Номер 696, страница 162, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 3. Правильные многоугольники - номер 696, страница 162.

Условие 2023.

696 Запиши высказывание на математическом языке и определи, истинно оно или ложно:

а) сумма противоположных чисел равна 0; ($a + (-a) = 0$)

б) произведение взаимно обратных чисел равно единице; ($a \cdot \frac{1}{a} = 1$)

в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям; ($\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$)

г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям. ($\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$)

Решение 2 (2023).

а) сумма противоположных чисел равна 0;

Противоположным для любого числа $a$ является число $-a$. Высказывание утверждает, что их сумма равна нулю. Запишем это на математическом языке: $a + (-a) = 0$

Раскроем скобки: $a - a = 0$. Это равенство является верным для абсолютно любого числа $a$. Например, для $a = 15$, противоположное число равно $-15$, и их сумма $15 + (-15) = 0$. Для $a = -3,4$, противоположное число равно $3,4$, и их сумма $-3,4 + 3,4 = 0$.

Таким образом, данное высказывание истинно.

Ответ: $a + (-a) = 0$, высказывание истинно.

б) произведение взаимно обратных чисел равно единице;

Взаимно обратным для любого числа $a$ (не равного нулю) является число $\frac{1}{a}$. Высказывание утверждает, что их произведение равно единице. На математическом языке это записывается так: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \ne 0$)

Действительно, $a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a} = 1$. Это равенство верно для любого числа $a$, кроме нуля (так как на ноль делить нельзя). Например, для $a=5$, обратное число равно $\frac{1}{5}$, и их произведение $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Для $a=\frac{2}{3}$, обратное число равно $\frac{3}{2}$, и их произведение $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \ne 0$), высказывание истинно.

в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям;

Пусть даны два числа $a$ и $b$ ($a \ne 0, b \ne 0$). Их произведение равно $ab$. Число, обратное этому произведению, — это $\frac{1}{ab}$. Числа, обратные множителям $a$ и $b$, — это $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ соответственно. Высказывание утверждает, что число, обратное произведению, равно произведению обратных чисел: $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$

По правилу умножения дробей, правая часть равенства равна $\frac{1 \cdot 1}{a \cdot b} = \frac{1}{ab}$. Таким образом, мы получаем тождество $\frac{1}{ab} = \frac{1}{ab}$, которое является верным для любых $a$ и $b$, не равных нулю.

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ (при $a, b \ne 0$), высказывание истинно.

г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям.

(Примечание: в формулировке, скорее всего, опечатка и имелись в виду "обратных слагаемым", а не "множителям", так как речь идет о сумме).

Пусть даны два числа $a$ и $b$. Их сумма равна $a+b$. Число, обратное этой сумме, — это $\frac{1}{a+b}$. Числа, обратные слагаемым $a$ и $b$, — это $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$. Высказывание утверждает, что: $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Чтобы проверить истинность этого высказывания, достаточно найти хотя бы один пример, где оно не выполняется (контрпример). Возьмем $a=2$ и $b=3$.

Вычислим левую часть равенства: $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{2+3} = \frac{1}{5}$.

Вычислим правую часть равенства: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Сравниваем результаты: $\frac{1}{5} \ne \frac{5}{6}$.

Поскольку мы нашли контрпример, при котором равенство не выполняется, данное высказывание является ложным.

Ответ: $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$, высказывание ложно.

Условие 2010-2022.

696 Запиши высказывание на математическом языке и определи, истинно оно или ложно:

а) сумма противоположных чисел равна 0; ($a + (-a) = 0$)

б) произведение взаимно обратных чисел равно единице; ($a \cdot \frac{1}{a} = 1$)

в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям; ($\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$)

г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям. ($\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).