Страница 173, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

769 При изготовлении сока из апельсинов $60 \%$ массы уходит в отходы. Что дешевле – купить апельсины по цене 60 р. за килограмм и сделать из них килограмм сока или купить свежий апельсиновый сок по цене 300 р. за килограмм? На сколько процентов дешевле?

Что дешевле – купить апельсины по цене 60 р. за килограмм и сделать из них килограмм сока или купить свежий апельсиновый сок по цене 300 р. за килограмм?

1. Сначала определим, какая часть массы апельсинов идет на сок. Если 60% массы уходит в отходы, то на сок остается:

$100\% - 60\% = 40\%$

Это означает, что из 1 кг апельсинов получается $1 \times 0.4 = 0.4$ кг сока.

2. Теперь найдем, сколько килограммов апельсинов нужно, чтобы получить 1 кг сока. Пусть $x$ - это необходимая масса апельсинов. Тогда масса сока составит $40\%$ от $x$, то есть $0.4x$. Составим уравнение:

$0.4x = 1 \text{ кг}$

$x = \frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ кг}$

Таким образом, для получения 1 кг сока требуется 2.5 кг апельсинов.

3. Рассчитаем стоимость этих апельсинов. Цена апельсинов - 60 рублей за килограмм.

Стоимость = $2.5 \text{ кг} \times 60 \text{ р./кг} = 150$ рублей.

4. Сравним стоимость 1 кг сока, сделанного самостоятельно, со стоимостью 1 кг готового сока:

Стоимость самостоятельно сделанного сока: 150 рублей.

Стоимость готового сока: 300 рублей.

Поскольку $150 < 300$, то дешевле купить апельсины и сделать сок.

Ответ: Дешевле купить апельсины и сделать из них килограмм сока.

На сколько процентов дешевле?

1. Чтобы узнать, на сколько процентов один вариант дешевле другого, нужно разделить разницу в цене на цену более дорогого варианта и умножить на 100%. В данном случае, базой для сравнения является цена готового сока (300 рублей).

2. Найдем разницу в стоимости:

$300 - 150 = 150$ рублей.

3. Рассчитаем процентную разницу:

$\frac{\text{Разница в цене}}{\text{Цена дорогого варианта}} \times 100\% = \frac{150}{300} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$

Ответ: Сделать сок из апельсинов на 50% дешевле, чем купить готовый.

769 При изготовлении сока из апельсинов 60% массы уходит в отходы. Что дешевле – купить апельсины по цене 60 р. за килограмм и сделать из них килограмм сока или купить свежий апельсиновый сок по цене 300 р. за килограмм? На сколько процентов дешевле?

770 Длина прямоугольника в 4 раза больше ширины. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %; а ширину увеличили на 20 % . На сколько процентов изменились периметр и площадь прямоугольника?

Для решения задачи введем переменные. Пусть первоначальная ширина прямоугольника равна $x$. По условию, его длина в 4 раза больше, следовательно, она равна $4x$.

Изменение периметра

1. Найдем первоначальный периметр ($P_1$). Формула периметра прямоугольника: $P = 2 \times (длина + ширина)$.

$P_1 = 2 \times (4x + x) = 2 \times 5x = 10x$.

2. Найдем новые размеры прямоугольника. Длину уменьшили на 20%, то есть она стала составлять $100\% - 20\% = 80\%$ (или 0,8) от первоначальной. Ширину увеличили на 20%, то есть она стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$ (или 1,2) от первоначальной.

Новая длина $l_2 = 4x \times 0.8 = 3.2x$.

Новая ширина $w_2 = x \times 1.2 = 1.2x$.

3. Найдем новый периметр ($P_2$) с новыми размерами:

$P_2 = 2 \times (3.2x + 1.2x) = 2 \times 4.4x = 8.8x$.

4. Сравним новый периметр с первоначальным, чтобы найти процентное изменение. Разница составляет $P_2 - P_1 = 8.8x - 10x = -1.2x$.

Процентное изменение равно отношению разницы к первоначальному значению, умноженному на 100%:

$\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100\% = \frac{-1.2x}{10x} \times 100\% = -0.12 \times 100\% = -12\%$.

Знак "минус" показывает, что периметр уменьшился.

Ответ: периметр уменьшился на 12%.

