Страница 168, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

726 Найди множество корней уравнения:

а) $-5x + 7 = 4x - 8;$

б) $2(\frac{y}{7} - 3) + 1,5 = y + \frac{5}{14};$

в) $3(5 - 2z) - 4(z + 6) = -5(2z + 3);$

г) $-0,7x - 2(0,4x - 2,8) = -1,6 + 3(-0,5x + 2,4).$

а) $-5x + 7 = 4x - 8$

Для решения этого линейного уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$-5x - 4x = -8 - 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$-9x = -15$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-9$:

$x = \frac{-15}{-9}$

$x = \frac{15}{9}$

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{5}{3}$

Выделим целую часть:

$x = 1\frac{2}{3}$

Множество корней состоит из одного числа.

Ответ: $\{1\frac{2}{3}\}$

б) $2(\frac{y}{7} - 3) + 1,5 = y + \frac{5}{14}$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$2 \cdot \frac{y}{7} - 2 \cdot 3 + 1,5 = y + \frac{5}{14}$

$\frac{2y}{7} - 6 + 1,5 = y + \frac{5}{14}$

Упростим левую часть, выполнив вычитание:

$\frac{2y}{7} - 4,5 = y + \frac{5}{14}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\frac{2y}{7}$ и $\frac{5}{14}$, а также учтем десятичную дробь $4,5 = \frac{9}{2}$. Наименьший общий знаменатель для 7, 2 и 14 равен 14.

$14 \cdot (\frac{2y}{7} - 4,5) = 14 \cdot (y + \frac{5}{14})$

$14 \cdot \frac{2y}{7} - 14 \cdot 4,5 = 14 \cdot y + 14 \cdot \frac{5}{14}$

$2 \cdot 2y - 63 = 14y + 5$

$4y - 63 = 14y + 5$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числа — в другую:

$4y - 14y = 5 + 63$

$-10y = 68$

Разделим обе части на $-10$:

$y = \frac{68}{-10}$

$y = -6,8$

Множество корней состоит из одного числа.

Ответ: $\{-6,8\}$

в) $3(5 - 2z) - 4(z + 6) = -5(2z + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножая множитель перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок:

$3 \cdot 5 - 3 \cdot 2z - 4 \cdot z - 4 \cdot 6 = -5 \cdot 2z - 5 \cdot 3$

$15 - 6z - 4z - 24 = -10z - 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(15 - 24) + (-6z - 4z) = -10z - 15$

$-9 - 10z = -10z - 15$

Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую:

$-10z + 10z = -15 + 9$

$0 \cdot z = -6$

$0 = -6$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет корней, каким бы ни было значение $z$. Следовательно, множество корней пусто.

Ответ: $\emptyset$

г) $-0,7x - 2(0,4x - 2,8) = -1,6 + 3(-0,5x + 2,4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$-0,7x - 2 \cdot 0,4x - 2 \cdot (-2,8) = -1,6 + 3 \cdot (-0,5x) + 3 \cdot 2,4$

$-0,7x - 0,8x + 5,6 = -1,6 - 1,5x + 7,2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$(-0,7x - 0,8x) + 5,6 = (-1,6 + 7,2) - 1,5x$

$-1,5x + 5,6 = 5,6 - 1,5x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-1,5x + 1,5x = 5,6 - 5,6$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что корнем уравнения является любое число.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (множество всех действительных чисел)

726 Найди множество корней уравнения:

а) $-5x + 7 = 4x - 8$;

б) $2\left(\frac{y}{7} - 3\right) + 1.5 = y + \frac{5}{14}$;

в) $3(5 - 2z) - 4(z + 6) = -5(2z + 3)$;

г) $-0.7x - 2(0.4x - 2.8) = -1.6 + 3(-0.5x + 2.4).$

727 Катер за полчаса по течению реки и 1 ч 20 мин против течения проплыл 58 км. Какое расстояние проплывёт по этой реке плот за 2 ч 40 мин, если скорость катера против течения на $16 \frac{2}{3} \%$ меньше его скорости по течению?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $V_{по}$ - скорость катера по течению реки (в км/ч), а $V_{пр}$ - скорость катера против течения реки (в км/ч).

