Страница 163, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

701 Найди значение выражения:

а) $4\frac{2}{7} \cdot 8\frac{5}{9} - 4\frac{2}{7} \cdot 6\frac{2}{9}$

б) $-3,52 \cdot 2,4 - 1,48 \cdot 2,4$

в) $1\frac{3}{5} : 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{7} : 1\frac{2}{9} \cdot 1\frac{2}{11} : 1\frac{2}{13}$

г) $(-2)^1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot (-2)^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 \cdot (-2)^5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^6 \cdot (-2)^7$

а) $4\frac{2}{7} \cdot 8\frac{5}{9} - 4\frac{2}{7} \cdot 6\frac{2}{9}$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot c - a \cdot b = a \cdot (c - b)$. Вынесем общий множитель $4\frac{2}{7}$ за скобки:

$4\frac{2}{7} \cdot (8\frac{5}{9} - 6\frac{2}{9})$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$8\frac{5}{9} - 6\frac{2}{9} = (8 - 6) + (\frac{5}{9} - \frac{2}{9}) = 2 + \frac{3}{9} = 2\frac{3}{9}$

Сократим дробную часть: $2\frac{3}{9} = 2\frac{1}{3}$.

Теперь выражение выглядит так: $4\frac{2}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и перемножим их:

$4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$\frac{30}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{30 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{30}{3} = 10$.

Ответ: 10.

б) $-3,52 \cdot 2,4 - 1,48 \cdot 2,4$

Здесь также можно применить распределительное свойство, вынеся общий множитель $2,4$ за скобки:

$(-3,52 - 1,48) \cdot 2,4$

Выполним действие в скобках:

$-3,52 - 1,48 = -(3,52 + 1,48) = -5$.

Теперь выполним умножение:

$-5 \cdot 2,4 = -12$.

Ответ: -12.

в) $\frac{3}{5} : 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{7} : 1\frac{2}{9} \cdot 1\frac{2}{11} : 1\frac{2}{13}$

Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

$1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9}$

$1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$

$1\frac{2}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{15}{13}$

Теперь подставим эти дроби в исходное выражение:

$\frac{3}{5} : \frac{7}{5} \cdot \frac{9}{7} : \frac{11}{9} \cdot \frac{13}{11} : \frac{15}{13}$

Согласно порядку выполнения действий, умножение и деление выполняются последовательно слева направо. Заменим каждое деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{9}{11} \cdot \frac{13}{11} \cdot \frac{13}{15}$

Запишем все в виде одной дроби, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{3 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 13}{5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 15}$

Сократим общие множители. Сокращаем $5$ в числителе и знаменателе. Также, $15 = 3 \cdot 5$, поэтому можем сократить множитель $3$:

$\frac{3 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 13}{7 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 15} = \frac{3 \cdot 81 \cdot 169}{49 \cdot 121 \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{81 \cdot 169}{49 \cdot 121 \cdot 5}$

Теперь вычислим произведение оставшихся чисел:

$81 \cdot 169 = 13689$

$49 \cdot 121 \cdot 5 = 5929 \cdot 5 = 29645$

Таким образом, результат равен:

$\frac{13689}{29645}$

Ответ: $\frac{13689}{29645}$.

г) $(-2)^1 \cdot (-\frac{1}{2})^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-\frac{1}{2})^4 \cdot (-2)^5 \cdot (-\frac{1}{2})^6 \cdot (-2)^7$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$[(-2)^1 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)^5 \cdot (-2)^7] \cdot [(-\frac{1}{2})^2 \cdot (-\frac{1}{2})^4 \cdot (-\frac{1}{2})^6]$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

Для первой группы: $(-2)^{1+3+5+7} = (-2)^{16}$.

Для второй группы: $(-\frac{1}{2})^{2+4+6} = (-\frac{1}{2})^{12}$.

Выражение принимает вид:

$(-2)^{16} \cdot (-\frac{1}{2})^{12}$

Так как показатели степени ($16$ и $12$) четные, отрицательное число в основании становится положительным:

$2^{16} \cdot (\frac{1}{2})^{12} = 2^{16} \cdot \frac{1^{12}}{2^{12}} = 2^{16} \cdot \frac{1}{2^{12}} = \frac{2^{16}}{2^{12}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^{16}}{2^{12}} = 2^{16-12} = 2^4$.

Вычисляем результат:

$2^4 = 16$.

