Страница 164, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

c 709* Составь паркет из правильных треугольников и шестиугольников.

Для того чтобы составить паркет (или, говоря математическим языком, тесселяцию) из правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма углов всех фигур, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^\circ$.

Сначала определим величины внутренних углов для заданных фигур:

• У правильного (равностороннего) треугольника каждый внутренний угол равен $60^\circ$.
• У правильного шестиугольника каждый внутренний угол равен $120^\circ$.

Теперь необходимо найти такие комбинации этих фигур, чтобы сумма их углов в одной вершине составляла $360^\circ$. Если в вершине сходятся $k$ треугольников и $m$ шестиугольников, то должно выполняться следующее равенство:
$k \cdot 60^\circ + m \cdot 120^\circ = 360^\circ$
Разделив обе части уравнения на $60^\circ$, получим более простое выражение:
$k + 2m = 6$

Так как паркет должен состоять из обоих видов фигур, будем искать целочисленные решения, где $k > 0$ и $m > 0$. Кроме того, в одной вершине должно сходиться не менее трех фигур ($k+m \ge 3$).
Возможные решения:

• Если $m = 1$ (один шестиугольник), то $k + 2(1) = 6 \Rightarrow k = 4$. Это означает, что в одной вершине могут сойтись 1 шестиугольник и 4 треугольника. Такой паркет существует.
• Если $m = 2$ (два шестиугольника), то $k + 2(2) = 6 \Rightarrow k = 2$. Это означает, что в одной вершине могут сойтись 2 шестиугольника и 2 треугольника. Такой паркет тоже существует, и его проще всего описать.

Рассмотрим способ построения паркета для второго случая, где в каждой вершине сходятся два шестиугольника и два треугольника. Такой паркет называется тригексагональной мозаикой.

1. Расположим правильные шестиугольники в горизонтальные ряды так, чтобы они соприкасались боковыми сторонами.
2. Между двумя такими соседними рядами шестиугольников образуется незаполненное пространство.
3. Это пространство можно полностью, без зазоров, заполнить правильными треугольниками. Для этого треугольники укладываются в ряд, чередуя их положение: один вершиной вверх, следующий — вершиной вниз.
4. Продолжая этот процесс, можно замостить всю плоскость. В результате получится узор, в котором каждая вершина является общей для двух шестиугольников и двух треугольников. Сумма углов в каждой вершине будет равна $2 \cdot 120^\circ + 2 \cdot 60^\circ = 240^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Паркет из правильных треугольников и шестиугольников можно составить, укладывая ряды шестиугольников, соприкасающихся сторонами, и заполняя пространства между этими рядами рядами правильных треугольников. В таком паркете в каждой общей вершине будут сходиться два шестиугольника и два треугольника.

C [709] Составь паркет из правильных треугольников и шестиугольников.

710* Можно ли составить развёртку параллелепипеда, не являющегося кубом, из шести одинаковых прямоугольников?

Предположим, что такой параллелепипед существует. Пусть его измерения (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Грани прямоугольного параллелепипеда — это шесть прямоугольников, которые образуют три пары равных между собой граней с размерами: две грани $a \times b$, две грани $a \times c$ и две грани $b \times c$.

По условию задачи, все шесть граней являются одинаковыми прямоугольниками. Пусть размеры этого эталонного прямоугольника равны $x \times y$. Это означает, что размеры каждой грани параллелепипеда должны соответствовать размерам $x \times y$. Следовательно, должны выполняться следующие равенства (где равенство наборов означает, что элементы наборов совпадают):

$\{a, b\} = \{x, y\}$
$\{a, c\} = \{x, y\}$
$\{b, c\} = \{x, y\}$

Из первых двух равенств, $\{a, b\} = \{a, c\}$, следует, что $b = c$. Из второго и третьего равенств, $\{a, c\} = \{b, c\}$, следует, что $a = b$. Таким образом, мы приходим к выводу, что все три измерения параллелепипеда должны быть равны: $a = b = c$.

Параллелепипед, у которого все измерения равны, является кубом. Его грани — это шесть одинаковых квадратов. Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, условие о шести одинаковых прямоугольниках выполняется. Однако в задаче требуется, чтобы параллелепипед не был кубом. Это приводит к противоречию.

Следовательно, невозможно составить развёртку параллелепипеда, не являющегося кубом, из шести одинаковых прямоугольников.

Ответ: нет, нельзя.

[710] Можно ли составить развертку параллелепипеда, не являющегося кубом, из шести одинаковых прямоугольников?