Номер 688, страница 161, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Правильные многоугольники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 688, страница 161.

Условие 2023.

688 Построй:

а) правильный шестиугольник со стороной 3 см;

б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см;

в) квадрат с диагональю 7 см;

г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см.

Есть ли у этих многоугольников оси симметрии, центр симметрии? Обладают ли они поворотной симметрией?

Решение 2 (2023).

а) правильный шестиугольник со стороной 3 см

Для построения используется свойство, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности ($a_6 = R$).
1. Циркулем строим окружность радиусом $R = 3$ см с центром в точке O.
2. Выбираем на окружности произвольную точку А (первая вершина).
3. Не меняя раствора циркуля ($3$ см), ставим его острие в точку A и делаем засечку на окружности, получая точку B. Затем ставим острие в точку B и делаем следующую засечку, получая точку C, и так далее, пока не получим шесть точек.
4. Соединяем последовательно точки A, B, C, D, E, F отрезками. Полученный шестиугольник ABCDEF — искомый.
Этот многоугольник, как правильный с четным числом сторон ($n=6$), имеет 6 осей симметрии, центр симметрии (центр описанной окружности) и обладает поворотной симметрией (при поворотах вокруг центра на углы, кратные $360^\circ/6 = 60^\circ$).
Ответ: Многоугольник имеет 6 осей симметрии, центр симметрии и обладает поворотной симметрией.

б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см

1. Циркулем строим окружность радиусом $R = 2,5$ см с центром в точке O.
2. Проводим через центр O произвольный диаметр AD.
3. Устанавливаем раствор циркуля равным радиусу окружности ($2,5$ см), ставим острие в точку D и проводим дугу, которая пересечет окружность в двух точках, B и C.
4. Соединяем точки A, B и C отрезками. Треугольник ABC — искомый.
Этот многоугольник, как правильный с нечетным числом сторон ($n=3$), имеет 3 оси симметрии (каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны) и обладает поворотной симметрией (при поворотах на углы, кратные $360^\circ/3 = 120^\circ$). Центра симметрии у правильного треугольника нет.
Ответ: Многоугольник имеет 3 оси симметрии, обладает поворотной симметрией, но не имеет центра симметрии.

в) квадрат с диагональю 7 см

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
1. Строим отрезок AC длиной 7 см (это будет одна из диагоналей).
2. Находим его середину O (например, построив серединный перпендикуляр).
3. Через точку O проводим прямую, перпендикулярную AC.
4. На этой прямой от точки O в обе стороны откладываем отрезки длиной, равной половине диагонали, то есть $7 / 2 = 3,5$ см. Получаем точки B и D.
5. Соединяем последовательно точки A, B, C и D. Четырехугольник ABCD — искомый квадрат.
Этот многоугольник, как правильный с четным числом сторон ($n=4$), имеет 4 оси симметрии, центр симметрии (точка пересечения диагоналей) и обладает поворотной симметрией (при поворотах на углы, кратные $360^\circ/4 = 90^\circ$).
Ответ: Многоугольник имеет 4 оси симметрии, центр симметрии и обладает поворотной симметрией.

г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см

1. Строим окружность радиусом $R = 4$ см с центром в точке O.
2. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра. Их концы (4 точки) — первые четыре вершины восьмиугольника.
3. Строим биссектрисы прямых углов, образованных диаметрами. Точки их пересечения с окружностью — это еще четыре вершины.
4. Последовательно соединяем все восемь полученных на окружности точек. Полученная фигура — искомый правильный восьмиугольник.
Этот многоугольник, как правильный с четным числом сторон ($n=8$), имеет 8 осей симметрии, центр симметрии (центр описанной окружности) и обладает поворотной симметрией (при поворотах на углы, кратные $360^\circ/8 = 45^\circ$).
Ответ: Многоугольник имеет 8 осей симметрии, центр симметрии и обладает поворотной симметрией.

Условие 2010-2022.

688 Построй:

a) правильный шестиугольник со стороной 3 см;

б) правильный треугольник с радиусом описанной около него окружности 2,5 см;

в) квадрат с диагональю 7 см;

г) правильный восьмиугольник с радиусом описанной около него окружности 4 см.

Есть ли у этих многоугольников оси симметрии, центр симметрии? Обладают ли они поворотной симметрией?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).