Страница 166, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

713 На рис. 142 изображены развёртки правильных многогранников. Определи, какая развёртка какому многограннику соответствует.

а) в) г) б) д) Рис. 142

Чтобы определить, какому правильному многограннику соответствует каждая развёртка, необходимо посчитать количество и определить форму граней.

а)

Эта развёртка состоит из $12$ правильных пятиугольников. Правильный многогранник, который имеет $12$ пятиугольных граней, называется додекаэдром. В каждой вершине додекаэдра сходятся по три грани. Убедимся, что это возможно: внутренний угол правильного пятиугольника равен $ (5-2) \cdot 180^\circ / 5 = 108^\circ $. Сумма углов при вершине многогранника будет $ 3 \cdot 108^\circ = 324^\circ $, что меньше $360^\circ$.
Ответ: додекаэдр.

б)

Эта развёртка состоит из $8$ правильных (равносторонних) треугольников. Правильный многогранник с $8$ треугольными гранями — это октаэдр. В каждой вершине октаэдра сходятся по четыре грани. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Сумма углов при вершине многогранника равна $4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$, что меньше $360^\circ$.
Ответ: октаэдр.

в)

Эта развёртка состоит из $20$ правильных треугольников. Правильный многогранник с $20$ треугольными гранями называется икосаэдром. В каждой вершине икосаэдра сходятся по пять граней. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Сумма углов при вершине многогранника равна $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$, что меньше $360^\circ$.
Ответ: икосаэдр.

г)

Эта развёртка состоит из $4$ правильных треугольников. Правильный многогранник с $4$ треугольными гранями — это тетраэдр. В каждой вершине тетраэдра сходятся по три грани. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Сумма углов при вершине многогранника равна $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$, что меньше $360^\circ$.
Ответ: тетраэдр.

д)

Эта развёртка состоит из $6$ квадратов. Правильный многогранник с $6$ квадратными гранями называется гексаэдром или кубом. В каждой вершине куба сходятся по три грани. Внутренний угол квадрата равен $90^\circ$. Сумма углов при вершине многогранника равна $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$, что меньше $360^\circ$.
Ответ: куб (гексаэдр).

713 На рис.142 изображены развертки правильных многогранников. Определи, какая развертка какому многограннику соответствует.

а) б) в) г) д) Рис. 142

714. a) Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью правильного тетраэдра, гексаэдра (куба)?

б) Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через его вершины – $A$, $B$ и середину $M$ ребра $CD$.

в) Построй сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $D$, $C_1$.

а) Сечением многогранника плоскостью является многоугольник. Его вершины — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани.

Для правильного тетраэдра:
Тетраэдр имеет 4 грани. Секущая плоскость может пересечь не более четырех его граней, поэтому в сечении могут получаться только треугольники и четырехугольники.

• Треугольник получается, например, если плоскость отсекает одну из вершин тетраэдра (проходит через три точки на ребрах, выходящих из одной вершины).
• Четырехугольник получается, например, если плоскость пересекает четыре ребра тетраэдра (например, плоскость, параллельная двум скрещивающимся ребрам).

Для гексаэдра (куба):
Куб имеет 6 граней. Секущая плоскость может пересечь не более шести его граней, поэтому в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

• Треугольник (например, сечение плоскостью, проходящей через вершины $A$, $D$ и $C_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$).
• Четырехугольник (например, сечение плоскостью, параллельной одной из граней — получится квадрат; или сечение плоскостью, проходящей через четыре вершины, как $A, B, C_1, D_1$ — получится прямоугольник).
• Пятиугольник (например, сечение плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1$).
• Шестиугольник (например, сечение плоскостью, проходящей через середины шести ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$). Такое сечение будет правильным шестиугольником, если плоскость перпендикулярна главной диагонали куба.

Ответ: При пересечении правильного тетраэдра плоскостью могут получаться треугольники и четырехугольники. При пересечении куба плоскостью могут получаться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

б) Требуется построить сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через его вершины $A, B$ и середину $M$ ребра $CD$.