1. Определим время движения катера в часах.
Время движения по течению: $t_{по} = 30 \text{ минут} = 0,5 \text{ часа}$.
Время движения против течения: $t_{пр} = 1 \text{ час } 20 \text{ минут} = 1 + \frac{20}{60} \text{ часа} = 1 + \frac{1}{3} \text{ часа} = \frac{4}{3} \text{ часа}$.

2. Составим систему уравнений на основе условий задачи.
Первое уравнение составим на основе общего пройденного расстояния:
$S = S_{по} + S_{пр} = V_{по} \cdot t_{по} + V_{пр} \cdot t_{пр}$
$0,5 \cdot V_{по} + \frac{4}{3} \cdot V_{пр} = 58$
Второе уравнение составим из соотношения скоростей. Скорость против течения на $16 \frac{2}{3}\%$ меньше скорости по течению. Переведем проценты в дробь:
$16 \frac{2}{3}\% = \frac{16 \cdot 3 + 2}{3}\% = \frac{50}{3}\% = \frac{50}{300} = \frac{1}{6}$
Значит, скорость против течения составляет $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ от скорости по течению:
$V_{пр} = \frac{5}{6} V_{по}$

3. Решим полученную систему уравнений.
Подставим второе уравнение в первое:
$0,5 \cdot V_{по} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{5}{6} V_{по}) = 58$
$\frac{1}{2} V_{по} + \frac{20}{18} V_{по} = 58$
$\frac{1}{2} V_{по} + \frac{10}{9} V_{по} = 58$
Приведем дроби к общему знаменателю 18:
$\frac{9}{18} V_{по} + \frac{20}{18} V_{по} = 58$
$\frac{29}{18} V_{по} = 58$
$V_{по} = \frac{58 \cdot 18}{29} = 2 \cdot 18 = 36$ км/ч.
Теперь найдем скорость против течения:
$V_{пр} = \frac{5}{6} \cdot V_{по} = \frac{5}{6} \cdot 36 = 30$ км/ч.

4. Найдем скорость течения реки.
Скорость плота равна скорости течения реки ($V_т$). Скорость течения можно найти как полуразность скоростей по течению и против течения:
$V_т = \frac{V_{по} - V_{пр}}{2} = \frac{36 - 30}{2} = \frac{6}{2} = 3$ км/ч.

5. Вычислим расстояние, которое проплывет плот.
Время движения плота: $t_{плота} = 2 \text{ часа } 40 \text{ минут} = 2 + \frac{40}{60} \text{ часа} = 2 + \frac{2}{3} \text{ часа} = \frac{8}{3} \text{ часа}$.
Расстояние, которое проплывет плот:
$S_{плота} = V_т \cdot t_{плота} = 3 \text{ км/ч} \cdot \frac{8}{3} \text{ ч} = 8$ км.

Ответ: 8 км.

727 Катер за полчаса по течению реки и 1 ч 20 мин против течения проплыл58 км. Какое расстояние проплывет по этой реке плот за 2 ч 40 мин, еслискорость катера против течения на $16\frac{2}{3}\%$ меньше его скорости по течению?

728 В 11 ч 35 мин из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью 75 км/ч, а в 12 ч 15 мин вслед за ним выехал автомобиль, скорость которого на 28 % больше скорости автобуса. Через сколько времени после своего выезда автомобиль обгонит автобус на 20 км?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость автомобиля.

Скорость автобуса $v_{авт}$ равна 75 км/ч. Скорость автомобиля на 28% больше. Чтобы найти скорость автомобиля $v_{авто}$, нужно увеличить скорость автобуса на 28%.

Сначала найдем, чему равны 28% от 75 км/ч:

$75 \cdot \frac{28}{100} = 75 \cdot 0.28 = 21$ км/ч.

Теперь прибавим эту величину к скорости автобуса:

$v_{авто} = 75 + 21 = 96$ км/ч.

В качестве альтернативы можно сразу рассчитать 128% от скорости автобуса:

$v_{авто} = 75 \cdot (1 + 0.28) = 75 \cdot 1.28 = 96$ км/ч.

Ответ: Скорость автомобиля равна 96 км/ч.

2. Определим, какое расстояние проехал автобус до выезда автомобиля.

Автобус выехал в 11 ч 35 мин, а автомобиль — в 12 ч 15 мин. Найдем, сколько времени автобус был в пути один:

$t_{форы} = 12 \text{ ч } 15 \text{ мин } - 11 \text{ ч } 35 \text{ мин } = 40 \text{ мин }$.

