Страница 165, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 711. Сколько рёбер и сколько граней сходится в вершине тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра? Выведи их общее свойство.

Тетраэдр

Тетраэдр — это правильный многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. В каждой его вершине сходятся 3 грани. Эти же 3 грани образуют 3 ребра, которые также сходятся в этой вершине.

Ответ: 3 ребра и 3 грани.

Гексаэдр

Гексаэдр (или куб) — это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами. В каждой его вершине сходятся 3 квадратные грани. Соответственно, в этой же вершине сходятся и 3 ребра, которые являются сторонами этих квадратов.

Ответ: 3 ребра и 3 грани.

Октаэдр

Октаэдр — это правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. В каждой его вершине сходятся 4 грани. Эти 4 грани образуют 4 ребра, которые также сходятся в этой вершине.

Ответ: 4 ребра и 4 грани.

Додекаэдр

Додекаэдр — это правильный многогранник, гранями которого являются 12 правильных пятиугольников. В каждой его вершине сходятся 3 грани. Эти 3 грани образуют 3 ребра, которые также сходятся в этой вершине.

Ответ: 3 ребра и 3 грани.

Икосаэдр

Икосаэдр — это правильный многогранник, составленный из 20 равносторонних треугольников. В каждой его вершине сходятся 5 граней. Эти 5 граней образуют 5 ребер, которые также сходятся в этой вершине.

Ответ: 5 ребер и 5 граней.

Общее свойство

Для всех перечисленных правильных многогранников (Платоновых тел) выполняется следующее свойство: количество рёбер, сходящихся в любой вершине, равно количеству граней, сходящихся в этой же вершине.

Ответ: в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер и граней.

711 Сколько ребер и сколько граней сходится в вершине тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра? Выведи их общее свойство.

712. a) Сосчитай число рёбер (Р), граней (Г) и вершин (В) каждого правильного многогранника и заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь?

б) Проверь, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: $Г + В – Р = 2$.

Сосчитаем число рёбер (Р), граней (Г) и вершин (В) для каждого правильного многогранника и занесём данные в таблицу.

Наблюдаемые закономерности:

1. Можно заметить пары так называемых двойственных многогранников. У гексаэдра (куба) и октаэдра число граней одного равно числу вершин другого ($Г_{куб}=6, В_{окт}=6$; $В_{куб}=8, Г_{окт}=8$), а число рёбер у них одинаково ($Р=12$). Аналогичная ситуация с додекаэдром и икосаэдром ($Г_{дод}=12, В_{икос}=12$; $В_{дод}=20, Г_{икос}=20$), у них также одинаковое число рёбер ($Р=30$).
2. Тетраэдр является двойственным самому себе: число его граней равно числу вершин ($Г=4, В=4$).
3. Для всех перечисленных многогранников выполняется соотношение: число граней плюс число вершин минус число рёбер всегда равно 2.

Ответ: Заполненная таблица представлена выше. Закономерности: существование двойственных многогранников (куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, а тетраэдр двойственен сам себе) и выполнение для всех них соотношения $Г + В - Р = 2$.

Проверим, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: $Г + В - Р = 2$.

Для тетраэдра: $Г=4, В=4, Р=6$.
Проверка: $4 + 4 - 6 = 8 - 6 = 2$.

Для гексаэдра (куба): $Г=6, В=8, Р=12$.
Проверка: $6 + 8 - 12 = 14 - 12 = 2$.

Для октаэдра: $Г=8, В=6, Р=12$.
Проверка: $8 + 6 - 12 = 14 - 12 = 2$.

Для додекаэдра: $Г=12, В=20, Р=30$.
Проверка: $12 + 20 - 30 = 32 - 30 = 2$.

Для икосаэдра: $Г=20, В=12, Р=30$.
Проверка: $20 + 12 - 30 = 32 - 30 = 2$.

Формула Эйлера выполняется для всех пяти правильных многогранников.

Ответ: Да, для всех правильных многогранников формула Эйлера $Г + В - Р = 2$ выполняется.

712 a) Сосчитай число ребер (P) , граней (Г) и вершин (В) каждого правильного многогранника и заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь?

Правильный многогранник P B Г

Тетраэдр

Гексаэдр (куб)

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

б) Проверь, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: $\Gamma + B - P = 2$.