Построение:

1. Точки $A$ и $B$ принадлежат секущей плоскости. Соединяем их отрезком $AB$. Этот отрезок является ребром тетраэдра и одновременно стороной искомого сечения.
2. Точки $A$ и $M$ (середина ребра $CD$) принадлежат секущей плоскости. Так как обе точки лежат в плоскости грани $ACD$ (точка $A$ — вершина, точка $M$ — на ребре $CD$), то отрезок $AM$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ACD$. Соединяем точки $A$ и $M$.
3. Аналогично, точки $B$ и $M$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости грани $BCD$. Отрезок $BM$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCD$. Соединяем точки $B$ и $M$.
4. Полученный многоугольник $ABM$ является искомым сечением. Это треугольник, так как он имеет три вершины ($A, B, M$) и три стороны ($AB, BM, MA$).

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ABM$.

в) Требуется построить сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A_1, D, C_1$.

Построение:

1. Все три заданные точки ($A_1, D, C_1$) являются вершинами куба. Соединяем эти точки попарно отрезками, которые будут являться сторонами сечения.
2. Точки $A_1$ и $D$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$. Соединяем их отрезком $A_1D$. Этот отрезок является диагональю грани $AA_1D_1D$ и стороной сечения.
3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в плоскости задней грани $DD_1C_1C$. Соединяем их отрезком $DC_1$. Этот отрезок является диагональю грани $DD_1C_1C$ и стороной сечения.
4. Точки $C_1$ и $A_1$ лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем их отрезком $C_1A_1$. Этот отрезок является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$ и стороной сечения.
5. Полученный многоугольник $A_1DC_1$ является искомым сечением. Это треугольник.

Стороны этого треугольника — диагонали граней куба. Если ребро куба равно $a$, то длина каждой диагонали грани равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, все стороны треугольника $A_1DC_1$ равны ($A_1D = DC_1 = C_1A_1 = a\sqrt{2}$), и он является равносторонним.

Ответ: Искомое сечение — равносторонний треугольник $A_1DC_1$.

714 а) Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью правильного тетраэдра, гексаэдра (куба)?

б) Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через его вершины - $A, B$ и середину $M$ ребра $CD$.

в) Построй сечение куба $A_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A_1, D, C_1$.

П 715 Реши примеры, сопоставь полученным ответам соответствующие буквы и расшифруй латинское название многогранника, открытого в XVI веке Леонардо да Винчи. На русском языке он называется «звёздчатый октаэдр».

O $-0,6 - 0,8$

C $-5,4 : 0,06$

G $-\frac{3}{11} \cdot 5,5$

U $20 : (-0,4)$

B $-0,15 : 1,5$

S $-2\frac{7}{12} - 1\frac{3}{4}$

E $-1\frac{8}{9} : 3,4$

K $9,6 : (-0,001)$

N $-3\frac{11}{15} + 8\frac{2}{5}$

L $3,2 - 9$

A $-10 : (-18)$

T $-50 \cdot (-0,16)$

$-4\frac{1}{3} \quad 8 \quad -\frac{5}{9} \quad -5,8 \quad -5,8 \quad \frac{5}{9}$

-1,4 $\quad$ -90 $\quad$ 8 $\quad$ $\frac{5}{9}$ $\quad$ $4\frac{2}{3}$ $\quad$ -1,5 $\quad$ -50 $\quad$ -5,8 $\quad$ $\frac{5}{9}$

Для того чтобы расшифровать название многогранника, решим каждый пример и найдем соответствующую ему букву.

O

Выполним вычитание десятичных дробей:

$-0,6 - 0,8 = -(0,6 + 0,8) = -1,4$

Ответ: $-1,4$.

C

Выполним деление. Для удобства избавимся от дробей, умножив делимое и делитель на 100:

$-5,4 : 0,06 = -540 : 6 = -90$

Ответ: $-90$.

G

Выполним умножение. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$-\frac{3}{11} \cdot 5,5 = -\frac{3}{11} \cdot \frac{55}{10} = -\frac{3}{11} \cdot \frac{11 \cdot 5}{2 \cdot 5} = -\frac{3 \cdot 11}{11 \cdot 2} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

U

Выполним деление. Умножим делимое и делитель на 10:

$20 : (-0,4) = 200 : (-4) = -50$

Ответ: $-50$.