Переведем это время в часы, чтобы единицы измерения совпадали со скоростью:

$40 \text{ мин } = \frac{40}{60} \text{ ч } = \frac{2}{3} \text{ ч }$.

Теперь найдем расстояние (фору), которое автобус проехал за это время:

$S_{форы} = v_{авт} \cdot t_{форы} = 75 \cdot \frac{2}{3} = 50$ км.

Ответ: К моменту выезда автомобиля автобус опережал его на 50 км.

3. Найдем скорость сближения автомобиля и автобуса.

Так как автомобиль движется быстрее автобуса в том же направлении, он догоняет его. Скорость сближения $v_{сбл}$ равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{авто} - v_{авт} = 96 - 75 = 21$ км/ч.

Ответ: Скорость сближения составляет 21 км/ч.

4. Рассчитаем время, через которое автомобиль обгонит автобус на 20 км.

Чтобы автомобилю обогнать автобус на 20 км, ему нужно сначала ликвидировать начальное отставание в 50 км, а затем уехать вперед еще на 20 км. Таким образом, общее расстояние, на которое автомобиль должен опередить автобус, составляет:

$S_{общ} = S_{форы} + 20 = 50 + 20 = 70$ км.

Найдем время $t$, которое потребуется автомобилю, чтобы преодолеть это относительное расстояние со скоростью сближения 21 км/ч:

$t = \frac{S_{общ}}{v_{сбл}} = \frac{70}{21}$ ч.

Сократим дробь:

$t = \frac{70}{21} = \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{10}{3}$ ч.

Переведем это время в более привычный формат (часы и минуты):

$t = \frac{10}{3} \text{ ч } = 3 \frac{1}{3} \text{ ч } = 3 \text{ часа } + \frac{1}{3} \text{ часа } = 3 \text{ часа } + (\frac{1}{3} \cdot 60) \text{ мин } = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут. }$

Ответ: Автомобиль обгонит автобус на 20 км через 3 часа 20 минут после своего выезда.

728 В 11 ч 35 мин из Москвы по Рижскому шоссе выехал автобус со скоростью $75 \text{ км/ч}$, а в 12 ч 15 мин вслед за ним выехал автомобиль, скорость которого на $28\%$ больше скорости автобуса. Через сколько времени после своего выезда автомобиль обгонит автобус на 20 км?

729. Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв.

а) Килограмм сметаны стоит а р., а килограмм сыра на 50 % дороже. Сколько стоит покупка 200 г сметаны и 400 г сыра? ($a = 60.$)

б) Цена акций некоторого предприятия сначала увеличилась на 10 %, а затем уменьшилась на 10 %. Сколько стала стоить акция, если её прежняя цена b р.? ($b = 500.$)

в) Самолёт пролетел x км, а осталось ему пролететь y км. Сколько процентов всего пути составляет оставшийся путь? ($x = 480, y = 720.$)

а)

1. Сначала составим выражение для цены 1 кг сыра. По условию, сыр на 50% дороже сметаны, цена которой a р. за кг. Увеличение на 50% эквивалентно умножению на 1,5.
Цена сыра: $a + 0.5a = 1.5a$ р./кг.

2. Теперь составим выражение для стоимости всей покупки. Нам нужно 200 г сметаны и 400 г сыра. Переведем граммы в килограммы: 200 г = 0,2 кг, 400 г = 0,4 кг.
Стоимость сметаны: $0.2 \cdot a$ р.
Стоимость сыра: $0.4 \cdot (1.5a)$ р.
Общая стоимость покупки: $0.2a + 0.4 \cdot (1.5a)$ р.

3. Упростим полученное выражение:
$0.2a + 0.4 \cdot 1.5a = 0.2a + 0.6a = 0.8a$.

4. Теперь найдем значение этого выражения при $a = 60$:
$0.8 \cdot 60 = 48$ р.

Ответ: 48 р.

б)

1. Изначальная цена акции составляет b р. Сначала цена увеличилась на 10%. Новая цена стала:
$b + 0.1b = 1.1b$.

