольников и квадратов;

б) из правильных пятиугольников;

в) из правильных треугольников и шестиугольников;

г) из правильных восьмиугольников? Если возможно, то покажи, как многоугольники «сходятся» в общей вершине.

Решение 2 (2023).

Для того чтобы можно было составить паркет (замостить плоскость без пробелов и наложений), необходимо, чтобы сумма углов многоугольников, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^\circ$. Формула для нахождения внутреннего угла правильного n-угольника: $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Рассчитаем углы для многоугольников, упомянутых в задаче:

• Правильный треугольник (n=3): $\alpha_3 = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ$
• Квадрат (n=4): $\alpha_4 = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$
• Правильный пятиугольник (n=5): $\alpha_5 = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$
• Правильный шестиугольник (n=6): $\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$
• Правильный восьмиугольник (n=8): $\alpha_8 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$

а) из правильных треугольников и квадратов

Проверим, можно ли подобрать такое целое количество треугольников ($k$) и квадратов ($m$), чтобы сумма их углов в одной вершине была равна $360^\circ$. $k \cdot 60^\circ + m \cdot 90^\circ = 360^\circ$ Разделим уравнение на $30^\circ$: $2k + 3m = 12$ Будем искать решения в натуральных числах. Если $m=1$, то $2k = 9$, $k$ не целое. Если $m=2$, то $2k = 12 - 3 \cdot 2 = 6$, откуда $k = 3$. Это решение нам подходит. Таким образом, в одной вершине могут сойтись три правильных треугольника и два квадрата. Их сумма углов будет $3 \cdot 60^\circ + 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.
Ответ: Да, можно. В одной вершине сходятся 3 треугольника и 2 квадрата.

б) из правильных пятиугольников

Угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$. Проверим, делится ли $360^\circ$ на $108^\circ$ нацело. $360 / 108 = 3.333...$ Поскольку результат не является целым числом, невозможно составить паркет только из правильных пятиугольников, так как в вершине будет либо зазор, либо наложение.
Ответ: Нет, нельзя.

в) из правильных треугольников и шестиугольников

Проверим, можно ли подобрать такое целое количество треугольников ($k$) и шестиугольников ($m$), чтобы сумма их углов в одной вершине была равна $360^\circ$. $k \cdot 60^\circ + m \cdot 120^\circ = 360^\circ$ Разделим уравнение на $60^\circ$: $k + 2m = 6$ Будем искать решения в натуральных числах. Если $m=1$, то $k = 6 - 2 \cdot 1 = 4$. Это возможно: 4 треугольника и 1 шестиугольник ($4 \cdot 60^\circ + 1 \cdot 120^\circ = 240^\circ + 120^\circ = 360^\circ$). Если $m=2$, то $k = 6 - 2 \cdot 2 = 2$. Это тоже возможно: 2 треугольника и 2 шестиугольника ($2 \cdot 60^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 120^\circ + 240^\circ = 360^\circ$).
Ответ: Да, можно. Например, в одной вершине сходятся 4 треугольника и 1 шестиугольник.

г) из правильных восьмиугольников

Угол правильного восьмиугольника равен $135^\circ$. Проверим, делится ли $360^\circ$ на $135^\circ$ нацело. $360 / 135 = 2.666...$ Поскольку результат не является целым числом, невозможно составить паркет только из правильных восьмиугольников.
Ответ: Нет, нельзя.

Условие 2010-2022.

692 Можнo ли составить паркет:

а) из правильных треугольников и квадратов;

б) из правильных пятиугольников;

в) из правильных треугольников и шестиугольников;

г) из правильных восьмиугольников?

Если возможно, то покажи, как многоугольники «сходятся» в общей вершине.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).