Изменение площади

1. Найдем первоначальную площадь ($S_1$). Формула площади прямоугольника: $S = длина \times ширина$.

$S_1 = 4x \times x = 4x^2$.

2. Найдем новую площадь ($S_2$) с новыми размерами ($l_2 = 3.2x$ и $w_2 = 1.2x$):

$S_2 = 3.2x \times 1.2x = 3.84x^2$.

3. Сравним новую площадь с первоначальной, чтобы найти процентное изменение. Разница составляет $S_2 - S_1 = 3.84x^2 - 4x^2 = -0.16x^2$.

Процентное изменение равно:

$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\% = \frac{-0.16x^2}{4x^2} \times 100\% = -0.04 \times 100\% = -4\%$.

Знак "минус" показывает, что площадь уменьшилась.

Ответ: площадь уменьшилась на 4%.

770 Длина прямоугольника в 4 раза больше ширины. Длину прямоугольника уменьшили на 20%, а ширину увеличили на 20%. На сколько процентов изменились периметр и площадь прямоугольника?

771. Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв:

a) разность куба числа $a$ и утроенного произведения квадрата числа $b$ на число $c$ ($a = -2$; $b = 0,5$; $c = -0,4$);

б) квадрат суммы удвоенного числа $x$ и частного чисел $y$ и $z$ ($x = -1,5$; $y = 1\frac{2}{3}$; $z = -\frac{5}{6}$).

а) Сначала запишем выражение, соответствующее словесному описанию. "Куб числа $a$" — это $a^3$. "Квадрат числа $b$" — это $b^2$. "Произведение квадрата числа $b$ на число $c$" — это $b^2c$. "Утроенное произведение" — это $3b^2c$. "Разность куба числа $a$ и утроенного произведения..." — это $a^3 - 3b^2c$.

Теперь подставим данные значения $a = -2$, $b = 0,5$ и $c = -0,4$ в полученное выражение:

$a^3 - 3b^2c = (-2)^3 - 3 \cdot (0,5)^2 \cdot (-0,4)$

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Возведение в степень: $(-2)^3 = -8$ и $(0,5)^2 = 0,25$.

2. Умножение: $3 \cdot 0,25 \cdot (-0,4) = 0,75 \cdot (-0,4) = -0,3$.

3. Вычитание: $-8 - (-0,3) = -8 + 0,3 = -7,7$.

Ответ: -7,7.

б) Запишем выражение. "Удвоенное число $x$" — это $2x$. "Частное чисел $y$ и $z$" — это $\frac{y}{z}$. "Сумма удвоенного числа $x$ и частного чисел $y$ и $z$" — это $2x + \frac{y}{z}$. "Квадрат суммы..." — это $(2x + \frac{y}{z})^2$.

Теперь подставим данные значения $x = -1,5$, $y = 1\frac{2}{3}$ и $z = -\frac{5}{6}$. Для удобства вычислений переведем все числа в обыкновенные дроби:

$x = -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$

$y = 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Подставим эти значения в выражение $(2x + \frac{y}{z})^2$ и вычислим его значение по действиям:

1. Найдем удвоенное число $x$: $2x = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) = -3$.

2. Найдем частное чисел $y$ и $z$: $\frac{y}{z} = \frac{5}{3} \div (-\frac{5}{6}) = \frac{5}{3} \cdot (-\frac{6}{5}) = -\frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 5} = -\frac{30}{15} = -2$.

3. Найдем сумму: $2x + \frac{y}{z} = -3 + (-2) = -5$.

4. Возведем сумму в квадрат: $(-5)^2 = 25$.

Ответ: 25.

771 Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв:

а) разность куба числа $a$ и утроенного произведения квадрата числа $b$ на число $c$ ($a = -2; b = 0,5; c = -0,4$);

б) квадрат суммы удвоенного числа $x$ и частного чисел $y$ и $z$ ($x = -1,5; y = 1\frac{2}{3}; z = -\frac{5}{6}$).

