Номер 777, страница 173, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Задачи на повторение. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 777, страница 173.

Условие 2023.

777 а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $3x(x+1)(x-1) = 0$.

б) Реши уравнение методом перебора: $5x(x-1)(6-x) = 120$, где $x \in N$.

Решение 2 (2023).

а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $3x(x+1)(x-1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В левой части уравнения у нас три множителя: $3x$, $(x+1)$ и $(x-1)$. Будем пробовать поочередно приравнять каждый из них к нулю.

Проба 1: Приравняем первый множитель к нулю.

$3x = 0$

$x = 0$

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения: $3 \cdot 0 \cdot (0+1) \cdot (0-1) = 0 \cdot 1 \cdot (-1) = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=0$ — корень уравнения.

Проба 2: Приравняем второй множитель к нулю.

$x+1 = 0$

$x = -1$

Проверим, является ли $x=-1$ корнем уравнения: $3 \cdot (-1) \cdot (-1+1) \cdot (-1-1) = -3 \cdot 0 \cdot (-2) = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=-1$ — корень уравнения.

Проба 3: Приравняем третий множитель к нулю.

$x-1 = 0$

$x = 1$

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения: $3 \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1-1) = 3 \cdot 2 \cdot 0 = 0$. Равенство $0 = 0$ верно. Значит, $x=1$ — корень уравнения.

Таким образом, мы нашли три корня уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) Реши уравнение методом перебора: $5x(x-1)(6-x) = 120$, где $x \in \mathbb{N}$.

Сначала упростим уравнение, разделив обе части на 5:

$x(x-1)(6-x) = \frac{120}{5}$

$x(x-1)(6-x) = 24$

По условию, $x$ является натуральным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.
Произведение в левой части равно положительному числу 24. Это означает, что все множители должны быть положительными (так как $x$ и $x-1$ не могут быть одновременно отрицательными для $x \in \mathbb{N}$).

1. $x > 0$ (выполняется, так как $x$ - натуральное число).
2. $x-1 > 0 \implies x > 1$.
3. $6-x > 0 \implies x < 6$.

Таким образом, нам нужно найти натуральное число $x$, которое больше 1, но меньше 6. Возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5. Теперь применим метод перебора, подставляя эти значения в упрощенное уравнение.

• Если $x=2$: $2 \cdot (2-1) \cdot (6-2) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8$. $8 \neq 24$. Значение не подходит.
• Если $x=3$: $3 \cdot (3-1) \cdot (6-3) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$. $18 \neq 24$. Значение не подходит.
• Если $x=4$: $4 \cdot (4-1) \cdot (6-4) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$. $24 = 24$. Значение подходит.
• Если $x=5$: $5 \cdot (5-1) \cdot (6-5) = 5 \cdot 4 \cdot 1 = 20$. $20 \neq 24$. Значение не подходит.

Перебор показал, что единственным натуральным корнем уравнения является $x=4$.

Ответ: $x=4$.

Условие 2010-2022.

777 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Что ты замечаешь? Какие высказывания равносильны?

a) $x = -5 \Rightarrow x^2 = 25;$

б) $x^2 = 25 \Rightarrow x = -5;$

в) $|x| = 5 \Rightarrow x^2 = 25;$

г) $x^2 = 25 \Rightarrow |x| = 5.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).