Номер 709, страница 164, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 3. Правильные многоугольники - номер 709, страница 164.

Условие 2023.

c 709* Составь паркет из правильных треугольников и шестиугольников.

Решение 2 (2023).

Для того чтобы составить паркет (или, говоря математическим языком, тесселяцию) из правильных многоугольников, необходимо, чтобы сумма углов всех фигур, сходящихся в одной общей вершине, была равна $360^\circ$.

Сначала определим величины внутренних углов для заданных фигур:

• У правильного (равностороннего) треугольника каждый внутренний угол равен $60^\circ$.
• У правильного шестиугольника каждый внутренний угол равен $120^\circ$.

Теперь необходимо найти такие комбинации этих фигур, чтобы сумма их углов в одной вершине составляла $360^\circ$. Если в вершине сходятся $k$ треугольников и $m$ шестиугольников, то должно выполняться следующее равенство:
$k \cdot 60^\circ + m \cdot 120^\circ = 360^\circ$
Разделив обе части уравнения на $60^\circ$, получим более простое выражение:
$k + 2m = 6$

Так как паркет должен состоять из обоих видов фигур, будем искать целочисленные решения, где $k > 0$ и $m > 0$. Кроме того, в одной вершине должно сходиться не менее трех фигур ($k+m \ge 3$).
Возможные решения:

• Если $m = 1$ (один шестиугольник), то $k + 2(1) = 6 \Rightarrow k = 4$. Это означает, что в одной вершине могут сойтись 1 шестиугольник и 4 треугольника. Такой паркет существует.
• Если $m = 2$ (два шестиугольника), то $k + 2(2) = 6 \Rightarrow k = 2$. Это означает, что в одной вершине могут сойтись 2 шестиугольника и 2 треугольника. Такой паркет тоже существует, и его проще всего описать.

Рассмотрим способ построения паркета для второго случая, где в каждой вершине сходятся два шестиугольника и два треугольника. Такой паркет называется тригексагональной мозаикой.

1. Расположим правильные шестиугольники в горизонтальные ряды так, чтобы они соприкасались боковыми сторонами.
2. Между двумя такими соседними рядами шестиугольников образуется незаполненное пространство.
3. Это пространство можно полностью, без зазоров, заполнить правильными треугольниками. Для этого треугольники укладываются в ряд, чередуя их положение: один вершиной вверх, следующий — вершиной вниз.
4. Продолжая этот процесс, можно замостить всю плоскость. В результате получится узор, в котором каждая вершина является общей для двух шестиугольников и двух треугольников. Сумма углов в каждой вершине будет равна $2 \cdot 120^\circ + 2 \cdot 60^\circ = 240^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Паркет из правильных треугольников и шестиугольников можно составить, укладывая ряды шестиугольников, соприкасающихся сторонами, и заполняя пространства между этими рядами рядами правильных треугольников. В таком паркете в каждой общей вершине будут сходиться два шестиугольника и два треугольника.

Условие 2010-2022.

C [709] Составь паркет из правильных треугольников и шестиугольников.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).