772 Найди множество корней уравнения:

a) $2(3x + 4) = 20 - 6(2 - x);$

б) $1,6x + 0,8 = -0,3(4 - 5x);$

в) $7x - 4(2x + 3) = 4(x - 2) - 5(x + 4);$

г) $2,4 + 4(-0,1x + 0,8) = 1,7x - 5(0,3x - 1).$

а) Решим уравнение $2(3x + 4) = 20 - 6(2 - x)$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2 \cdot 3x + 2 \cdot 4 = 20 - (6 \cdot 2 - 6 \cdot x)$
$6x + 8 = 20 - 12 + 6x$
$6x + 8 = 8 + 6x$
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 6x = 8 - 8$
$0 \cdot x = 0$
Это равенство является верным при любом значении $x$. Следовательно, множество корней уравнения — все действительные числа.
Ответ: Множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$).

б) Решим уравнение $1,6x + 0,8 = -0,3(4 - 5x)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$1,6x + 0,8 = -0,3 \cdot 4 - 0,3 \cdot (-5x)$
$1,6x + 0,8 = -1,2 + 1,5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$1,6x - 1,5x = -1,2 - 0,8$
$0,1x = -2$
Найдем $x$:
$x = \frac{-2}{0,1}$
$x = -20$
Ответ: $\{-20\}$.

в) Решим уравнение $7x - 4(2x + 3) = 4(x - 2) - 5(x + 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$7x - (4 \cdot 2x + 4 \cdot 3) = (4 \cdot x - 4 \cdot 2) - (5 \cdot x + 5 \cdot 4)$
$7x - 8x - 12 = 4x - 8 - 5x - 20$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$-x - 12 = -x - 28$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-x + x = -28 + 12$
$0 \cdot x = -16$
Это равенство неверно при любом значении $x$. Следовательно, у уравнения нет корней.
Ответ: Пустое множество ($\emptyset$).

г) Решим уравнение $2,4 + 4(-0,1x + 0,8) = 1,7x - 5(0,3x - 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$2,4 + 4 \cdot (-0,1x) + 4 \cdot 0,8 = 1,7x - (5 \cdot 0,3x - 5 \cdot 1)$
$2,4 - 0,4x + 3,2 = 1,7x - 1,5x + 5$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$5,6 - 0,4x = 0,2x + 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть, а свободные члены — в другую:
$5,6 - 5 = 0,2x + 0,4x$
$0,6 = 0,6x$
Найдем $x$:
$x = \frac{0,6}{0,6}$
$x = 1$
Ответ: $\{1\}$.

772 Назови коэффициенты и буквенные части выражений:

а) $-5ab$

б) $0,3x^2$

в) $m^3n$

г) $-y$

д) $-2b \cdot (-0,6c)$

773 В первый час мотоциклист проехал $20\%$ всего пути, во второй час – на $8 \text{ км}$ больше, чем в первый, в третий – на $25\%$ меньше, чем во второй, а в четвёртый – остальные $49 \text{ км}$. Чему равен весь путь мотоциклиста?

Для решения задачи обозначим весь путь мотоциклиста через $x$ км.

1. Найдем расстояние, пройденное в первый час.

В первый час мотоциклист проехал 20% всего пути. В десятичных дробях это $0.2$.
Расстояние за первый час: $S_1 = 0.2x$ км.

2. Найдем расстояние, пройденное во второй час.

Во второй час он проехал на 8 км больше, чем в первый.
Расстояние за второй час: $S_2 = S_1 + 8 = 0.2x + 8$ км.

3. Найдем расстояние, пройденное в третий час.

В третий час он проехал на 25% меньше, чем во второй. Это означает, что он проехал $100\% - 25\% = 75\%$ от расстояния второго часа. В десятичных дробях это $0.75$.
Расстояние за третий час: $S_3 = 0.75 \cdot S_2 = 0.75 \cdot (0.2x + 8) = 0.15x + 6$ км.

4. Запишем расстояние, пройденное в четвертый час.

По условию, в четвертый час он проехал оставшиеся 49 км.
Расстояние за четвертый час: $S_4 = 49$ км.

5. Составим и решим уравнение.

Сумма расстояний, пройденных за все четыре часа, равна всему пути $x$.
$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = x$

$0.2x + (0.2x + 8) + (0.15x + 6) + 49 = x$

Сложим все слагаемые с $x$ и все числовые слагаемые в левой части:

$(0.2 + 0.2 + 0.15)x + (8 + 6 + 49) = x$

$0.55x + 63 = x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$63 = x - 0.55x$

$63 = 0.45x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{63}{0.45} = \frac{6300}{45} = 140$

Таким образом, весь путь мотоциклиста составляет 140 км.

