Номер 697, страница 162, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Правильные многоугольники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 697, страница 162.

Условие 2023.

697 Что больше:

а) $88\dots8$ (100 цифр) $\cdot$ $33\dots3$ (100 цифр) или $55\dots5$ (100 цифр) $\cdot$ $66\dots6$ (100 цифр);

б) $252,5 \cdot 3,636$ или $25,25 \cdot 36,36$;

в) $\frac{25}{99}$ или $\frac{2525}{9999}$;

г) $\frac{25}{127}$ или $\frac{2524}{127127}$;

д) $\frac{29}{36}$ или $\frac{17}{24}$;

е) $\frac{25}{39}$ или $\frac{35}{51}$?

Решение 2 (2023).

а) Сравним произведения $88...8 \cdot 33...3$ и $55...5 \cdot 66...6$, где каждое число состоит из 100 цифр.
Представим число, состоящее из 100 цифр $d$, в виде $d \cdot \frac{10^{100}-1}{9}$.
Обозначим $K = \frac{10^{100}-1}{9}$. Тогда числа можно записать как $8K, 3K, 5K, 6K$.
Первое произведение равно: $8K \cdot 3K = 24K^2$.
Второе произведение равно: $5K \cdot 6K = 30K^2$.
Поскольку $K > 0$, то $K^2 > 0$. Сравниваем коэффициенты $24$ и $30$.
Так как $24 < 30$, то $24K^2 < 30K^2$.
Следовательно, $88...8 \cdot 33...3 < 55...5 \cdot 66...6$.
Ответ: $55...5 \cdot 66...6$ больше.

б) Сравним $252,5 \cdot 3,636$ и $25,25 \cdot 36,36$.
Преобразуем второе выражение:
$25,25 \cdot 36,36 = (252,5 \div 10) \cdot (3,636 \cdot 10)$.
Перегруппируем множители: $(252,5 \cdot 3,636) \cdot (\frac{1}{10} \cdot 10) = 252,5 \cdot 3,636 \cdot 1 = 252,5 \cdot 3,636$.
Таким образом, оба выражения равны.
Ответ: выражения равны.

в) Сравним дроби $\frac{25}{99}$ и $\frac{2525}{9999}$.
Рассмотрим вторую дробь. Ее числитель и знаменатель можно представить в виде:
$2525 = 25 \cdot 101$
$9999 = 99 \cdot 101$
Тогда вторая дробь равна $\frac{25 \cdot 101}{99 \cdot 101}$.
Сократив общий множитель 101, получаем $\frac{25}{99}$.
Дроби равны.
Ответ: дроби равны.

г) Сравним дроби $\frac{25}{127}$ и $\frac{2524}{127127}$.
Чтобы сравнить две дроби, можно привести их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $127127 = 127000 + 127 = 127 \cdot 1000 + 127 \cdot 1 = 127 \cdot 1001$.
Приведем первую дробь к такому же знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на 1001:
$\frac{25}{127} = \frac{25 \cdot 1001}{127 \cdot 1001} = \frac{25025}{127127}$.
Теперь сравним полученную дробь $\frac{25025}{127127}$ со второй дробью $\frac{2524}{127127}$.
Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $25025 > 2524$.
Следовательно, $\frac{25}{127} > \frac{2524}{127127}$.
Ответ: $\frac{25}{127}$ больше.

д) Сравним дроби $\frac{29}{36}$ и $\frac{17}{24}$.
Для сравнения приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 36 и 24 равно 72.
Приводим первую дробь к знаменателю 72:
$\frac{29}{36} = \frac{29 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{58}{72}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 72:
$\frac{17}{24} = \frac{17 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{51}{72}$.
Сравниваем числители: $58 > 51$.
Значит, $\frac{58}{72} > \frac{51}{72}$, и, следовательно, $\frac{29}{36} > \frac{17}{24}$.
Ответ: $\frac{29}{36}$ больше.

е) Сравним дроби $\frac{25}{39}$ и $\frac{35}{51}$.
Воспользуемся методом перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.
Сравним $25 \cdot 51$ и $39 \cdot 35$.
$25 \cdot 51 = 25 \cdot (50 + 1) = 1250 + 25 = 1275$.
$39 \cdot 35 = (40 - 1) \cdot 35 = 1400 - 35 = 1365$.
Так как $1275 < 1365$, то и $\frac{25}{39} < \frac{35}{51}$.
Ответ: $\frac{35}{51}$ больше.

Условие 2010-2022.

697 Что больше:

а) $\underbrace{88\dots8}_{\text{100 цифр}} \cdot \underbrace{33\dots3}_{\text{100 цифр}}$ или $\underbrace{55\dots5}_{\text{100 цифр}} \cdot \underbrace{66\dots6}_{\text{100 цифр}}$;

б) $252,5 \cdot 3,636$ или $25,25 \cdot 36,36$;

в) $\frac{25}{99}$ или $\frac{2525}{9999}$;

г) $\frac{25}{127}$ или $\frac{2524}{127127}$;

д) $\frac{29}{36}$ или $\frac{17}{24}$;

е) $\frac{25}{39}$ или $\frac{35}{51}$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).