Ответ: 16.

701 Найди значения выражений:

а) $4\frac{2}{7} \cdot 8\frac{5}{9} - 4\frac{2}{7} \cdot 6\frac{2}{9};$

Б) $-3.52 \cdot 2.4 - 1.48 \cdot 2.4;$

В) $\frac{3}{5} : 1\frac{1}{5} : 1\frac{2}{7} : 1\frac{2}{9} : 1\frac{2}{11} : 1\frac{2}{13};$

Г) $(-2)^1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot (-2)^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 \cdot (-2)^5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^6 \cdot (-2)^7.$

702. Реши уравнение, пользуясь разветвлённым определением модуля:

а) $|x| - 1 = x$;

б) $3|x| + 2x = 5$;

в) $x + 2|x| = -5$;

г) $x - |x| = -0,4$.

а) $|x| - 1 = x$

Данное уравнение решается путем рассмотрения двух случаев, основанных на определении модуля числа.

1. Случай, когда подмодульное выражение неотрицательно: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x - 1 = x$
$-1 = 0$
Получено неверное равенство. Это означает, что при $x \ge 0$ уравнение не имеет корней.

2. Случай, когда подмодульное выражение отрицательно: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x - 1 = x$
Переносим слагаемые:
$-1 = x + x$
$-1 = 2x$
$x = -1/2$ или $x = -0,5$.
Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < 0$.
$-0,5 < 0$, условие выполняется. Следовательно, $x = -0,5$ является корнем уравнения.

Ответ: $-0,5$.

б) $3|x| + 2x = 5$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$3x + 2x = 5$
$5x = 5$
$x = 1$
Проверяем условие $x \ge 0$. $1 \ge 0$, условие выполняется. Значит, $x = 1$ — корень уравнения.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$3(-x) + 2x = 5$
$-3x + 2x = 5$
$-x = 5$
$x = -5$
Проверяем условие $x < 0$. $-5 < 0$, условие выполняется. Значит, $x = -5$ — также корень уравнения.

Ответ: $-5; 1$.

в) $x + 2|x| = -5$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x + 2x = -5$
$3x = -5$
$x = -5/3$
Проверяем условие $x \ge 0$. $-5/3 < 0$, поэтому условие не выполняется. В этом случае корней нет.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x + 2(-x) = -5$
$x - 2x = -5$
$-x = -5$
$x = 5$
Проверяем условие $x < 0$. $5 > 0$, поэтому условие не выполняется. В этом случае корней также нет.

Ответ: нет корней.

г) $x - |x| = -0,4$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x - x = -0,4$
$0 = -0,4$
Получено неверное равенство, следовательно, при $x \ge 0$ корней нет.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x - (-x) = -0,4$
$x + x = -0,4$
$2x = -0,4$
$x = -0,2$
Проверяем условие $x < 0$. $-0,2 < 0$, условие выполняется. Следовательно, $x = -0,2$ является корнем уравнения.

Ответ: $-0,2$.

702 Реши уравнения, пользуясь разветвленным определением модуля:

а) $|x|-1=x$;

б) $3|x|+2x=5$;

в) $x+2|x|=-5$;

г) $x-|x|=-0,4$.

703. а) Построй «цветок», изображённый на рис. 137.

б) Построй правильный двенадцатиугольник.

Рис. 137

Рис. 138

а) Построй «цветок», изображённый на рис. 137.

Для построения «цветка» с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это будет центральная окружность фигуры.
2. Отметьте на этой окружности произвольную точку $P_1$.
3. Не изменяя раствор циркуля (сохраняя радиус $R$), установите острие циркуля в точку $P_1$ и проведите вторую окружность. Она пройдет через центр $O$ первой окружности.
4. Вторая окружность пересечет первую в двух точках. Одну из этих новых точек пересечения обозначим $P_2$.
5. Переместите острие циркуля в точку $P_2$ и с тем же радиусом $R$ проведите третью окружность.
6. Повторяйте это действие, последовательно устанавливая острие циркуля в каждую новую точку пересечения на исходной (центральной) окружности, пока не вернетесь в начало. Всего будет построено 6 окружностей, центры которых ($P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$) равномерно расположены на центральной окружности.
7. Полученная фигура из семи окружностей одинакового радиуса и будет являться искомым «цветком».

Ответ: Построение выполнено согласно приведённой инструкции, в результате чего получен «цветок», как на рис. 137.