Ответ: 140 км.

773 Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

а) $2(7 - 3x) + 4x - 9;$

б) $a(y + 6) - y(a - 1) - 6a;$

в) $9m - 4(2m + n) + 2(-m + 3n);$

г) $2a^2 - a(3a - b) - b(a - b).$

774 Из города к озеру вышел турист со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а через $15 \text{ мин}$ вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $20 \text{ км/ч}$. Через сколько минут после своего выезда велосипедист догнал туриста? На каком расстоянии от города находится озеро, если турист прибыл туда на $2 \text{ ч}$ позже велосипедиста?

Через сколько минут после своего выезда велосипедист догнал туриста?

1. Сначала определим, какое расстояние успел пройти турист за 15 минут до выезда велосипедиста. Для этого переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0.25$ ч.

2. За это время турист прошел расстояние: $S_{форы} = v_{т} \times t = 5 \text{ км/ч} \times 0.25 \text{ ч} = 1.25$ км. Это начальное расстояние между ними в момент старта велосипедиста.

3. Найдем скорость сближения, которая равна разности скоростей велосипедиста и туриста: $v_{сбл} = v_{в} - v_{т} = 20 \text{ км/ч} - 5 \text{ км/ч} = 15$ км/ч.

4. Время, через которое велосипедист догонит туриста, находим, разделив начальное расстояние между ними на скорость сближения: $t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{1.25 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{5/4}{15} \text{ ч} = \frac{5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{12}$ ч.

5. Переведем полученное время в минуты: $t_{встречи} = \frac{1}{12} \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 5$ минут.

Ответ: 5 минут.

На каком расстоянии от города находится озеро, если турист прибыл туда на 2 ч позже велосипедиста?

1. Обозначим искомое расстояние от города до озера как $S$ (в км).

2. Время, которое затратил на весь путь турист, составляет $t_{т} = \frac{S}{v_{т}} = \frac{S}{5}$ ч. Время, которое затратил на весь путь велосипедист, составляет $t_{в} = \frac{S}{v_{в}} = \frac{S}{20}$ ч.

3. Турист вышел на 15 минут ($0.25$ часа) раньше велосипедиста, а прибыл к озеру на 2 часа позже. Составим уравнение, выразив время прибытия каждого относительно момента старта туриста.
Время прибытия туриста: $T_{т} = t_{т} = \frac{S}{5}$.
Время прибытия велосипедиста (с учетом его более позднего старта): $T_{в} = 0.25 + t_{в} = 0.25 + \frac{S}{20}$.

4. Согласно условию, время прибытия туриста на 2 часа больше времени прибытия велосипедиста:
$T_{т} = T_{в} + 2$
Подставим наши выражения:
$\frac{S}{5} = (0.25 + \frac{S}{20}) + 2$

5. Решим полученное уравнение относительно $S$:
$\frac{S}{5} = \frac{S}{20} + 2.25$
$\frac{S}{5} - \frac{S}{20} = 2.25$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{4S - S}{20} = 2.25$
$\frac{3S}{20} = 2.25$
$3S = 2.25 \times 20$
$3S = 45$
$S = \frac{45}{3} = 15$ км.

Ответ: 15 км.

774 Найди множество корней уравнения:

а) $2(3x + 4) = 20 - 6(2 - x);$

б) $1.6x + 0.8 = -0.3(4 - 5x);$

в) $7x - 4(2x + 3) = 4(x - 2) - 5(x + 4);$

г) $2.4 + 4(-0.1x + 0.8) = 1.7x - 5(0.3x - 1).$

775. Прочитай высказывания. Истинны они или ложны? Что ты замечаешь?

В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $\Leftrightarrow$?

а) $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25$;

б) $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5$;

в) $|x| = 5 \Rightarrow x^2 = 25$;

г) $x^2 = 25 \Rightarrow |x| = 5$.

Для определения истинности высказываний вида $A \Rightarrow B$ (читается как "если A, то B"), нужно проверить, всегда ли при истинности утверждения A будет истинным и утверждение B. Если можно найти хотя бы один случай (контрпример), когда A истинно, а B ложно, то все высказывание $A \Rightarrow B$ является ложным.

