Номер 714, страница 166, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 4. Правильные многогранники - номер 714, страница 166.

Условие 2023.

714. a) Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью правильного тетраэдра, гексаэдра (куба)?

б) Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через его вершины – $A$, $B$ и середину $M$ ребра $CD$.

в) Построй сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $D$, $C_1$.

Решение 2 (2023).

а) Сечением многогранника плоскостью является многоугольник. Его вершины — это точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны — отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани.

Для правильного тетраэдра:
Тетраэдр имеет 4 грани. Секущая плоскость может пересечь не более четырех его граней, поэтому в сечении могут получаться только треугольники и четырехугольники.

• Треугольник получается, например, если плоскость отсекает одну из вершин тетраэдра (проходит через три точки на ребрах, выходящих из одной вершины).
• Четырехугольник получается, например, если плоскость пересекает четыре ребра тетраэдра (например, плоскость, параллельная двум скрещивающимся ребрам).

Для гексаэдра (куба):
Куб имеет 6 граней. Секущая плоскость может пересечь не более шести его граней, поэтому в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

• Треугольник (например, сечение плоскостью, проходящей через вершины $A$, $D$ и $C_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$).
• Четырехугольник (например, сечение плоскостью, параллельной одной из граней — получится квадрат; или сечение плоскостью, проходящей через четыре вершины, как $A, B, C_1, D_1$ — получится прямоугольник).
• Пятиугольник (например, сечение плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1$).
• Шестиугольник (например, сечение плоскостью, проходящей через середины шести ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$). Такое сечение будет правильным шестиугольником, если плоскость перпендикулярна главной диагонали куба.

Ответ: При пересечении правильного тетраэдра плоскостью могут получаться треугольники и четырехугольники. При пересечении куба плоскостью могут получаться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

б) Требуется построить сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через его вершины $A, B$ и середину $M$ ребра $CD$.

Построение:

1. Точки $A$ и $B$ принадлежат секущей плоскости. Соединяем их отрезком $AB$. Этот отрезок является ребром тетраэдра и одновременно стороной искомого сечения.
2. Точки $A$ и $M$ (середина ребра $CD$) принадлежат секущей плоскости. Так как обе точки лежат в плоскости грани $ACD$ (точка $A$ — вершина, точка $M$ — на ребре $CD$), то отрезок $AM$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ACD$. Соединяем точки $A$ и $M$.
3. Аналогично, точки $B$ и $M$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости грани $BCD$. Отрезок $BM$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $BCD$. Соединяем точки $B$ и $M$.
4. Полученный многоугольник $ABM$ является искомым сечением. Это треугольник, так как он имеет три вершины ($A, B, M$) и три стороны ($AB, BM, MA$).

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ABM$.

в) Требуется построить сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A_1, D, C_1$.

Построение:

1. Все три заданные точки ($A_1, D, C_1$) являются вершинами куба. Соединяем эти точки попарно отрезками, которые будут являться сторонами сечения.
2. Точки $A_1$ и $D$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$. Соединяем их отрезком $A_1D$. Этот отрезок является диагональю грани $AA_1D_1D$ и стороной сечения.
3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в плоскости задней грани $DD_1C_1C$. Соединяем их отрезком $DC_1$. Этот отрезок является диагональю грани $DD_1C_1C$ и стороной сечения.
4. Точки $C_1$ и $A_1$ лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединяем их отрезком $C_1A_1$. Этот отрезок является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$ и стороной сечения.
5. Полученный многоугольник $A_1DC_1$ является искомым сечением. Это треугольник.

Стороны этого треугольника — диагонали граней куба. Если ребро куба равно $a$, то длина каждой диагонали грани равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, все стороны треугольника $A_1DC_1$ равны ($A_1D = DC_1 = C_1A_1 = a\sqrt{2}$), и он является равносторонним.

Ответ: Искомое сечение — равносторонний треугольник $A_1DC_1$.

Условие 2010-2022.

714 а) Какие многоугольники могут получаться при пересечении плоскостью правильного тетраэдра, гексаэдра (куба)?

б) Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, проходящей через его вершины - $A, B$ и середину $M$ ребра $CD$.

в) Построй сечение куба $A_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A_1, D, C_1$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).