б) Построй правильный двенадцатиугольник.

Правильный двенадцатиугольник — это многоугольник, у которого все 12 сторон и все 12 углов равны. Его можно построить, вписав в окружность. Для этого удобно использовать построение из пункта а), так как оно позволяет легко найти вершины правильного шестиугольника, который является основой для построения двенадцатиугольника.

Алгоритм построения:

1. Выполните шаги 1-6 из пункта а). В результате вы получите центральную окружность с центром $O$ и шестью отмеченными на ней точками $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$. Эти точки являются вершинами правильного шестиугольника.
2. Шесть внешних окружностей, построенных в пункте а), попарно пересекаются в шести точках, лежащих за пределами центральной окружности. Обозначим эти точки $I_1, I_2, \dots, I_6$ (например, $I_1$ — это точка пересечения окружностей с центрами в $P_1$ и $P_2$).
3. С помощью линейки проведите шесть лучей, исходящих из центра $O$ и проходящих через эти внешние точки пересечения $I_1, I_2, \dots, I_6$.
4. Каждый из этих лучей пересечет центральную окружность в новой точке. Обозначим эти новые точки $Q_1, Q_2, \dots, Q_6$.
5. Теперь на центральной окружности отмечены 12 точек: $P_1, Q_1, P_2, Q_2, \dots, P_6, Q_6$. Эти точки и являются вершинами правильного двенадцатиугольника.
6. Последовательно соедините все 12 точек отрезками, чтобы получить стороны правильного двенадцатиугольника.

Математическое обоснование: Вершины правильного шестиугольника $P_1, \dots, P_6$ делят окружность на 6 дуг, соответствующих центральным углам в $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Например, $\angle P_1OP_2 = 60^\circ$. Рассмотрим внешнюю точку пересечения $I_1$ окружностей с центрами в $P_1$ и $P_2$. Так как радиусы всех окружностей равны $R$, то длины отрезков $OP_1, OP_2, P_1I_1, P_2I_1$ равны $R$. Четырёхугольник $OP_1I_1P_2$ является ромбом. Диагональ ромба $OI_1$ является биссектрисой угла $\angle P_1OP_2$. Следовательно, луч $OI_1$ делит этот угол на два равных угла по $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Точка $Q_1$ на окружности, таким образом, является серединой дуги $P_1P_2$. Повторив это для всех вершин шестиугольника, мы делим каждую из 6 дуг пополам и получаем 12 вершин, которые образуют правильный двенадцатиугольник.

Ответ: Правильный двенадцатиугольник построен с использованием циркуля и линейки согласно описанному алгоритму.

D 703 а) Построй «цветок», изображенный на рис. 137.

б) Построй правильный двенадцатиугольник.

Рис. 137

Рис. 138

Рис. 137

Рис. 138

704

а) На рис. 138 изображён паркет из правильных треугольников и двенадцатиугольников. Найди величину угла правильного двенадцатиугольника.

б) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников, треугольников и квадратов?

а) Паркет, или замощение плоскости, означает, что в каждой общей вершине нескольких многоугольников сумма их углов равна $360^\circ$. На рисунке 138 в одной вершине, отмеченной знаком вопроса, сходятся углы двух правильных двенадцатиугольников и одного правильного треугольника.
Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$.
Пусть $\alpha$ — искомая величина внутреннего угла правильного двенадцатиугольника. Тогда для вершины, где сходятся два двенадцатиугольника и один треугольник, можно составить уравнение:
$ \alpha + \alpha + 60^\circ = 360^\circ $
$ 2\alpha + 60^\circ = 360^\circ $
Решим это уравнение относительно $\alpha$:
$ 2\alpha = 360^\circ - 60^\circ $
$ 2\alpha = 300^\circ $
$ \alpha = \frac{300^\circ}{2} = 150^\circ $
Таким образом, величина угла правильного двенадцатиугольника составляет $150^\circ$.
Этот же результат можно получить, используя формулу для внутреннего угла правильного n-угольника: $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для двенадцатиугольника $n=12$:
$ \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ $

Ответ: $150^\circ$.

б) Чтобы можно было составить паркет из набора правильных многоугольников, необходимо, чтобы существовала комбинация их углов, которая в сумме давала бы $360^\circ$ в каждой вершине замощения.
Нам даны три вида многоугольников:

• Правильный двенадцатиугольник, внутренний угол которого равен $150^\circ$ (из пункта а).
• Правильный треугольник, внутренний угол которого равен $60^\circ$.
• Квадрат (правильный четырехугольник), внутренний угол которого равен $90^\circ$.