а) $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25$
Проверим данное высказывание. Если левая часть ($x = -5$) истинна, подставим это значение в правую часть:
$(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$.
Правая часть ($x^2 = 25$) также оказывается истинной. Так как из истинности левой части следует истинность правой, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

б) $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5$
Проверим это высказывание. Левая часть ($x^2 = 25$) истинна при двух значениях $x$: $x=5$ и $x=-5$.
Рассмотрим случай, когда $x=5$. Левая часть $5^2 = 25$ истинна. Однако правая часть, $x=-5$, в этом случае ложна, так как $5 \neq -5$.
Мы нашли контрпример, при котором условие выполняется, а следствие — нет. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

в) $|x| = 5 \Rightarrow x^2 = 25$
Левая часть ($|x| = 5$) истинна при $x=5$ и при $x=-5$. Проверим оба случая для правой части.
1. Если $x=5$, то $x^2 = 5^2 = 25$. Правая часть истинна.
2. Если $x=-5$, то $x^2 = (-5)^2 = 25$. Правая часть истинна.
В обоих случаях, когда левая часть истинна, правая также оказывается истинной. Контрпримеров нет. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

г) $x^2 = 25 \Rightarrow |x| = 5$
Левая часть ($x^2 = 25$) истинна при $x=5$ и при $x=-5$. Проверим оба случая для правой части.
1. Если $x=5$, то $|x| = |5| = 5$. Правая часть истинна.
2. Если $x=-5$, то $|x| = |-5| = 5$. Правая часть истинна.
В обоих случаях, когда левая часть истинна, правая также оказывается истинной. Контрпримеров нет. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что высказывания а) и б), а также в) и г) являются взаимно обратными. В первой паре (а и б) прямое высказывание истинно, а обратное — ложно. Во второй паре (в и г) и прямое, и обратное высказывания истинны. Это происходит потому, что множества решений уравнений $|x|=5$ и $x^2=25$ совпадают (в обоих случаях это $\{-5, 5\}$), в то время как множество решений уравнения $x=-5$ (состоит из одного числа $\{-5\}$) является лишь частью множества решений уравнения $x^2=25$.

В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $\Leftrightarrow$?

Знак $\Leftrightarrow$ (эквивалентность или равносильность) означает, что высказывания истинны или ложны одновременно. Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно только тогда, когда истинны оба следования: $A \Rightarrow B$ и $B \Rightarrow A$.
Проанализируем наши пары:
1. Для пары а) и б): высказывание $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25$ истинно, но обратное $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5$ ложно. Значит, составить истинное высказывание $x = -5 \Leftrightarrow x^2 = 25$ нельзя.
2. Для пары в) и г): высказывание $|x|=5 \Rightarrow x^2=25$ истинно, и обратное $x^2=25 \Rightarrow |x|=5$ тоже истинно. Значит, можно составить истинное высказывание со знаком эквивалентности: $|x|=5 \Leftrightarrow x^2=25$.
Ответ: Истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$ можно составить в случае в) и г), так как оба следования (прямое и обратное) являются истинными.

775 В первый час мотоциклист проехал $20\%$ всего пути, во второй час на $8$ км больше, чем в первый, в третий – на $25\%$ меньше, чем во второй, а в четвертый – остальные $49$ км. Чему равен весь путь мотоциклиста?

776 Три маляра покрасили забор за $a$ ч. Первый маляр, работая один, может покрасить этот забор за $b$ ч, а второй – за $c$ ч. За сколько времени покрасит этот забор третий маляр, если будет работать один?

Для решения этой задачи введем понятие производительности труда. Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Примем всю работу по покраске забора за 1.

1. Определим производительность каждого маляра и их общую производительность.

• Первый маляр красит забор за $b$ часов, следовательно, его производительность (часть забора в час) равна $P_1 = \frac{1}{b}$.
• Второй маляр красит забор за $c$ часов, его производительность равна $P_2 = \frac{1}{c}$.
• Три маляра вместе красят забор за $a$ часов, их общая производительность равна $P_{общ} = \frac{1}{a}$.
• Пусть третий маляр красит забор в одиночку за $x$ часов. Тогда его производительность равна $P_3 = \frac{1}{x}$.

2. Составим уравнение.

