Номер 700, страница 162, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Правильные многоугольники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 700, страница 162.

Условие 2023.

700 Построй математическую модель задачи.

а) Расстояние между городами A и B равно 120 км. Из A в B выехал грузовик, а через 20 мин вслед за ним – автобус, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. С какой скоростью ехал грузовик, если он прибыл в B на 10 мин позже автобуса?

Математическая модель: $ \frac{120}{x} - \frac{120}{x+20} = 0.5 $

б) Из посёлков A и B, расстояние между которыми 16 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 6 км от A. Чему равна скорость пешехода, вышедшего из A, если до встречи он сделал получасовую остановку и его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из B?

Математическая модель: $ \frac{6}{x} + 0.5 = \frac{10}{x+1} $

Решение 2 (2023).

а)

Для построения математической модели и решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость грузовика. Тогда, согласно условию, скорость автобуса равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние между городами А и В равно 120 км. Время, которое грузовик затратил на весь путь, равно $t_г = \frac{120}{x}$ часов. Время, которое автобус затратил на весь путь, равно $t_а = \frac{120}{x + 20}$ часов.

Автобус выехал на 20 минут позже грузовика, а прибыл в В на 10 минут раньше грузовика. Это означает, что общее время, которое грузовик находился в пути, на $20 + 10 = 30$ минут больше, чем время, которое находился в пути автобус.

Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, которое является математической моделью задачи:

$t_г - t_а = 0.5$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 0.5$

Решим это уравнение. Умножим обе части на $2x(x + 20)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $x > 0$):

$120 \cdot 2(x + 20) - 120 \cdot 2x = x(x + 20)$

$240(x + 20) - 240x = x^2 + 20x$

$240x + 4800 - 240x = x^2 + 20x$

$4800 = x^2 + 20x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость грузовика равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

б)

Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из А. По условию, его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из В, значит, скорость второго пешехода равна $(x + 1)$ км/ч.

Пешеходы встретились в 6 км от А. Это означает, что пешеход из А прошел расстояние $S_A = 6$ км, а пешеход из В прошел расстояние $S_B = 16 - 6 = 10$ км.

Оба пешехода вышли одновременно и встретились в одно и то же время. Пусть $T$ — время в часах с момента выхода до момента встречи. Пешеход из В шел все это время без остановок, поэтому время его движения равно $T$. Для него справедливо равенство:

$S_B = v_B \cdot T \implies 10 = (x + 1) \cdot T$

Пешеход из А до встречи сделал получасовую (0.5 часа) остановку. Значит, его время в движении составило $(T - 0.5)$ часов. Для него справедливо равенство:

$S_A = v_A \cdot (T - 0.5) \implies 6 = x \cdot (T - 0.5)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Выразим $T$ из первого уравнения:

$T = \frac{10}{x + 1}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6 = x \cdot \left(\frac{10}{x + 1} - 0.5\right)$

Это уравнение является математической моделью задачи. Решим его:

$6 = x \cdot \left(\frac{10 - 0.5(x + 1)}{x + 1}\right)$

$6(x + 1) = x(10 - 0.5x - 0.5)$

$6x + 6 = x(9.5 - 0.5x)$

$6x + 6 = 9.5x - 0.5x^2$

Перенесем все члены в левую часть и умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

$0.5x^2 + 6x - 9.5x + 6 = 0$

$0.5x^2 - 3.5x + 6 = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Это числа 3 и 4.

$x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Оба корня положительные и могут являться решением. Проверим оба варианта:

1. Если скорость пешехода из А равна $x = 3$ км/ч, то скорость пешехода из В равна $3 + 1 = 4$ км/ч. Время до встречи $T = \frac{10}{4} = 2.5$ ч. Время движения пешехода из А: $2.5 - 0.5 = 2$ ч. Пройденный им путь: $3 \cdot 2 = 6$ км. Это соответствует условию.

2. Если скорость пешехода из А равна $x = 4$ км/ч, то скорость пешехода из В равна $4 + 1 = 5$ км/ч. Время до встречи $T = \frac{10}{5} = 2$ ч. Время движения пешехода из А: $2 - 0.5 = 1.5$ ч. Пройденный им путь: $4 \cdot 1.5 = 6$ км. Это также соответствует условию.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: 3 км/ч или 4 км/ч.

Условие 2010-2022.

700 Построй математическую модель задачи:

а) Расстояние между городами A и B равно 120 км. Из A в B выехал грузовик, а через 20 мин вслед за ним – автобус, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. С какой скоростью ехал грузовик, если он прибыл в B на 10 мин позже автобуса?

Пусть $v_T$ — скорость грузовика (км/ч).

Тогда скорость автобуса $v_B = v_T + 20$ (км/ч).

Время, которое грузовик потратил на путь: $t_T = \frac{120}{v_T}$ (ч).

Время, которое автобус потратил на путь: $t_B = \frac{120}{v_B} = \frac{120}{v_T + 20}$ (ч).

Автобус выехал на $20 \text{ мин} = \frac{1}{3}$ ч позже грузовика.

Грузовик прибыл на $10 \text{ мин} = \frac{1}{6}$ ч позже автобуса.

Уравнение, описывающее задачу:

$\frac{120}{v_T} - \frac{120}{v_T + 20} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

$\frac{120}{v_T} - \frac{120}{v_T + 20} = \frac{1}{2}$

б) Из поселков A и B, расстояние между которыми 16 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 6 км от A. Чему равна скорость пешехода, вышедшего из A, если до встречи он сделал получасовую остановку и его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из B?

Пусть $v_A$ — скорость пешехода, вышедшего из A (км/ч).

Пусть $v_B$ — скорость пешехода, вышедшего из B (км/ч).

Расстояние между поселками $S = 16$ км.

Место встречи: 6 км от A, значит, пешеход из A прошел $S_A = 6$ км.

Пешеход из B прошел $S_B = 16 - 6 = 10$ км.

Пешеход из A сделал остановку на $0.5$ ч.

Скорость пешехода из A: $v_A = v_B - 1$.

Время, затраченное пешеходом из A до встречи (включая остановку): $T_A = \frac{S_A}{v_A} + 0.5 = \frac{6}{v_A} + 0.5$ (ч).

Время, затраченное пешеходом из B до встречи: $T_B = \frac{S_B}{v_B} = \frac{10}{v_B}$ (ч).

Поскольку пешеходы вышли одновременно и встретились, время их пути равно $T_A = T_B$.

Уравнение, описывающее задачу:

$\frac{6}{v_A} + 0.5 = \frac{10}{v_B}$

Подставим $v_A = v_B - 1$:

$\frac{6}{v_B - 1} + 0.5 = \frac{10}{v_B}$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).