Пусть в одной вершине сходятся $k_{12}$ двенадцатиугольников, $k_3$ треугольников и $k_4$ квадратов, где $k_{12}, k_3, k_4$ — целые неотрицательные числа, и хотя бы одно из них не равно нулю. Чтобы использовать все три типа фигур, будем искать решение, где все $k$ — натуральные числа.
Запишем уравнение для суммы углов:
$ k_{12} \cdot 150^\circ + k_3 \cdot 60^\circ + k_4 \cdot 90^\circ = 360^\circ $
Для удобства разделим обе части уравнения на $30^\circ$:
$ 5k_{12} + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
Найдём целочисленные решения этого уравнения.
Поскольку коэффициенты и переменные — положительные числа, $5k_{12}$ должно быть меньше 12. Это означает, что $k_{12}$ может быть равно только 1 или 2.
Случай 1: $k_{12} = 1$.
$ 5 \cdot 1 + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
$ 2k_3 + 3k_4 = 7 $
Подберём целые положительные $k_3$ и $k_4$.
Если $k_4 = 1$, то $2k_3 + 3 \cdot 1 = 7 \Rightarrow 2k_3 = 4 \Rightarrow k_3 = 2$.
Мы нашли одно возможное решение: $k_{12}=1$, $k_3=2$, $k_4=1$. Это означает, что в одной вершине могут сойтись один двенадцатиугольник, два треугольника и один квадрат.
Проверим сумму углов: $1 \cdot 150^\circ + 2 \cdot 60^\circ + 1 \cdot 90^\circ = 150^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.
Случай 2: $k_{12} = 2$.
$ 5 \cdot 2 + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
$ 10 + 2k_3 + 3k_4 = 12 $
$ 2k_3 + 3k_4 = 2 $
Это уравнение не имеет решений в натуральных числах, так как наименьшее значение левой части при $k_3 \ge 1, k_4 \ge 1$ равно $2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$, что больше 2.
Поскольку мы нашли хотя бы одну комбинацию многоугольников ($k_{12}=1, k_3=2, k_4=1$), углы которых в сумме дают $360^\circ$, то такой паркет составить можно.

Ответ: Да, можно.

704 а) На рис. 138 изображен паркет из правильных треугольников и двенадцатиугольников. Найди величину угла правильного двенадцатиугольника.

б) Можно ли составить паркет из правильных двенадцатиугольников, треугольников и квадратов?

705 Килограмм моркови дороже килограмма картофеля на 3,6 р. За 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 115,2 р. На сколько процентов картофель дешевле моркови?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — цена 1 кг картофеля в рублях, а $y$ — цена 1 кг моркови в рублях.

Из условия задачи известно, что килограмм моркови дороже килограмма картофеля на 3,6 р. Составим первое уравнение:

$y = x + 3.6$

Также известно, что за 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 115,2 р. Составим второе уравнение:

$3x + 4y = 115.2$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y = x + 3.6 \\ 3x + 4y = 115.2 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3x + 4(x + 3.6) = 115.2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3x + 4x + 14.4 = 115.2$

$7x = 115.2 - 14.4$

$7x = 100.8$

$x = \frac{100.8}{7}$

$x = 14.4$

Таким образом, цена 1 кг картофеля составляет 14,4 р.

Теперь найдем цену 1 кг моркови, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 14.4 + 3.6$

$y = 18$

Цена 1 кг моркови составляет 18 р.

Чтобы ответить на вопрос "На сколько процентов картофель дешевле моркови?", нужно найти, какую часть составляет разница в цене от цены моркови, и выразить эту часть в процентах. Цена моркови принимается за 100%.

Разница в цене: $y - x = 18 - 14.4 = 3.6$ р.

Найдем процентное отношение разницы к цене моркови:

$\frac{y - x}{y} \times 100\% = \frac{3.6}{18} \times 100\%$

$\frac{3.6}{18} = 0.2$

$0.2 \times 100\% = 20\%$

Следовательно, картофель дешевле моркови на 20%.

Ответ: на 20%.

705 Килограмм моркови дороже килограмма картофеля на 3,6 р. За 3 кг картофеля и 4 кг моркови заплатили 115,2 р. На сколько процентов картофель дешевле моркови?