Общая производительность при совместной работе равна сумме производительностей каждого маляра:

$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3$

Подставим известные значения в это уравнение:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{x}$

3. Выразим из уравнения производительность третьего маляра ($P_3 = \frac{1}{x}$).

Для этого перенесем производительности первого и второго маляров в левую часть уравнения:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$

4. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю.

Общим знаменателем для $a$, $b$ и $c$ является их произведение $abc$.

$\frac{1}{x} = \frac{bc}{abc} - \frac{ac}{abc} - \frac{ab}{abc}$

$\frac{1}{x} = \frac{bc - ac - ab}{abc}$

5. Найдем время $x$.

Мы нашли производительность третьего маляра. Чтобы найти время $x$, которое ему потребуется на всю работу, нужно взять величину, обратную производительности:

$x = \frac{1}{\frac{bc - ac - ab}{abc}}$

$x = \frac{abc}{bc - ac - ab}$

Это и есть время, за которое третий маляр покрасит забор, работая один.

Ответ: $\frac{abc}{bc - ac - ab}$ ч.

776 Из города к озеру вышел турист со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а через $15 \text{ мин}$ вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $20 \text{ км/ч}$. Через сколько минут после своего выезда велосипедист догнал туриста? На каком расстоянии от города находится озеро, если турист прибыл туда на $2 \text{ ч}$ позже велосипедиста?

777 а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $3x(x+1)(x-1) = 0$.

б) Реши уравнение методом перебора: $5x(x-1)(6-x) = 120$, где $x \in N$.

а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $3x(x+1)(x-1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В левой части уравнения у нас три множителя: $3x$, $(x+1)$ и $(x-1)$. Будем пробовать поочередно приравнять каждый из них к нулю.

Проба 1: Приравняем первый множитель к нулю.

$3x = 0$

$x = 0$

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения: $3 \cdot 0 \cdot (0+1) \cdot (0-1) = 0 \cdot 1 \cdot (-1) = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=0$ — корень уравнения.

Проба 2: Приравняем второй множитель к нулю.

$x+1 = 0$

$x = -1$

Проверим, является ли $x=-1$ корнем уравнения: $3 \cdot (-1) \cdot (-1+1) \cdot (-1-1) = -3 \cdot 0 \cdot (-2) = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=-1$ — корень уравнения.

Проба 3: Приравняем третий множитель к нулю.

$x-1 = 0$

$x = 1$

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения: $3 \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1-1) = 3 \cdot 2 \cdot 0 = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=1$ — корень уравнения.

Таким образом, мы нашли три корня уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) Реши уравнение методом перебора: $5x(x-1)(6-x) = 120$, где $x \in \mathbb{N}$.

Сначала упростим уравнение, разделив обе части на 5:

$x(x-1)(6-x) = \frac{120}{5}$

$x(x-1)(6-x) = 24$

По условию, $x$ является натуральным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.
Произведение в левой части равно положительному числу 24. Это означает, что все множители должны быть положительными (так как $x$ и $x-1$ не могут быть одновременно отрицательными для $x \in \mathbb{N}$).

1. $x > 0$ (выполняется, так как $x$ - натуральное число).
2. $x-1 > 0 \implies x > 1$.
3. $6-x > 0 \implies x < 6$.

Таким образом, нам нужно найти натуральное число $x$, которое больше 1, но меньше 6. Возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5. Теперь применим метод перебора, подставляя эти значения в упрощенное уравнение.

• Если $x=2$: $2 \cdot (2-1) \cdot (6-2) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8$. $8 \neq 24$. Значение не подходит.
• Если $x=3$: $3 \cdot (3-1) \cdot (6-3) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$. $18 \neq 24$. Значение не подходит.
• Если $x=4$: $4 \cdot (4-1) \cdot (6-4) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$. $24 = 24$. Значение подходит.
• Если $x=5$: $5 \cdot (5-1) \cdot (6-5) = 5 \cdot 4 \cdot 1 = 20$. $20 \neq 24$. Значение не подходит.

Перебор показал, что единственным натуральным корнем уравнения является $x=4$.

Ответ: $x=4$.

