Номер 694, страница 161, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Правильные многоугольники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 694, страница 161.

Условие 2023.

694 Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему?

Решение 2 (2023).

Всегда ли это можно сделать?

Да, из 20 (или любого другого количества) одинаковых произвольных треугольников всегда можно составить паркет, то есть замостить часть плоскости без пробелов и наложений.

Ответ: Да, всегда.

Почему?

Это свойство следует из фундаментальных геометрических особенностей любого треугольника. Существует два основных объяснения, почему любой треугольник может замостить плоскость.

Объяснение 1: Через сложение в параллелограмм

Возьмём два одинаковых произвольных треугольника. Если приложить их друг к другу по любой из равных сторон (повернув один из них на $180^\circ$ вокруг середины этой общей стороны), то они образуют параллелограмм. Любой параллелограмм может замостить плоскость без зазоров путем параллельных переносов (простых сдвигов). Так как каждый такой параллелограмм состоит из двух наших исходных треугольников, то это доказывает, что и сами треугольники могут замостить плоскость.

Объяснение 2: Через сумму углов в вершине

Ключевое условие для создания паркета (замощения) — это возможность соединить несколько фигур в одной точке (вершине) так, чтобы сумма их углов в этой точке была равна ровно $360^\circ$.

У любого треугольника есть три угла. Обозначим их величины как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Как известно из геометрии, сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Если мы возьмём шесть одинаковых треугольников и расположим их вокруг одной общей точки так, чтобы в ней сошлись по два угла каждого вида (два угла $\alpha$, два угла $\beta$ и два угла $\gamma$), то общая сумма углов в этой точке составит:

$2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 2(\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Это гарантирует, что треугольники сойдутся в одной точке без зазоров и наложений. Повторяя такое расположение в других вершинах, можно замостить всю плоскость.

Таким образом, форма абсолютно любого треугольника подходит для создания паркета. Заданное количество (20 штук) лишь ограничивает размер фрагмента паркета, который можно составить.

Ответ: Потому что любой треугольник является фигурой, способной замостить плоскость. Это возможно благодаря тому, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, что позволяет шести таким треугольникам идеально сойтись в одной вершине (с суммой углов $360^\circ$), а также потому, что из двух любых одинаковых треугольников можно составить параллелограмм, которым, в свою очередь, легко замостить плоскость.

Условие 2010-2022.

694 Вырежи из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников и составь из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).