B

Выполним деление десятичных дробей:

$-0,15 : 1,5 = -1,5 : 15 = -0,1$

Ответ: $-0,1$. (Примечание: данный ответ отсутствует в таблице для расшифровки)

S

Выполним вычитание смешанных чисел. Приведем дробные части к общему знаменателю 12:

$-2\frac{7}{12} - 1\frac{3}{4} = -2\frac{7}{12} - 1\frac{9}{12} = -(2\frac{7}{12} + 1\frac{9}{12}) = -(3\frac{16}{12}) = -(3+1\frac{4}{12}) = -4\frac{1}{3}$

Ответ: $-4\frac{1}{3}$.

E

Выполним деление. Переведем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:

$-1\frac{8}{9} : 3,4 = -\frac{17}{9} : \frac{34}{10} = -\frac{17}{9} : \frac{17}{5} = -\frac{17}{9} \cdot \frac{5}{17} = -\frac{5}{9}$

Ответ: $-\frac{5}{9}$.

K

Выполним деление. Умножим делимое и делитель на 1000:

$9,6 : (-0,001) = 9600 : (-1) = -9600$

Ответ: $-9600$. (Примечание: данный ответ отсутствует в таблице для расшифровки)

N

Выполним сложение смешанных чисел с разными знаками. Приведем дробные части к общему знаменателю 15:

$-3\frac{11}{15} + 8\frac{2}{5} = 8\frac{2}{5} - 3\frac{11}{15} = 8\frac{6}{15} - 3\frac{11}{15} = 7\frac{21}{15} - 3\frac{11}{15} = (7-3) + (\frac{21}{15}-\frac{11}{15}) = 4\frac{10}{15} = 4\frac{2}{3}$

Ответ: $4\frac{2}{3}$.

L

Выполним вычитание:

$3,2 - 9 = -5,8$

Ответ: $-5,8$.

A

Выполним деление. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат:

$-10 : (-18) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

T

Выполним умножение. Умножение двух отрицательных чисел дает положительный результат:

$-50 \cdot (-0,16) = 50 \cdot 0,16 = 50 \cdot \frac{16}{100} = \frac{50 \cdot 16}{100} = \frac{1 \cdot 16}{2} = 8$

Ответ: $8$.

Теперь сопоставим полученные ответы с буквами и заполним таблицу:

Расшифрованное латинское название многогранника: STELLA OCTANGULA.

715 Реши примеры, сопоставь полученным ответам соответствующие буквы и расшифруй латинское название многогранника, открытого в XVI веке Леонардо да Винчи. На русском языке он называется «звездчатый октаэдр».

O $-0.6 - 0.8$

C $-5.4 : 0.06$

G $-\frac{3}{11} \cdot 5.5$

L $3.2 - 9$

U $20 : (-0.4)$

B $-0.15 : 1.5$

S $-2\frac{7}{12} - 1\frac{3}{4}$

A $-10 : (-18)$

E $-1\frac{8}{9} : 3.4$

K $9.6 : (-0.001)$

N $-3\frac{11}{15} + 8\frac{2}{5}$

T $-50 \cdot (-0.16)$

$-4\frac{1}{3}$ $8$ $-\frac{5}{9}$ $-5.8$ $-5.8$ $\frac{5}{9}$

-1,4 -90 8 $\frac{5}{9}$ $4\frac{2}{3}$ -1,5 -50 -5,8 $\frac{5}{9}$

716 Ко Дню Интернета в школе провели опрос об используемых социальных сетях. Переведи в столбчатую диаграмму таблицу результатов этого опроса, округлив числа до десятков.

Соц. сеть: Кол-во ответов

Одноклассники: 64

ВКонтакте: 158

Instagram: 165

Мой мир: 22

Не пользуюсь: 10

Для построения столбчатой диаграммы по данным из таблицы необходимо сначала округлить количество ответов до десятков. Правило округления: если цифра в разряде единиц равна 5 или больше, то цифра в разряде десятков увеличивается на 1, а в разряде единиц ставится 0. Если цифра в разряде единиц меньше 5, то цифра в разряде десятков остаётся без изменений, а в разряде единиц ставится 0.

