Страница 162, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

695 Найди корень уравнения (устно):

a) $x - \frac{1}{4} = -0,2;$

б) $3,2 - x = 5;$

в) $0,9 - x = 0,6;$

г) $-x + 1,6 = -2,4;$

д) $-3,6x = 0;$

е) $x \cdot (-4) = 1;$

ж) $2,4 : x = -0,5;$

з) $-x : 0,25 = 0,8.$

а) $x - \frac{1}{4} = -0,2$

Для удобства вычислений преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{4} = 0,25$.

Теперь уравнение выглядит так: $x - 0,25 = -0,2$.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое ($x$), нужно к разности ($-0,2$) прибавить вычитаемое ($0,25$).

$x = -0,2 + 0,25$

$x = 0,05$

Ответ: $0,05$.

б) $3,2 - x = 5$

В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($3,2$) вычесть разность ($5$).

$x = 3,2 - 5$

$x = -1,8$

Ответ: $-1,8$.

в) $-0,9 - x = 0,6$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое ($x$), нужно из уменьшаемого ($-0,9$) вычесть разность ($0,6$).

$x = -0,9 - 0,6$

$x = -1,5$

Ответ: $-1,5$.

г) $-x + 1,6 = -2,4$

Сначала перенесем известное слагаемое ($1,6$) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.

$-x = -2,4 - 1,6$

$-x = -4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$x = 4$

Ответ: $4$.

д) $-3,6x = 0$

В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($0$) разделить на известный множитель ($-3,6$).

$x = \frac{0}{-3,6}$

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается ноль.

$x = 0$

Ответ: $0$.

е) $x \cdot (-4) = 1$

Чтобы найти неизвестный множитель ($x$), нужно произведение ($1$) разделить на известный множитель ($-4$).

$x = \frac{1}{-4}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.

$x = -0,25$

Ответ: $-0,25$.

ж) $2,4 : x = -0,5$

В этом уравнении $x$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое ($2,4$) разделить на частное ($-0,5$).

$x = 2,4 : (-0,5)$

$x = \frac{2,4}{-0,5} = -\frac{24}{5}$

$x = -4,8$

Ответ: $-4,8$.

з) $-x : 0,25 = 0,8$

Здесь неизвестное $-x$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное ($0,8$) умножить на делитель ($0,25$).

$-x = 0,8 \cdot 0,25$

Умножение на $0,25$ равносильно делению на $4$.

$-x = \frac{0,8}{4}$

$-x = 0,2$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$x = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

695 Найди корни уравнений (устно):

а) $x - \frac{1}{4} = -0,2;$

б) $3,2 - x = 5;$

в) $-0,9 - x = 0,6;$

г) $-x + 1,6 = -2,4;$

д) $-3,6x = 0;$

е) $x \cdot (-4) = 1;$

ж) $2,4 : x = -0,5;$

з) $-x : 0,25 = 0,8.$

696 Запиши высказывание на математическом языке и определи, истинно оно или ложно:

а) сумма противоположных чисел равна 0; ($a + (-a) = 0$)

б) произведение взаимно обратных чисел равно единице; ($a \cdot \frac{1}{a} = 1$)

в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям; ($\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$)

г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям. ($\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$)

а) сумма противоположных чисел равна 0;

Противоположным для любого числа $a$ является число $-a$. Высказывание утверждает, что их сумма равна нулю. Запишем это на математическом языке: $a + (-a) = 0$

Раскроем скобки: $a - a = 0$. Это равенство является верным для абсолютно любого числа $a$. Например, для $a = 15$, противоположное число равно $-15$, и их сумма $15 + (-15) = 0$. Для $a = -3,4$, противоположное число равно $3,4$, и их сумма $-3,4 + 3,4 = 0$.

Таким образом, данное высказывание истинно.

Ответ: $a + (-a) = 0$, высказывание истинно.

б) произведение взаимно обратных чисел равно единице;

Взаимно обратным для любого числа $a$ (не равного нулю) является число $\frac{1}{a}$. Высказывание утверждает, что их произведение равно единице. На математическом языке это записывается так: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \ne 0$)

Действительно, $a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a} = 1$. Это равенство верно для любого числа $a$, кроме нуля (так как на ноль делить нельзя). Например, для $a=5$, обратное число равно $\frac{1}{5}$, и их произведение $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Для $a=\frac{2}{3}$, обратное число равно $\frac{3}{2}$, и их произведение $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \ne 0$), высказывание истинно.

в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям;

Пусть даны два числа $a$ и $b$ ($a \ne 0, b \ne 0$). Их произведение равно $ab$. Число, обратное этому произведению, — это $\frac{1}{ab}$. Числа, обратные множителям $a$ и $b$, — это $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ соответственно. Высказывание утверждает, что число, обратное произведению, равно произведению обратных чисел: $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$

По правилу умножения дробей, правая часть равенства равна $\frac{1 \cdot 1}{a \cdot b} = \frac{1}{ab}$. Таким образом, мы получаем тождество $\frac{1}{ab} = \frac{1}{ab}$, которое является верным для любых $a$ и $b$, не равных нулю.

Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$ (при $a, b \ne 0$), высказывание истинно.

г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям.

(Примечание: в формулировке, скорее всего, опечатка и имелись в виду "обратных слагаемым", а не "множителям", так как речь идет о сумме).