2. Затем новая цена уменьшилась на 10%. Уменьшение на 10% от текущей цены $(1.1b)$ можно рассчитать так:
$1.1b - 0.1 \cdot (1.1b) = 1.1b \cdot (1 - 0.1) = 1.1b \cdot 0.9 = 0.99b$.
Итак, итоговое выражение для цены акции: $0.99b$.

3. Найдем значение выражения при $b = 500$:
$0.99 \cdot 500 = 495$ р.

Ответ: 495 р.

в)

1. Самолет пролетел x км, а осталось ему пролететь y км. Весь путь самолета равен сумме этих расстояний:
Весь путь: $x + y$ км.

2. Чтобы найти, сколько процентов от всего пути составляет оставшийся путь, нужно разделить оставшийся путь на весь путь и умножить на 100%.
Выражение для расчета процентов: $\frac{y}{x+y} \cdot 100\%$.

3. Подставим данные значения $x = 480$ и $y = 720$ в выражение:
Весь путь: $480 + 720 = 1200$ км.
Процент оставшегося пути: $\frac{720}{1200} \cdot 100\%$.

4. Выполним вычисления:
$\frac{720}{1200} = \frac{72}{120} = \frac{6}{10} = 0.6$.
$0.6 \cdot 100\% = 60\%$.

Ответ: 60%.

729 Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв:

а) Килограмм сметаны стоит $a$ руб., а килограмм сыра на 50% дороже. Сколько стоит покупка 200 г сметаны и 400 г сыра? ($a = 60$)

б) Цена акций некоторого предприятия сначала увеличилась на 10%, а затем уменьшилась на 10%. Сколько стала стоить акция, если ее прежняя цена $b$ руб.? ($b = 500$)

в) Самолет пролетел $x$ км, а осталось ему пролететь $y$ км. Сколько процентов всего пути составляет оставшийся путь? ($x = 480, y = 720$)

730 Запиши значение выражения в виде бесконечной периодической дроби:

a) $\frac{-0,12 \cdot 0,5 + 0,12}{(-0,125 + \frac{3}{8}) : (-\frac{2}{3})^2}$

б) $\frac{(1,47 : 1,4 - 1,5) \cdot (-3 \frac{2}{3}) : (-2,7)}{(-\frac{7}{18} + \frac{5}{12} \cdot (-0,4)) : 4 \frac{1}{6} + \frac{1}{30}}$

Для нахождения значения выражения, вычислим отдельно числитель и знаменатель.

1. Вычислим значение числителя: $-0,12 \cdot 0,5 + 0,12$.
Вынесем общий множитель $0,12$ за скобки для упрощения:
$0,12 \cdot (-0,5 + 1) = 0,12 \cdot 0,5 = 0,06$.

2. Вычислим значение знаменателя: $(-0,125 + \frac{3}{8}) : (-\frac{2}{3})^2$.
Сначала выполним действие в первых скобках, преобразовав десятичную дробь в обыкновенную: $-0,125 = -\frac{1}{8}$.
$-\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Затем возведем в степень вторую дробь:
$(-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{1}{4} : \frac{4}{9} = \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{16}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:
$0,06 : \frac{9}{16}$.
Преобразуем $0,06$ в обыкновенную дробь: $0,06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$.
$\frac{3}{50} : \frac{9}{16} = \frac{3}{50} \cdot \frac{16}{9} = \frac{3 \cdot 16}{50 \cdot 9} = \frac{1 \cdot 16}{50 \cdot 3} = \frac{16}{150} = \frac{8}{75}$.

4. Представим полученную дробь $\frac{8}{75}$ в виде бесконечной периодической дроби. Для этого разделим $8$ на $75$ столбиком:
$8 : 75 = 0,10666... = 0,10(6)$.

Ответ: $0,10(6)$

Для нахождения значения выражения, вычислим отдельно числитель и знаменатель. Для удобства будем производить вычисления в обыкновенных дробях.

