Номер 775, страница 173, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 775, страница 173.

Условие 2023.

775. Прочитай высказывания. Истинны они или ложны? Что ты замечаешь?

В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $\Leftrightarrow$?

а) $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25$;

б) $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5$;

в) $|x| = 5 \Rightarrow x^2 = 25$;

г) $x^2 = 25 \Rightarrow |x| = 5$.

Решение 2 (2023).

Для определения истинности высказываний вида $A \Rightarrow B$ (читается как "если A, то B"), нужно проверить, всегда ли при истинности утверждения A будет истинным и утверждение B. Если можно найти хотя бы один случай (контрпример), когда A истинно, а B ложно, то все высказывание $A \Rightarrow B$ является ложным.

а) $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25$
Проверим данное высказывание. Если левая часть ($x = -5$) истинна, подставим это значение в правую часть:
$(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$.
Правая часть ($x^2 = 25$) также оказывается истинной. Так как из истинности левой части следует истинность правой, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

б) $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5$
Проверим это высказывание. Левая часть ($x^2 = 25$) истинна при двух значениях $x$: $x=5$ и $x=-5$.
Рассмотрим случай, когда $x=5$. Левая часть $5^2 = 25$ истинна. Однако правая часть, $x=-5$, в этом случае ложна, так как $5 \neq -5$.
Мы нашли контрпример, при котором условие выполняется, а следствие — нет. Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

в) $|x| = 5 \Rightarrow x^2 = 25$
Левая часть ($|x| = 5$) истинна при $x=5$ и при $x=-5$. Проверим оба случая для правой части.
1. Если $x=5$, то $x^2 = 5^2 = 25$. Правая часть истинна.
2. Если $x=-5$, то $x^2 = (-5)^2 = 25$. Правая часть истинна.
В обоих случаях, когда левая часть истинна, правая также оказывается истинной. Контрпримеров нет. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

г) $x^2 = 25 \Rightarrow |x| = 5$
Левая часть ($x^2 = 25$) истинна при $x=5$ и при $x=-5$. Проверим оба случая для правой части.
1. Если $x=5$, то $|x| = |5| = 5$. Правая часть истинна.
2. Если $x=-5$, то $|x| = |-5| = 5$. Правая часть истинна.
В обоих случаях, когда левая часть истинна, правая также оказывается истинной. Контрпримеров нет. Высказывание истинно.
Ответ: истинно.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что высказывания а) и б), а также в) и г) являются взаимно обратными. В первой паре (а и б) прямое высказывание истинно, а обратное — ложно. Во второй паре (в и г) и прямое, и обратное высказывания истинны. Это происходит потому, что множества решений уравнений $|x|=5$ и $x^2=25$ совпадают (в обоих случаях это $\{-5, 5\}$), в то время как множество решений уравнения $x=-5$ (состоит из одного числа $\{-5\}$) является лишь частью множества решений уравнения $x^2=25$.

В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $\Leftrightarrow$?

Знак $\Leftrightarrow$ (эквивалентность или равносильность) означает, что высказывания истинны или ложны одновременно. Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно только тогда, когда истинны оба следования: $A \Rightarrow B$ и $B \Rightarrow A$.
Проанализируем наши пары:
1. Для пары а) и б): высказывание $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25$ истинно, но обратное $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5$ ложно. Значит, составить истинное высказывание $x = -5 \Leftrightarrow x^2 = 25$ нельзя.
2. Для пары в) и г): высказывание $|x|=5 \Rightarrow x^2=25$ истинно, и обратное $x^2=25 \Rightarrow |x|=5$ тоже истинно. Значит, можно составить истинное высказывание со знаком эквивалентности: $|x|=5 \Leftrightarrow x^2=25$.
Ответ: Истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$ можно составить в случае в) и г), так как оба следования (прямое и обратное) являются истинными.

Условие 2010-2022.

775 В первый час мотоциклист проехал $20\%$ всего пути, во второй час на $8$ км больше, чем в первый, в третий – на $25\%$ меньше, чем во второй, а в четвертый – остальные $49$ км. Чему равен весь путь мотоциклиста?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).