706 Построй математическую модель задачи.

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 6 км, вышли два пешехода. Первый пешеход вышел из A на 10 мин позже, чем второй, но пришёл в B на 5 мин раньше. С какой скоростью шёл каждый пешеход, если скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго?

Построй математическую модель задачи.

Для построения математической модели введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость второго пешехода.

По условию, скорость первого пешехода на 0,5 км/ч больше скорости второго, следовательно, его скорость равна $(x + 0,5)$ км/ч.

Расстояние между пунктами А и В равно 6 км.

Время, которое затратил на путь второй пешеход, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{6}{x}$ ч.

Время, которое затратил на путь первый пешеход, составляет $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{6}{x + 0,5}$ ч.

Из условия известно, что первый пешеход вышел на 10 минут позже второго, но пришел на 5 минут раньше. Это означает, что общее время, которое первый пешеход сэкономил в пути по сравнению со вторым, составляет $10 + 5 = 15$ минут.

Переведем эту разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Так как первый пешеход был в пути на $\frac{1}{4}$ часа меньше, чем второй, мы можем составить уравнение, связывающее их время в пути: $t_2 - t_1 = \frac{1}{4}$

Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получаем математическую модель задачи: $\frac{6}{x} - \frac{6}{x + 0,5} = \frac{1}{4}$

Ответ: Математическая модель задачи: $\frac{6}{x} - \frac{6}{x + 0,5} = \frac{1}{4}$, где $x$ — скорость второго пешехода в км/ч.

С какой скоростью шёл каждый пешеход, если скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго?

Решим полученное уравнение: $\frac{6}{x} - \frac{6}{x + 0,5} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{6(x + 0,5) - 6x}{x(x + 0,5)} = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{6x + 3 - 6x}{x^2 + 0,5x} = \frac{1}{4}$

$\frac{3}{x^2 + 0,5x} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем: $x^2 + 0,5x = 3 \cdot 4$ $x^2 + 0,5x = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + 0,5x - 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента: $2x^2 + x - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 1 + 192 = 193$

Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{193}}{4}$

Поскольку скорость ($x$) не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень с положительным значением: $x = \frac{-1 + \sqrt{193}}{4}$

Таким образом, скорость второго пешехода равна $v_2 = \frac{\sqrt{193} - 1}{4}$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого пешехода: $v_1 = x + 0,5 = \frac{\sqrt{193} - 1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{193} - 1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{193} - 1 + 2}{4} = \frac{\sqrt{193} + 1}{4}$ км/ч.

Ответ: Скорость второго пешехода равна $\frac{\sqrt{193} - 1}{4}$ км/ч, а скорость первого пешехода — $\frac{\sqrt{193} + 1}{4}$ км/ч.

706 Построй математическую модель задачи:

«Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 6 км, вышли два пешехода. Первый пешеход вышел из А на 10 мин позже, чем второй, но пришел в B на 5 мин раньше. С какой скоростью шел каждый пешеход, если скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго?»

707 Реши уравнение, пользуясь разветвлённым определением модуля:

а) $2|x| - x = 4$;

б) $|x| - 8 = -3x$.

Для решения данных уравнений воспользуемся разветвлённым определением модуля (абсолютной величины):

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что мы должны рассмотреть два случая для каждого уравнения.

а) $2|x| - x = 4$

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$2x - x = 4$

$x = 4$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 0$. Поскольку $4 \ge 0$, корень $x=4$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$2(-x) - x = 4$

$-2x - x = 4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < 0$. Поскольку $-\frac{4}{3} < 0$, корень $x=-\frac{4}{3}$ также является решением.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $-\frac{4}{3}; 4$.

б) $|x| - 8 = -3x$

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$x - 8 = -3x$

$x + 3x = 8$

$4x = 8$

$x = 2$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 0$. Поскольку $2 \ge 0$, корень $x=2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$-x - 8 = -3x$

$-x + 3x = 8$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < 0$. Поскольку $4$ не меньше $0$ ($4 \not< 0$), это значение не является решением исходного уравнения (посторонний корень).

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2$.

707 Реши уравнения, пользуясь разветвленным определением модуля:

а) $2|x| - x = 4$;

б) $|x| - 8 = -3x$.