1. Вычислим значение числителя: $(1,47 : 1,4 - 1,5) \cdot (-3\frac{2}{3}) : (-2,7)$.
1) $1,47 : 1,4 = \frac{147}{100} : \frac{14}{10} = \frac{147}{100} \cdot \frac{10}{14} = \frac{147}{140} = \frac{21}{20} = 1,05$.
2) $1,05 - 1,5 = -0,45 = -\frac{45}{100} = -\frac{9}{20}$.
3) $(-\frac{9}{20}) \cdot (-3\frac{2}{3}) = (-\frac{9}{20}) \cdot (-\frac{11}{3}) = \frac{9 \cdot 11}{20 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 11}{20} = \frac{33}{20}$.
4) $\frac{33}{20} : (-2,7) = \frac{33}{20} : (-\frac{27}{10}) = \frac{33}{20} \cdot (-\frac{10}{27}) = -\frac{33 \cdot 10}{20 \cdot 27} = -\frac{11 \cdot 3 \cdot 10}{2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 3} = -\frac{11}{18}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $(-\frac{7}{18} + \frac{5}{12} \cdot (-0,4)) : 4\frac{1}{6} + \frac{1}{30}$.
1) $\frac{5}{12} \cdot (-0,4) = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{4}{10}) = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 5} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
2) $-\frac{7}{18} + (-\frac{1}{6}) = -\frac{7}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}$.
3) $(-\frac{5}{9}) : 4\frac{1}{6} = (-\frac{5}{9}) : \frac{25}{6} = -\frac{5}{9} \cdot \frac{6}{25} = -\frac{5 \cdot 6}{9 \cdot 25} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} = -\frac{2}{15}$.
4) $-\frac{2}{15} + \frac{1}{30} = -\frac{4}{30} + \frac{1}{30} = -\frac{3}{30} = -\frac{1}{10}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:
$(-\frac{11}{18}) : (-\frac{1}{10}) = \frac{11}{18} \cdot 10 = \frac{110}{18} = \frac{55}{9}$.

4. Представим полученную дробь $\frac{55}{9}$ в виде бесконечной периодической дроби. Выделим целую часть: $\frac{55}{9} = 6\frac{1}{9}$. Так как $\frac{1}{9} = 0,111...$, то:
$6\frac{1}{9} = 6,111... = 6,(1)$.

Ответ: $6,(1)$

730 Запиши значение выражения в виде бесконечной периодической дроби:

а) $\frac{-0.12 \cdot 0.5 + 0.12}{(-0.125 + \frac{3}{8}) : (-\frac{2}{3})^2}$;

б) $\frac{(1.47 : 1.4 - 1.5) \cdot (-3\frac{2}{3}) : (-2.7)}{(-\frac{7}{18} + \frac{5}{12} \cdot (-0.4)) : 4\frac{1}{6} + \frac{1}{30}}$

731 Начерти параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ и назови:

а) одно его видимое и одно невидимое ребро;

б) одну видимую и одну невидимую грань. Вычисли его объём и площадь поверхности, если $AB = 5$ м, $AD = 6$ м, $AA_1 = 4$ м.

Для решения задачи представим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в стандартной аксонометрической проекции. В таком изображении ребра, которые видны наблюдателю, рисуются сплошными линиями, а те, что скрыты от него, — штриховыми.

а) Видимое ребро — это ребро, которое находится на видимых гранях. Например, ребро $AB$ на передней грани. Невидимое ребро — это ребро, которое скрыто от наблюдателя другими гранями. Например, ребро $CD$ на задней грани.
Ответ: видимое ребро — $AB$, невидимое ребро — $CD$.

б) Видимая грань — это грань, обращенная к наблюдателю. Например, передняя грань $ABB_1A_1$. Невидимая грань — та, что скрыта от наблюдателя. Например, задняя грань $CDD_1C_1$.
Ответ: видимая грань — $ABB_1A_1$, невидимая грань — $CDD_1C_1$.

Теперь вычислим объём и площадь поверхности параллелепипеда. Поскольку в условии даны длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины ($AB$, $AD$, $AA_1$), и не указаны углы между ними, будем считать, что это прямоугольный параллелепипед. Его измерения (длина, ширина и высота) равны:
$a = AB = 5$ м
$b = AD = 6$ м
$h = AA_1 = 4$ м

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле произведения трёх его измерений:
$V = a \cdot b \cdot h$
$V = 5 \, м \cdot 6 \, м \cdot 4 \, м = 120 \, м^3$

Площадь полной поверхности $S$ — это сумма площадей всех шести граней параллелепипеда. Она вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + ah + bh)$
$S = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 4) = 2(30 + 20 + 24) = 2 \cdot 74 = 148 \, м^2$
Ответ: объём параллелепипеда равен $120 \, м^3$, а площадь его поверхности — $148 \, м^2$.