Выполним округление для каждой категории:

• Одноклассники: $64 \approx 60$ (так как 4 < 5)
• ВКонтакте: $158 \approx 160$ (так как 8 ≥ 5)
• Instagram: $165 \approx 170$ (так как 5 ≥ 5)
• Мой мир: $22 \approx 20$ (так как 2 < 5)
• Не пользуюсь: $10 \approx 10$ (число уже кратно 10)

Теперь, используя округленные значения, построим столбчатую диаграмму. По горизонтальной оси будут располагаться категории (социальные сети), а высота каждого столбца будет соответствовать округленному количеству ответов.

Ответ: Округленные данные для построения диаграммы: Одноклассники — 60, ВКонтакте — 160, Instagram — 170, Мой мир — 20, Не пользуюсь — 10. Столбчатая диаграмма, представляющая эти данные, построена выше.

716 Вычисли среднее арифметическое ряда чисел: 8; 14; 52; 67; 93; 126. Используя полученный результат, определи среднее арифметическое ряда чисел:

а) 0,8; 1,4; 5,2; 6,7; 9,3; 12,6;

б) 800; 1400; 5200; 6700; 9300; 12 600.

717 От пристани в город, расстояние между которыми по озеру равно 24 км, отправилась лодка, а через 15 мин вслед за ней вышел теплоход. Скорость лодки относится к скорости теплохода как 1,5 : 4. С какой скоростью шёл теплоход, если он пришёл в город на час раньше лодки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_т$ – скорость теплохода в км/ч, а $v_л$ – скорость лодки в км/ч. Расстояние $S$ между пристанью и городом равно 24 км.

Согласно условию, отношение скорости лодки к скорости теплохода составляет $1,5 : 4$. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{v_л}{v_т} = \frac{1,5}{4}$

Упростим данное соотношение, преобразовав десятичную дробь в обыкновенную: $1,5 = \frac{3}{2}$.

$\frac{v_л}{v_т} = \frac{3/2}{4} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$

Из этого соотношения выразим скорость лодки через скорость теплохода: $v_л = \frac{3}{8} v_т$.

Время, затраченное лодкой на весь путь, определяется по формуле $t_л = \frac{S}{v_л} = \frac{24}{v_л}$.
Время, затраченное теплоходом на весь путь, равно $t_т = \frac{S}{v_т} = \frac{24}{v_т}$.

Теплоход отправился на 15 минут ($0,25$ часа) позже лодки, а прибыл в город на 1 час раньше. Это означает, что лодка находилась в пути на $1 \text{ час} + 15 \text{ мин} = 1 \text{ час } 15 \text{ мин}$ дольше, чем теплоход. Переведем это время в часы: $1,25$ часа. Таким образом, мы можем составить уравнение, связывающее время их движения:

$t_л - t_т = 1,25$

Подставим в это уравнение выражения для $t_л$ и $t_т$:

$\frac{24}{v_л} - \frac{24}{v_т} = 1,25$

Теперь заменим $v_л$ выражением $\frac{3}{8} v_т$, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $v_т$:

$\frac{24}{\frac{3}{8} v_т} - \frac{24}{v_т} = 1,25$

Упростим первое слагаемое, разделив 24 на дробь $\frac{3}{8}$:

$\frac{24 \cdot 8}{3 v_т} - \frac{24}{v_т} = 1,25$

$\frac{64}{v_т} - \frac{24}{v_т} = 1,25$

Выполним вычитание дробей в левой части уравнения:

$\frac{64 - 24}{v_т} = 1,25$

$\frac{40}{v_т} = 1,25$

Отсюда находим скорость теплохода $v_т$, представив $1,25$ в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{4}$:

$v_т = \frac{40}{1,25} = \frac{40}{5/4} = 40 \cdot \frac{4}{5} = \frac{160}{5} = 32$

Таким образом, скорость теплохода равна 32 км/ч.

Ответ: 32 км/ч.

717 От пристани в город, расстояние между которыми по озеру равно 24 км, отправилась лодка, а через 15 мин вслед за ней вышел теплоход. Скорость лодки относится к скорости теплохода как $1,5 : 4$. С какой скоростью шел теплоход, если он пришел в город на час раньше лодки?