Номер 689, страница 161, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 3. Правильные многоугольники - номер 689, страница 161.

Условие 2023.

689 а) Центр $O$ окружности, описанной около правильного $n$-угольника, соединён с двумя его последовательными вершинами $A$ и $B$ (рис. 135). Чему равна величина угла $AOB$?

б) Как, зная величину угла $AOB$, построить правильный $n$-угольник с помощью транспортира? Построй правильный пятиугольник и определи, есть ли у него оси симметрии, центр симметрии. При каких поворотах он переходит сам в себя?

Рис. 135

Рис. 136

Решение 2 (2023).

а)

Правильный n-угольник, вписанный в окружность, делит ее на n равных дуг. Центральный угол, опирающийся на одну из этих дуг (и, соответственно, на одну из сторон n-угольника), является частью полного угла в $360^\circ$. Поскольку все n центральных углов, образованных соединением центра с вершинами, равны, то величина одного такого угла, $\angle AOB$, равна полному углу, деленному на количество вершин (или сторон) n.

Таким образом, формула для вычисления величины угла AOB: $\angle AOB = \frac{360^\circ}{n}$

Ответ: Величина угла AOB равна $\frac{360^\circ}{n}$.

б)

Зная величину центрального угла $\angle AOB = \frac{360^\circ}{n}$, можно построить правильный n-угольник с помощью транспортира и циркуля, выполнив следующие шаги:

1. Начертить окружность произвольного радиуса R с центром в точке O.
2. Выбрать на окружности произвольную точку A — это будет первая вершина.
3. Провести радиус OA.
4. Используя транспортир, отложить от радиуса OA угол, равный $\frac{360^\circ}{n}$.
5. Отметить точку B на окружности, через которую проходит вторая сторона построенного угла. Это будет вторая вершина.
6. Повторять эту процедуру, откладывая такой же угол от каждого нового радиуса (OB, OC и т.д.), пока не будут найдены все n вершин.
7. Последовательно соединить все вершины отрезками для получения искомого n-угольника.

Построение и анализ правильного пятиугольника:

Для правильного пятиугольника $n=5$. Величина центрального угла составляет $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$. Построение выполняется по описанному выше алгоритму с использованием угла $72^\circ$.

• Оси симметрии: У правильного n-угольника есть n осей симметрии. Поскольку 5 — нечетное число, каждая ось симметрии правильного пятиугольника проходит через одну из его вершин и середину противоположной стороны. Таким образом, у правильного пятиугольника 5 осей симметрии.
• Центр симметрии: Правильный n-угольник имеет центр симметрии только в том случае, если n — четное число. Так как для пятиугольника $n=5$ (нечетное число), у него нет центра симметрии.
• Повороты: Правильный n-угольник совмещается сам с собой при повороте вокруг своего центра на угол, кратный величине центрального угла $\frac{360^\circ}{n}$. Для пятиугольника это углы, кратные $72^\circ$. Таким образом, пятиугольник переходит сам в себя при поворотах на углы $72^\circ$, $144^\circ$ ($2 \cdot 72^\circ$), $216^\circ$ ($3 \cdot 72^\circ$) и $288^\circ$ ($4 \cdot 72^\circ$). Поворот на $360^\circ$ возвращает фигуру в исходное положение.

Ответ: Правильный пятиугольник имеет 5 осей симметрии и не имеет центра симметрии. Он переходит сам в себя при поворотах на углы $72^\circ, 144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$ вокруг своего центра.

Условие 2010-2022.

689 а) Центр O окружности, описанной около правильного n-угольника, соединен с двумя его последовательными вершинами A и B (рис. 135). Чему равна величина угла $AOB$?

б) Как, зная величину угла $AOB$, построить правильный n-угольник с помощью транспортира? Построй правильный пятиугольник и определи, есть ли у него оси симметрии, центр симметрии. При каких поворотах он переходит сам в себя?

Рис. 135

Рис. 136

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).