731 Начерти параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и назови:

а) одно его видимое и одно невидимое ребро;

б) одну видимую и одну невидимую грань. Вычисли его объем и площадь поверхности, если $AB = 5\text{ м}$, $AD = 6\text{ м}$, $AA_1 = 4\text{ м}$.

732 Начерти в масштабе 1 : 4 три проекции тела, изображённого на рис. 143, и вычисли его объ- ём, если $AB = AA_1 = AF = 20 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$, $CD = 8 \text{ см}$.

Рис. 143

Для решения задачи разобьем ее на два пункта: построение проекций и вычисление объема.

а) Построение трех проекций тела в масштабе 1:4.

Сначала определим все размеры тела. Согласно условию, тело вписано в куб с ребром 20 см, так как его ширина $AB = 20$ см, высота $AA_1 = 20$ см и глубина $AF = 20$ см.Из этого куба в правом верхнем переднем углу вырезан прямоугольный параллелепипед.

Определим размеры вырезанного параллелепипеда:

• Ширина выреза: общая ширина 20 см, ширина оставшейся левой части $BC = 12$ см. Значит, ширина выреза равна $20 - 12 = 8$ см.
• Глубина выреза: по условию, длина уступа в направлении глубины $CD = 8$ см. Это и есть глубина выреза.
• Высота выреза: в условии высота уступа не указана. Часто в таких задачах предполагается, что недостающий размер равен одному из известных. Предположим, что высота нижней, более низкой части тела, равна 8 см (по аналогии с размером $CD$). Тогда высота вырезанного параллелепипеда равна разности общей высоты и высоты нижней части: $20 - 8 = 12$ см.

Теперь выполним чертежи проекций в масштабе 1:4. Все размеры нужно разделить на 4.

Размеры для чертежа:

• Габаритные размеры: $20 \text{ см} / 4 = 5$ см.
• Размер $BC$: $12 \text{ см} / 4 = 3$ см.
• Размеры выреза (ширина, глубина, высота): $8 \text{ см} / 4 = 2$ см; $8 \text{ см} / 4 = 2$ см; $12 \text{ см} / 4 = 3$ см.

Описание проекций:

1. Проекция спереди (вид спереди): Мы видим фигуру, вписанную в квадрат $5 \times 5$ см. Из правого верхнего угла этого квадрата вырезан прямоугольник размером $2 \times 3$ см (ширина $\times$ высота). Получается фигура в виде перевернутой буквы "Г".
2. Проекция сверху (вид сверху): Мы видим квадрат $5 \times 5$ см. Внутри него линиями показан уступ. Уступ образует в правом переднем углу (на чертеже, например, правом верхнем) квадрат размером $2 \times 2$ см, который отделен сплошными линиями от остальной части проекции.
3. Проекция слева (вид слева): Мы видим сплошной квадрат $5 \times 5$ см, так как левая грань тела цельная. За этой гранью находится уступ, который показывается штриховыми линиями. На расстоянии 2 см от передней кромки (например, правой стороны чертежа) проходит вертикальная штриховая линия от высоты 2 см до 5 см. От нижней точки этой линии (на высоте 2 см) к передней кромке идет горизонтальная штриховая линия.

Ответ: Проекции тела представляют собой (в масштабе 1:4): вид спереди — квадрат $5 \times 5$ см с вырезанным из правого верхнего угла прямоугольником $2 \times 3$ см; вид сверху — квадрат $5 \times 5$ см, в котором линиями выделен правый передний квадрат $2 \times 2$ см; вид слева — квадрат $5 \times 5$ см со штриховыми линиями, показывающими скрытый уступ.

б) Вычисление объёма тела.

Объём тела можно вычислить как разность объёма исходного большого куба и объёма вырезанного из него прямоугольного параллелепипеда.

1. Объём исходного куба ($V_{куба}$) с ребром $a = 20$ см:$V_{куба} = a^3 = 20^3 = 8000 \text{ см}^3$.

2. Размеры вырезанного параллелепипеда ($V_{выреза}$):

• Ширина ($w_{выреза}$): $20 - BC = 20 - 12 = 8$ см.
• Глубина ($d_{выреза}$): $CD = 8$ см.
• Высота ($h_{выреза}$): Как было обосновано в пункте а), принимаем высоту нижней части равной 8 см. Тогда высота выреза равна $20 - 8 = 12$ см.

