Номер 712, страница 165, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Правильные многогранники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 712, страница 165.

Условие 2023.

712. a) Сосчитай число рёбер (Р), граней (Г) и вершин (В) каждого правильного многогранника и заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь?

Правильный многогранник	P	Г	В
Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

б) Проверь, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: $Г + В – Р = 2$.

Решение 2 (2023).

а)

Сосчитаем число рёбер (Р), граней (Г) и вершин (В) для каждого правильного многогранника и занесём данные в таблицу.

Правильный многогранник	Р (рёбра)	Г (грани)	В (вершины)
Тетраэдр	6	4	4
Гексаэдр (куб)	12	6	8
Октаэдр	12	8	6
Додекаэдр	30	12	20
Икосаэдр	30	20	12

Наблюдаемые закономерности:

1. Можно заметить пары так называемых двойственных многогранников. У гексаэдра (куба) и октаэдра число граней одного равно числу вершин другого ($Г_{куб}=6, В_{окт}=6$; $В_{куб}=8, Г_{окт}=8$), а число рёбер у них одинаково ($Р=12$). Аналогичная ситуация с додекаэдром и икосаэдром ($Г_{дод}=12, В_{икос}=12$; $В_{дод}=20, Г_{икос}=20$), у них также одинаковое число рёбер ($Р=30$).
2. Тетраэдр является двойственным самому себе: число его граней равно числу вершин ($Г=4, В=4$).
3. Для всех перечисленных многогранников выполняется соотношение: число граней плюс число вершин минус число рёбер всегда равно 2.

Ответ: Заполненная таблица представлена выше. Закономерности: существование двойственных многогранников (куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, а тетраэдр двойственен сам себе) и выполнение для всех них соотношения $Г + В - Р = 2$.

б)

Проверим, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: $Г + В - Р = 2$.

Для тетраэдра: $Г=4, В=4, Р=6$.
Проверка: $4 + 4 - 6 = 8 - 6 = 2$.

Для гексаэдра (куба): $Г=6, В=8, Р=12$.
Проверка: $6 + 8 - 12 = 14 - 12 = 2$.

Для октаэдра: $Г=8, В=6, Р=12$.
Проверка: $8 + 6 - 12 = 14 - 12 = 2$.

Для додекаэдра: $Г=12, В=20, Р=30$.
Проверка: $12 + 20 - 30 = 32 - 30 = 2$.

Для икосаэдра: $Г=20, В=12, Р=30$.
Проверка: $20 + 12 - 30 = 32 - 30 = 2$.

Формула Эйлера выполняется для всех пяти правильных многогранников.

Ответ: Да, для всех правильных многогранников формула Эйлера $Г + В - Р = 2$ выполняется.

Условие 2010-2022.

712 a) Сосчитай число ребер (P) , граней (Г) и вершин (В) каждого правильного многогранника и заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь?

Правильный многогранник P B Г

Тетраэдр

Гексаэдр (куб)

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

б) Проверь, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера: $\Gamma + B - P = 2$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).