Номер 778, страница 173, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 778, страница 173.

Условие 2023.

778 Подготовь информационный проект (презентацию, ролик, задачник и др.) по одной из следующих тем: «НОД, НОК, простые числа», «Появление нуля и отрицательных чисел», «Появление десятичных дробей», «Первый русский учебник математики», «С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик». Ты можешь выбрать другую интересную тебе тему из истории математики. Материалы для проекта ты найдёшь по адресу: https://files.sch2000.ru/rar/lessons/kurs-matematika-1-9-klassy/metodicheskie-materialy/osnovnaya-shkola/dopolnitelnye_materialy_6%20klass.rar.

Решение 2 (2023).

Это задание представляет собой творческий проект. Вместо выполнения самого проекта (создания презентации или ролика), я представлю развернутый план-конспект для нескольких предложенных тем. Этот план можно использовать как основу для подготовки собственного проекта.

«НОД, НОК, простые числа»

Этот проект может быть реализован в виде презентации или задачника с теорией.

План проекта:

1. Введение: Мир чисел.
Кратко рассказать о натуральных числах и о том, как древние люди начали изучать их свойства. Понятия делителя и кратного.

2. Простые числа – «атомы» математики.
• Определение: простое число – это натуральное число больше 1, у которого только два делителя: 1 и оно само.
• Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• Составные числа: числа, имеющие более двух делителей. Примеры: 4, 6, 8, 9, 10, ...
• Решето Эратосфена: наглядный алгоритм для нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа.
• Основная теорема арифметики: любое натуральное число больше 1 либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка сомножителей.

3. Наибольший общий делитель (НОД).
• Определение: НОД двух или нескольких натуральных чисел – это самое большое натуральное число, на которое они все делятся без остатка.
• Способы нахождения:
а) Перебор делителей (для маленьких чисел).
б) Разложение на простые множители. Для нахождения НОД нужно разложить числа на простые множители и найти произведение их общих множителей, взятых с наименьшей степенью.
Пример: Найти НОД(48, 60).
$48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^1$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Общие множители: 2 и 3. Наименьшие степени: $2^2$ и $3^1$.
НОД(48, 60) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
в) Алгоритм Евклида: более эффективный способ для больших чисел.
• Взаимно простые числа: числа, у которых НОД равен 1.

4. Наименьшее общее кратное (НОК).
• Определение: НОК двух или нескольких натуральных чисел – это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.
• Способы нахождения:
а) Перебор кратных (для маленьких чисел).
б) Разложение на простые множители. Нужно выписать множители одного числа и добавить к ним недостающие множители из разложения других чисел.
Пример: Найти НОК(48, 60).
$48 = 2^4 \cdot 3^1$
$60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
Берём все простые множители в наибольшей степени: $2^4$, $3^1$, $5^1$.
НОК(48, 60) = $2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.
• Связь НОД и НОК: для двух чисел $a$ и $b$ верна формула: НОК(a, b) $\cdot$ НОД(a, b) = $a \cdot b$.

5. Применение.
• НОД используется для сокращения дробей.
• НОК используется для приведения дробей к общему знаменателю.
• Простые числа лежат в основе современной криптографии (шифрования данных).

Ответ: Проект по теме «НОД, НОК, простые числа» будет включать определения этих понятий, исторические справки (Решето Эратосфена), алгоритмы нахождения с примерами (разложение на множители, алгоритм Евклида), а также описание практического применения этих концепций в математике и современной жизни, например, в криптографии.

«Появление нуля и отрицательных чисел»

Этот проект лучше всего представить в виде иллюстрированной презентации или небольшого видеоролика, рассказывающего историю.

План проекта:

1. Мир без нуля.
• Рассказать, как обходились без нуля древние цивилизации (Египет, Рим). Римские цифры (I, V, X) не имели знака для нуля, что делало арифметические вычисления очень громоздкими.
• Проблема позиционной системы счисления: как отличить 25 от 205 или 250? Вавилоняне первыми придумали специальный символ-пропуск, но не считали его числом.