3. Объём вырезанного параллелепипеда:$V_{выреза} = w_{выреза} \cdot d_{выреза} \cdot h_{выреза} = 8 \cdot 8 \cdot 12 = 64 \cdot 12 = 768 \text{ см}^3$.

4. Объём тела ($V_{тела}$):$V_{тела} = V_{куба} - V_{выреза} = 8000 - 768 = 7232 \text{ см}^3$.

Ответ: $7232 \text{ см}^3$.

732 Начерти в масштабе 1 : 4 три проекции тела, изображенного на рис. 143, и вычисли его объем, если $AB = AA_1 = AF = 20$ см, $BC = 12$ см, $CD = 8$ см.

Рис. 143

733 Построй на координатной плоскости тре-угольник $ABC$, если $A(-2; -5)$, $B(0; 3)$, $C(8; 5)$. Измерь стороны и углы треугольника $ABC$ и определи его вид.

Построение треугольника ABC

Для построения треугольника ABC на координатной плоскости выполним следующие шаги:
1. Отметим точку A с координатами (-2; -5). Для этого от начала координат (0;0) отложим 2 единицы влево по оси Ox и 5 единиц вниз по оси Oy.
2. Отметим точку B с координатами (0; 3). Эта точка лежит на оси Oy, на 3 единицы выше начала координат.
3. Отметим точку C с координатами (8; 5). Для этого от начала координат отложим 8 единиц вправо по оси Ox и 5 единиц вверх по оси Oy.
4. Соединим точки A и B, B и C, C и A отрезками. В результате получим искомый треугольник ABC.

Измерение сторон и углов треугольника ABC

Поскольку измерение с помощью инструментов на построенном графике может дать неточный результат, мы вычислим длины сторон и величины углов математически, используя координаты вершин.

Длины сторон вычисляются по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
1. Длина стороны AB, где A(-2; -5) и B(0; 3):
$|AB| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
2. Длина стороны BC, где B(0; 3) и C(8; 5):
$|BC| = \sqrt{(8 - 0)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
3. Длина стороны AC, где A(-2; -5) и C(8; 5):
$|AC| = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (5 - (-5))^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

Величины углов найдем с помощью теоремы косинусов. Для угла B, который лежит напротив стороны AC, формула выглядит так:
$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle B)$.
Подставим вычисленные значения длин сторон:
$(\sqrt{200})^2 = (\sqrt{68})^2 + (\sqrt{68})^2 - 2 \cdot \sqrt{68} \cdot \sqrt{68} \cdot \cos(\angle B)$.
$200 = 68 + 68 - 2 \cdot 68 \cdot \cos(\angle B)$.
$200 = 136 - 136 \cdot \cos(\angle B)$.
$136 \cdot \cos(\angle B) = 136 - 200 = -64$.
$\cos(\angle B) = \frac{-64}{136} = -\frac{8}{17}$.
Отсюда $\angle B = \arccos(-\frac{8}{17}) \approx 118,07^\circ$.
Так как $|AB| = |BC|$, треугольник является равнобедренным, и углы при его основании AC равны: $\angle A = \angle C$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} \approx \frac{180^\circ - 118,07^\circ}{2} = \frac{61,93^\circ}{2} \approx 30,96^\circ$.

Ответ: Длины сторон: $|AB| = |BC| = \sqrt{68} \approx 8,25$ ед., $|AC| = \sqrt{200} \approx 14,14$ ед. Величины углов: $\angle A \approx 30,96^\circ$, $\angle B \approx 118,07^\circ$, $\angle C \approx 30,96^\circ$.

Определение вида треугольника

Определим вид треугольника на основе полученных данных.
1. По соотношению длин сторон: Поскольку две стороны треугольника равны ($|AB| = |BC| = \sqrt{68}$), треугольник является равнобедренным.
2. По величине углов: Поскольку один из углов треугольника больше $90^\circ$ ($\angle B \approx 118,07^\circ$), треугольник является тупоугольным.
Это также можно проверить, сравнив квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон.
$|AC|^2 = 200$.
$|AB|^2 + |BC|^2 = 68 + 68 = 136$.
Так как $|AC|^2 > |AB|^2 + |BC|^2$ (то есть $200 > 136$), то треугольник тупоугольный.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным и тупоугольным.

