Номер 703, страница 163, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 3. Правильные многоугольники - номер 703, страница 163.

Условие 2023.

703. а) Построй «цветок», изображённый на рис. 137.

б) Построй правильный двенадцатиугольник.

Рис. 137

Рис. 138

Решение 2 (2023).

а) Построй «цветок», изображённый на рис. 137.

Для построения «цветка» с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это будет центральная окружность фигуры.
2. Отметьте на этой окружности произвольную точку $P_1$.
3. Не изменяя раствор циркуля (сохраняя радиус $R$), установите острие циркуля в точку $P_1$ и проведите вторую окружность. Она пройдет через центр $O$ первой окружности.
4. Вторая окружность пересечет первую в двух точках. Одну из этих новых точек пересечения обозначим $P_2$.
5. Переместите острие циркуля в точку $P_2$ и с тем же радиусом $R$ проведите третью окружность.
6. Повторяйте это действие, последовательно устанавливая острие циркуля в каждую новую точку пересечения на исходной (центральной) окружности, пока не вернетесь в начало. Всего будет построено 6 окружностей, центры которых ($P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$) равномерно расположены на центральной окружности.
7. Полученная фигура из семи окружностей одинакового радиуса и будет являться искомым «цветком».

Ответ: Построение выполнено согласно приведённой инструкции, в результате чего получен «цветок», как на рис. 137.

б) Построй правильный двенадцатиугольник.

Правильный двенадцатиугольник — это многоугольник, у которого все 12 сторон и все 12 углов равны. Его можно построить, вписав в окружность. Для этого удобно использовать построение из пункта а), так как оно позволяет легко найти вершины правильного шестиугольника, который является основой для построения двенадцатиугольника.

Алгоритм построения:

1. Выполните шаги 1-6 из пункта а). В результате вы получите центральную окружность с центром $O$ и шестью отмеченными на ней точками $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$. Эти точки являются вершинами правильного шестиугольника.
2. Шесть внешних окружностей, построенных в пункте а), попарно пересекаются в шести точках, лежащих за пределами центральной окружности. Обозначим эти точки $I_1, I_2, \dots, I_6$ (например, $I_1$ — это точка пересечения окружностей с центрами в $P_1$ и $P_2$).
3. С помощью линейки проведите шесть лучей, исходящих из центра $O$ и проходящих через эти внешние точки пересечения $I_1, I_2, \dots, I_6$.
4. Каждый из этих лучей пересечет центральную окружность в новой точке. Обозначим эти новые точки $Q_1, Q_2, \dots, Q_6$.
5. Теперь на центральной окружности отмечены 12 точек: $P_1, Q_1, P_2, Q_2, \dots, P_6, Q_6$. Эти точки и являются вершинами правильного двенадцатиугольника.
6. Последовательно соедините все 12 точек отрезками, чтобы получить стороны правильного двенадцатиугольника.

Математическое обоснование: Вершины правильного шестиугольника $P_1, \dots, P_6$ делят окружность на 6 дуг, соответствующих центральным углам в $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Например, $\angle P_1OP_2 = 60^\circ$. Рассмотрим внешнюю точку пересечения $I_1$ окружностей с центрами в $P_1$ и $P_2$. Так как радиусы всех окружностей равны $R$, то длины отрезков $OP_1, OP_2, P_1I_1, P_2I_1$ равны $R$. Четырёхугольник $OP_1I_1P_2$ является ромбом. Диагональ ромба $OI_1$ является биссектрисой угла $\angle P_1OP_2$. Следовательно, луч $OI_1$ делит этот угол на два равных угла по $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Точка $Q_1$ на окружности, таким образом, является серединой дуги $P_1P_2$. Повторив это для всех вершин шестиугольника, мы делим каждую из 6 дуг пополам и получаем 12 вершин, которые образуют правильный двенадцатиугольник.

Ответ: Правильный двенадцатиугольник построен с использованием циркуля и линейки согласно описанному алгоритму.

Условие 2010-2022.

D 703 а) Построй «цветок», изображенный на рис. 137.

б) Построй правильный двенадцатиугольник.

Рис. 137

Рис. 138

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).