708 Найди значение выражения:

а) $(1,6 \cdot 1,5 - (1 \frac{3}{5})^2) : 1 \frac{3}{5};$

б) $\frac{1 \frac{1}{3} \cdot (-54,54)}{-121,2};$

в) $\frac{0,3 \cdot (-1 \frac{1}{3}) \cdot 0,15}{-1,2 \cdot (-\frac{5}{6}) \cdot 0,36}.$

а) $(1,6 \cdot 1,5 - (1\frac{3}{5})^2) : 1\frac{3}{5}$
Для решения этого выражения заметим, что десятичную дробь $1,6$ можно представить в виде смешанной дроби: $1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(1\frac{3}{5} \cdot 1,5 - (1\frac{3}{5})^2) : 1\frac{3}{5}$
Теперь воспользуемся распределительным свойством деления относительно вычитания $(a - b) : c = a : c - b : c$:
$(1\frac{3}{5} \cdot 1,5) : 1\frac{3}{5} - (1\frac{3}{5})^2 : 1\frac{3}{5}$
Упростим каждое слагаемое:
$(1\frac{3}{5} \cdot 1,5) : 1\frac{3}{5} = 1,5$
$(1\frac{3}{5})^2 : 1\frac{3}{5} = 1\frac{3}{5}$
Таким образом, выражение сводится к:
$1,5 - 1\frac{3}{5}$
Преобразуем $1\frac{3}{5}$ обратно в десятичную дробь: $1\frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1 + 0,6 = 1,6$.
Выполним вычитание:
$1,5 - 1,6 = -0,1$
Ответ: $-0,1$

б) $\frac{1\frac{1}{3} \cdot (-54,54)}{-121,2}$
Сначала определим знак выражения. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Поэтому мы можем убрать знаки минус:
$\frac{1\frac{1}{3} \cdot 54,54}{121,2}$
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь вычислим значение числителя: $\frac{4}{3} \cdot 54,54$.
Разделим $54,54$ на $3$. Сумма цифр числа $5454$ равна $5+4+5+4=18$, что делится на $3$, значит и само число делится на $3$.
$54,54 : 3 = 18,18$.
Теперь умножим результат на $4$: $4 \cdot 18,18 = 72,72$.
Итак, наше выражение приняло вид:
$\frac{72,72}{121,2}$
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $10$:
$\frac{72,72 \cdot 10}{121,2 \cdot 10} = \frac{727,2}{1212}$
Выполним деление. Заметим, что $1212 \cdot 6 = 7272$, следовательно, $1212 \cdot 0,6 = 727,2$.
Таким образом, $\frac{727,2}{1212} = 0,6$.
Ответ: $0,6$

в) $\frac{0,3 \cdot (-1\frac{1}{3}) \cdot 0,15}{-1,2 \cdot (-\frac{5}{6}) \cdot 0,36}$
Определим знак итогового выражения. В числителе один отрицательный множитель, значит числитель отрицательный. В знаменателе два отрицательных множителя, значит знаменатель положительный. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
Рассчитаем значение выражения без учета знаков: $\frac{0,3 \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 0,15}{1,2 \cdot \frac{5}{6} \cdot 0,36}$.
Вычислим значение числителя. Для удобства можно использовать как десятичные, так и обыкновенные дроби.
$0,3 \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 0,15 = 0,3 \cdot \frac{4}{3} \cdot 0,15 = (0,3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot 4 \cdot 0,15 = 0,1 \cdot 4 \cdot 0,15 = 0,4 \cdot 0,15 = 0,06$.
Вычислим значение знаменателя.
$1,2 \cdot \frac{5}{6} \cdot 0,36 = \frac{12}{10} \cdot \frac{5}{6} \cdot 0,36 = \frac{12 \cdot 5}{10 \cdot 6} \cdot 0,36 = \frac{60}{60} \cdot 0,36 = 1 \cdot 0,36 = 0,36$.
Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя и добавим знак минус:
$- \frac{0,06}{0,36} = - \frac{6}{36} = - \frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$

708 Найди значения выражений:

а) $ (1.6 \cdot 1.5 - (1 \frac{3}{5})^2) : 1 \frac{3}{5} $;

б) $ \frac{\frac{1}{3} \cdot (-54.54)}{-121.2} $;

в) $ \frac{0.3 \cdot (-1 \frac{1}{3}) \cdot 0.15}{-1.2 \cdot (-\frac{5}{6}) \cdot 0.36} $.