733 Построй на координатной плоскости треугольник $ABC$, если $A(-2; -5)$, $B(0; 3)$, $C(8; 5)$.

Измерь стороны и углы треугольника $ABC$ и определи его вид.

734. Построй треугольник ABC, используя линейку с делениями и транспортир, если:

а) $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle B = 56^\circ$;

б) $BC = 5 \text{ см}$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle C = 32^\circ$;

в) $AC = 4,5 \text{ см}$, $\angle A = 74^\circ$. Сколько решений имеет каждая задача?

а) Построить треугольник $ABC$, если $AB = 6$ см, $BC = 4$ см, $\angle B = 56^\circ$.

Это задача на построение треугольника по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Такое построение всегда возможно и приводит к единственному результату.

Порядок построения:

1. С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной $6$ см.
2. Приложим транспортир к точке $B$ так, чтобы его центр совпал с точкой $B$, а сторона $BA$ прошла через нулевую отметку шкалы транспортира.
3. Отметим на транспортире угол $56^\circ$ и проведем луч из точки $B$ через эту отметку.
4. На построенном луче от точки $B$ отложим с помощью линейки отрезок $BC$ длиной $4$ см.
5. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым. Поскольку построение по двум сторонам и углу между ними однозначно определяет треугольник, задача имеет одно решение.

Ответ: задача имеет 1 решение.

б) Построить треугольник $ABC$, если $BC = 5$ см, $\angle B = 105^\circ$, $\angle C = 32^\circ$.

Это задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Перед построением необходимо проверить, может ли существовать такой треугольник. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Сумма двух данных углов: $\angle B + \angle C = 105^\circ + 32^\circ = 137^\circ$. Так как $137^\circ < 180^\circ$, то третий угол $A$ существует и равен $180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$. Следовательно, треугольник построить можно.

Порядок построения:

1. С помощью линейки начертим отрезок $BC$ длиной $5$ см.
2. От луча $BC$ с помощью транспортира отложим угол, равный $105^\circ$, и проведем луч из вершины $B$.
3. От луча $CB$ с помощью транспортира отложим угол, равный $32^\circ$, и проведем луч из вершины $C$.
4. Точка пересечения двух построенных лучей будет вершиной $A$ искомого треугольника.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым. Построение по стороне и двум прилежащим углам (сумма которых меньше $180^\circ$) однозначно определяет треугольник, поэтому задача имеет одно решение.

Ответ: задача имеет 1 решение.

в) Построить треугольник $ABC$, если $AC = 4,5$ см, $\angle A = 74^\circ$.

Для однозначного построения треугольника необходимо знать три его элемента (например, две стороны и угол между ними или сторону и два угла). В данной задаче указаны только два элемента: сторона и один прилежащий к ней угол. Этих данных недостаточно для построения единственного треугольника.

Порядок построения:

1. С помощью линейки начертим отрезок $AC$ длиной $4,5$ см.
2. От луча $AC$ с помощью транспортира отложим угол, равный $74^\circ$, и проведем луч из вершины $A$. Обозначим его $AM$.
3. Третья вершина треугольника, точка $B$, должна лежать на луче $AM$. Однако ее положение на этом луче никак не задано. Мы можем выбрать любую точку $B$ на луче $AM$ (кроме точки $A$) и, соединив ее с точкой $C$, получить треугольник $ABC$, удовлетворяющий условиям задачи.

Так как выбор точки $B$ на луче $AM$ произволен, можно построить бесконечное множество различных треугольников ($AB_1C$, $AB_2C$ и т.д.), которые будут удовлетворять заданным условиям. Все они будут иметь общую сторону $AC$ и угол $A$, но отличаться длинами сторон $AB$, $BC$ и величиной углов $B$ и $C$.

Ответ: задача имеет бесконечно много решений.

734 Построй треугольник ABC, используя линейку с делениями и транспортир, если:

a) $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle B = 56^\circ$;

б) $BC = 5 \text{ см}$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle C = 32^\circ$;

в) $AC = 4,5 \text{ см}$, $\angle A = 74^\circ$. Сколько решений имеет каждая задача?