2. Рождение нуля в Индии.
• Около V века н.э. в Индии появляется концепция нуля («шунья» – пустота) не просто как пропуска, а как полноценного числа.
• Индийский математик Брахмагупта в VII веке описал правила действий с нулём (сложение, вычитание, умножение). Он же определил, что $a - a = 0$.
• Распространение через арабский мир: арабские математики перевели индийские труды, назвали ноль «сифр» (отсюда русское «цифра» и английское «zero»).

3. Появление отрицательных чисел.
• Ранние концепции долга: первые упоминания отрицательных величин встречаются в древнем Китае (II век до н.э.), где их использовали для обозначения долгов и решали с их помощью системы уравнений. Положительные числа изображали красными палочками, а отрицательные – чёрными.
• Индия: тот же Брахмагупта рассматривал отрицательные числа как «долг», в противоположность «имуществу» (положительные числа), и сформулировал правила для операций с ними. Например: «долг минус ноль есть долг», «имущество, отнятое у нуля, становится долгом».
• Трудный путь в Европе: европейские математики долгое время не признавали отрицательные числа, называя их «ложными» или «абсурдными». Как может что-то быть меньше, чем ничего? Лишь в XVII-XVIII веках, с развитием алгебры и введением числовой оси, отрицательные числа получили полное признание.

4. Заключение: революция в математике.
• Появление нуля и отрицательных чисел позволило создать стройную систему целых чисел, развить алгебру, ввести систему координат и в конечном итоге построить всё здание современного математического анализа. Эти концепции являются фундаментом для физики, экономики и компьютерных наук.

Ответ: Проект по теме «Появление нуля и отрицательных чисел» расскажет исторический путь развития этих фундаментальных математических понятий. Он осветит, как древние цивилизации обходились без них, где и как они впервые появились (ноль в Индии, отрицательные числа в Китае), и какой долгий путь они прошли, прежде чем стать общепринятыми в Европе, произведя революцию в науке.

«С. В. Ковалевская — выдающийся русский математик»

Это биографический проект, который можно оформить как презентацию, доклад или эссе.

План проекта:

1. Введение.
• Представление Софьи Васильевны Ковалевской (1850–1891) как первой в России и в Северной Европе женщины-профессора математики и первой в мире женщины, избранной членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Подчеркнуть её роль как символа борьбы женщин за право на высшее образование и научную деятельность.

2. Детство и «странная» страсть к математике.
• Ранние годы, проявление таланта к математике.
• Забавная история о том, как стены её детской комнаты были оклеены листами с лекциями о дифференциальном и интегральном исчислении, которые она изучала самостоятельно.

3. Борьба за образование.
• В то время в России женщины не могли поступать в университеты.
• Фиктивный брак с Владимиром Ковалевским как единственный способ уехать учиться в Европу.
• Обучение в Гейдельбергском и Берлинском университетах. В Берлине ей, как женщине, было отказано в посещении лекций, но великий математик Карл Вейерштрасс, поражённый её талантом, согласился давать ей частные уроки.

4. Научные триумфы.
• Защита докторской диссертации в 1874 году «с наивысшей похвалой» сразу по трём работам, одна из которых содержала знаменитую теорему Коши-Ковалевской.
• Главное достижение: работа «Задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки». За решение этой задачи, над которой бились лучшие умы, Парижская академия наук присудила ей престижную премию Бордена в 1888 году, причём сумму премии увеличили вдвое за исключительное качество работы.
• Избрание профессором Стокгольмского университета.

5. Литературное творчество и наследие.
• Ковалевская была также талантливой писательницей (повесть «Нигилистка», автобиографическая книга «Воспоминания детства»).
• Её короткая, но яркая жизнь (умерла в 41 год) стала вдохновляющим примером для женщин-учёных по всему миру.

Ответ: Проект о Софье Ковалевской будет представлять собой биографический рассказ о её жизни и научной деятельности. План включает освещение её ранних лет, упорной борьбы за право на образование в условиях гендерных ограничений XIX века, её выдающихся научных достижений, в частности, решения задачи о вращении твёрдого тела, а также её литературного таланта и огромного вклада в борьбу за равноправие женщин в науке.

Условие 2010-2022.

778 Три маляра покрасили забор за $a$ ч. Первый маляр, работая один, может покрасить этот забор за $b$ ч, а второй – за $c$ ч. За сколько времени покрасит этот забор третий маляр, если будет работать один?

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).