777 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Что ты замечаешь? Какие высказывания равносильны?

a) $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25;$

б) $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5;$

в) $|x| = 5 \Rightarrow x^2 = 25;$

г) $x^2 = 25 \Rightarrow |x| = 5.$

778 Подготовь информационный проект (презентацию, ролик, задачник и др.) по одной из следующих тем: «НОД, НОК, простые числа», «Появление нуля и отрицательных чисел», «Появление десятичных дробей», «Первый русский учебник математики», «С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик». Ты можешь выбрать другую интересную тебе тему из истории математики. Материалы для проекта ты найдёшь по адресу: https://files.sch2000.ru/rar/lessons/kurs-matematika-1-9-klassy/metodicheskie-materialy/osnovnaya-shkola/dopolnitelnye_materialy_6%20klass.rar.

Это задание представляет собой творческий проект. Вместо выполнения самого проекта (создания презентации или ролика), я представлю развернутый план-конспект для нескольких предложенных тем. Этот план можно использовать как основу для подготовки собственного проекта.

«НОД, НОК, простые числа»

Этот проект может быть реализован в виде презентации или задачника с теорией.

План проекта:

1. Введение: Мир чисел.
Кратко рассказать о натуральных числах и о том, как древние люди начали изучать их свойства. Понятия делителя и кратного.

2. Простые числа – «атомы» математики.
• Определение: простое число – это натуральное число больше 1, у которого только два делителя: 1 и оно само.
• Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• Составные числа: числа, имеющие более двух делителей. Примеры: 4, 6, 8, 9, 10, ...
• Решето Эратосфена: наглядный алгоритм для нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа.
• Основная теорема арифметики: любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

3. Наибольший общий делитель (НОД).
• Определение: НОД двух или нескольких натуральных чисел – это самое большое натуральное число, на которое они все делятся без остатка.
• Способы нахождения:
а) Перебор делителей (для маленьких чисел).
б) Разложение на простые множители. Для нахождения НОД нужно разложить числа на простые множители и найти произведение их общих множителей, взятых с наименьшей степенью.
Пример: Найти НОД(48, 60).
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Общие множители: 2 и 3. Наименьшие степени: $2^2$ и $3^1$.
НОД(48, 60) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
в) Алгоритм Евклида: более эффективный способ для больших чисел.
• Взаимно простые числа: числа, у которых НОД равен 1.

4. Наименьшее общее кратное (НОК).
• Определение: НОК двух или нескольких натуральных чисел – это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.
• Способы нахождения:
а) Перебор кратных (для маленьких чисел).
б) Разложение на простые множители. Нужно выписать множители одного числа и добавить к ним недостающие множители из разложения других чисел.
Пример: Найти НОК(48, 60).
$48 = 2^4 \cdot 3^1$
$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Берём все простые множители в наибольшей степени: $2^4$, $3^1$, $5^1$.
НОК(48, 60) = $2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.
• Связь НОД и НОК: для двух чисел $a$ и $b$ верна формула: НОК(a, b) $\cdot$ НОД(a, b) = $a \cdot b$.

5. Применение.
• НОД используется для сокращения дробей.
• НОК используется для приведения дробей к общему знаменателю.
• Простые числа лежат в основе современной криптографии (шифрования данных).

Ответ: Проект по теме «НОД, НОК, простые числа» будет включать определения этих понятий, исторические справки (Решето Эратосфена), алгоритмы нахождения с примерами (разложение на множители, алгоритм Евклида), а также описание практического применения этих концепций в математике и современной жизни, например, в криптографии.

«Появление нуля и отрицательных чисел»

Этот проект лучше всего представить в виде иллюстрированной презентации или небольшого видеоролика, рассказывающего историю.

План проекта:

1. Мир без нуля.
• Рассказать, как обходились без нуля древние цивилизации (Египет, Рим). Римские цифры (I, V, X) не имели знака для нуля, что делало арифметические вычисления очень громоздкими.
• Проблема позиционной системы счисления: как отличить 25 от 205 или 250? Вавилоняне первыми придумали специальный символ-пропуск, но не считали его числом.

2. Рождение нуля в Индии.
• Около V века н.э. в Индии появляется концепция нуля («шунья» – пустота) не просто как пропуска, а как полноценного числа.
• Индийский математик Брахмагупта в VII веке описал правила действий с нулём (сложение, вычитание, умножение). Он же определил, что $a - a = 0$.
• Распространение через арабский мир: арабские математики перевели индийские труды, назвали ноль «сифр» (отсюда русское «цифра» и английское «zero»).

