Номер 704, страница 163, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Правильные многоугольники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 704, страница 163.

Условие 2023.

Рис. 137

Рис. 138

704

а) На рис. 138 изображён паркет из правильных треугольников и двенадцатиугольников. Найди величину угла правильного двенадцатиугольника.

б) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников, треугольников и квадратов?

Решение 2 (2023).

а) Паркет, или замощение плоскости, означает, что в каждой общей вершине нескольких многоугольников сумма их углов равна $360^\circ$. На рисунке 138 в одной вершине, отмеченной знаком вопроса, сходятся углы двух правильных двенадцатиугольников и одного правильного треугольника.
Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$.
Пусть $\alpha$ — искомая величина внутреннего угла правильного двенадцатиугольника. Тогда для вершины, где сходятся два двенадцатиугольника и один треугольник, можно составить уравнение:
$ \alpha + \alpha + 60^\circ = 360^\circ $
$ 2\alpha + 60^\circ = 360^\circ $
Решим это уравнение относительно $\alpha$:
$ 2\alpha = 360^\circ - 60^\circ $
$ 2\alpha = 300^\circ $
$ \alpha = \frac{300^\circ}{2} = 150^\circ $
Таким образом, величина угла правильного двенадцатиугольника составляет $150^\circ$.
Этот же результат можно получить, используя формулу для внутреннего угла правильного n-угольника: $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для двенадцатиугольника $n=12$:
$ \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ $

Ответ: $150^\circ$.

б) Чтобы можно было составить паркет из набора правильных многоугольников, необходимо, чтобы существовала комбинация их углов, которая в сумме давала бы $360^\circ$ в каждой вершине замощения.
Нам даны три вида многоугольников:

• Правильный двенадцатиугольник, внутренний угол которого равен $150^\circ$ (из пункта а).
• Правильный треугольник, внутренний угол которого равен $60^\circ$.
• Квадрат (правильный четырехугольник), внутренний угол которого равен $90^\circ$.

Пусть в одной вершине сходятся $k_{12}$ двенадцатиугольников, $k_3$ треугольников и $k_4$ квадратов, где $k_{12}, k_3, k_4$ — целые неотрицательные числа, и хотя бы одно из них не равно нулю. Чтобы использовать все три типа фигур, будем искать решение, где все $k$ — натуральные числа.
Запишем уравнение для суммы углов:
$ k_{12} \cdot 150^\circ + k_3 \cdot 60^\circ + k_4 \cdot 90^\circ = 360^\circ $
Для удобства разделим обе части уравнения на $30^\circ$:
$ 5k_{12} + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
Найдём целочисленные решения этого уравнения.
Поскольку коэффициенты и переменные — положительные числа, $5k_{12}$ должно быть меньше 12. Это означает, что $k_{12}$ может быть равно только 1 или 2.
Случай 1: $k_{12} = 1$.
$ 5 \cdot 1 + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
$ 2k_3 + 3k_4 = 7 $
Подберём целые положительные $k_3$ и $k_4$.
Если $k_4 = 1$, то $2k_3 + 3 \cdot 1 = 7 \Rightarrow 2k_3 = 4 \Rightarrow k_3 = 2$.
Мы нашли одно возможное решение: $k_{12}=1$, $k_3=2$, $k_4=1$. Это означает, что в одной вершине могут сойтись один двенадцатиугольник, два треугольника и один квадрат.
Проверим сумму углов: $1 \cdot 150^\circ + 2 \cdot 60^\circ + 1 \cdot 90^\circ = 150^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.
Случай 2: $k_{12} = 2$.
$ 5 \cdot 2 + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
$ 10 + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
$ 2k_3 + 3k_4 = 2 $
Это уравнение не имеет решений в натуральных числах, так как наименьшее значение левой части при $k_3 \ge 1, k_4 \ge 1$ равно $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$, что больше 2.
Поскольку мы нашли хотя бы одну комбинацию многоугольников ($k_{12}=1, k_3=2, k_4=1$), углы которых в сумме дают $360^\circ$, то такой паркет составить можно.

Ответ: Да, можно.

Условие 2010-2022.

704 а) На рис. 138 изображен паркет из правильных треугольников и двенадцатиугольников. Найди величину угла правильного двенадцатиугольника.

б) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников, треугольников и квадратов?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).