3. Появление отрицательных чисел.
• Ранние концепции долга: первые упоминания отрицательных величин встречаются в древнем Китае (II век до н.э.), где их использовали для обозначения долгов и решали с их помощью системы уравнений. Положительные числа изображали красными палочками, а отрицательные – чёрными.
• Индия: тот же Брахмагупта рассматривал отрицательные числа как «долг», в противоположность «имуществу» (положительные числа), и сформулировал правила для операций с ними. Например: «долг минус ноль есть долг», «имущество, отнятое у нуля, становится долгом».
• Трудный путь в Европе: европейские математики долгое время не признавали отрицательные числа, называя их «ложными» или «абсурдными». Как может что-то быть меньше, чем ничего? Лишь в XVII-XVIII веках, с развитием алгебры и введением числовой оси, отрицательные числа получили полное признание.

4. Заключение: революция в математике.
• Появление нуля и отрицательных чисел позволило создать стройную систему целых чисел, развить алгебру, ввести систему координат и в конечном итоге построить всё здание современного математического анализа. Эти концепции являются фундаментом для физики, экономики и компьютерных наук.

Ответ: Проект по теме «Появление нуля и отрицательных чисел» расскажет исторический путь развития этих фундаментальных математических понятий. Он осветит, как древние цивилизации обходились без них, где и как они впервые появились (ноль в Индии, отрицательные числа в Китае), и какой долгий путь они прошли, прежде чем стать общепринятыми в Европе, произведя революцию в науке.

«С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик»

Это биографический проект, который можно оформить как презентацию, доклад или эссе.

План проекта:

1. Введение.
• Представление Софьи Васильевны Ковалевской (1850–1891) как первой в России и в Северной Европе женщины-профессора математики и первой в мире женщины, избранной членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Подчеркнуть её роль как символа борьбы женщин за право на высшее образование и научную деятельность.

2. Детство и «странная» страсть к математике.
• Ранние годы, проявление таланта к математике.
• Забавная история о том, как стены её детской комнаты были оклеены листами с лекциями о дифференциальном и интегральном исчислении, которые она изучала самостоятельно.

3. Борьба за образование.
• В то время в России женщины не могли поступать в университеты.
• Фиктивный брак с Владимиром Ковалевским как единственный способ уехать учиться в Европу.
• Обучение в Гейдельбергском и Берлинском университетах. В Берлине ей, как женщине, было отказано в посещении лекций, но великий математик Карл Вейерштрасс, поражённый её талантом, согласился давать ей частные уроки.

4. Научные триумфы.
• Защита докторской диссертации в 1874 году «с наивысшей похвалой» сразу по трём работам, одна из которых содержала знаменитую теорему Коши-Ковалевской.
• Главное достижение: работа «Задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки». За решение этой задачи, над которой бились лучшие умы, Парижская академия наук присудила ей престижную премию Бордена в 1888 году, причём сумму премии увеличили вдвое за исключительное качество работы.
• Избрание профессором Стокгольмского университета.

5. Литературное творчество и наследие.
• Ковалевская была также талантливой писательницей (повесть «Нигилистка», автобиографическая книга «Воспоминания детства»).
• Её короткая, но яркая жизнь (умерла в 41 год) стала вдохновляющим примером для женщин-учёных по всему миру.

Ответ: Проект о Софье Ковалевской будет представлять собой биографический рассказ о её жизни и научной деятельности. План включает освещение её ранних лет, упорной борьбы за право на образование в условиях гендерных ограничений XIX века, её выдающихся научных достижений, в частности, решения задачи о вращении твёрдого тела, а также её литературного таланта и огромного вклада в борьбу за равноправие женщин в науке.

778 Три маляра покрасили забор за $a$ ч. Первый маляр, работая один, может покрасить этот забор за $b$ ч, а второй – за $c$ ч. За сколько времени покрасит этот забор третий маляр, если будет работать один?

779 a) Реши уравнение методом проб и ошибок: $3x(x + 1)(x - 1) = 0$.

б) Реши уравнение методом перебора: $5x(x - 1)(6 - x) = 120$, где $x \in N$.