Пусть даны два числа $a$ и $b$. Их сумма равна $a+b$. Число, обратное этой сумме, — это $\frac{1}{a+b}$. Числа, обратные слагаемым $a$ и $b$, — это $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$. Высказывание утверждает, что: $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Чтобы проверить истинность этого высказывания, достаточно найти хотя бы один пример, где оно не выполняется (контрпример). Возьмем $a=2$ и $b=3$.

Вычислим левую часть равенства: $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{2+3} = \frac{1}{5}$.

Вычислим правую часть равенства: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Сравниваем результаты: $\frac{1}{5} \ne \frac{5}{6}$.

Поскольку мы нашли контрпример, при котором равенство не выполняется, данное высказывание является ложным.

Ответ: $\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$, высказывание ложно.

696 Запиши высказывание на математическом языке и определи, истинно оно или ложно:

а) сумма противоположных чисел равна 0; ($a + (-a) = 0$)

б) произведение взаимно обратных чисел равно единице; ($a \cdot \frac{1}{a} = 1$)

в) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям; ($\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$)

г) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных множителям. ($\frac{1}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$)

697 Что больше:

а) $88\dots8$ (100 цифр) $\cdot$ $33\dots3$ (100 цифр) или $55\dots5$ (100 цифр) $\cdot$ $66\dots6$ (100 цифр);

б) $252,5 \cdot 3,636$ или $25,25 \cdot 36,36$;

в) $\frac{25}{99}$ или $\frac{2525}{9999}$;

г) $\frac{25}{127}$ или $\frac{2524}{127127}$;

д) $\frac{29}{36}$ или $\frac{17}{24}$;

е) $\frac{25}{39}$ или $\frac{35}{51}$?

а) Сравним произведения $88...8 \cdot 33...3$ и $55...5 \cdot 66...6$, где каждое число состоит из 100 цифр.
Представим число, состоящее из 100 цифр $d$, в виде $d \cdot \frac{10^{100}-1}{9}$.
Обозначим $K = \frac{10^{100}-1}{9}$. Тогда числа можно записать как $8K, 3K, 5K, 6K$.
Первое произведение равно: $8K \cdot 3K = 24K^2$.
Второе произведение равно: $5K \cdot 6K = 30K^2$.
Поскольку $K > 0$, то $K^2 > 0$. Сравниваем коэффициенты $24$ и $30$.
Так как $24 < 30$, то $24K^2 < 30K^2$.
Следовательно, $88...8 \cdot 33...3 < 55...5 \cdot 66...6$.
Ответ: $55...5 \cdot 66...6$ больше.

б) Сравним $252,5 \cdot 3,636$ и $25,25 \cdot 36,36$.
Преобразуем второе выражение:
$25,25 \cdot 36,36 = (252,5 \div 10) \cdot (3,636 \cdot 10)$.
Перегруппируем множители: $(252,5 \cdot 3,636) \cdot (\frac{1}{10} \cdot 10) = 252,5 \cdot 3,636 \cdot 1 = 252,5 \cdot 3,636$.
Таким образом, оба выражения равны.
Ответ: выражения равны.

в) Сравним дроби $\frac{25}{99}$ и $\frac{2525}{9999}$.
Рассмотрим вторую дробь. Ее числитель и знаменатель можно представить в виде:
$2525 = 25 \cdot 101$
$9999 = 99 \cdot 101$
Тогда вторая дробь равна $\frac{25 \cdot 101}{99 \cdot 101}$.
Сократив общий множитель 101, получаем $\frac{25}{99}$.
Дроби равны.
Ответ: дроби равны.

г) Сравним дроби $\frac{25}{127}$ и $\frac{2524}{127127}$.
Чтобы сравнить две дроби, можно привести их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $127127 = 127000 + 127 = 127 \cdot 1000 + 127 \cdot 1 = 127 \cdot 1001$.
Приведем первую дробь к такому же знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на 1001:
$\frac{25}{127} = \frac{25 \cdot 1001}{127 \cdot 1001} = \frac{25025}{127127}$.
Теперь сравним полученную дробь $\frac{25025}{127127}$ со второй дробью $\frac{2524}{127127}$.
Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $25025 > 2524$.
Следовательно, $\frac{25}{127} > \frac{2524}{127127}$.
Ответ: $\frac{25}{127}$ больше.

д) Сравним дроби $\frac{29}{36}$ и $\frac{17}{24}$.
Для сравнения приведем дроби к наименьшему общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 36 и 24 равно 72.
Приводим первую дробь к знаменателю 72:
$\frac{29}{36} = \frac{29 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{58}{72}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 72:
$\frac{17}{24} = \frac{17 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{51}{72}$.
Сравниваем числители: $58 > 51$.
Значит, $\frac{58}{72} > \frac{51}{72}$, и, следовательно, $\frac{29}{36} > \frac{17}{24}$.
Ответ: $\frac{29}{36}$ больше.

е) Сравним дроби $\frac{25}{39}$ и $\frac{35}{51}$.
Воспользуемся методом перекрестного умножения. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.
Сравним $25 \cdot 51$ и $39 \cdot 35$.
$25 \cdot 51 = 25 \cdot (50 + 1) = 1250 + 25 = 1275$.
$39 \cdot 35 = (40 - 1) \cdot 35 = 1400 - 35 = 1365$.
Так как $1275 < 1365$, то и $\frac{25}{39} < \frac{35}{51}$.
Ответ: $\frac{35}{51}$ больше.

697 Что больше:

а) $\underbrace{88\dots8}_{\text{100 цифр}} \cdot \underbrace{33\dots3}_{\text{100 цифр}}$ или $\underbrace{55\dots5}_{\text{100 цифр}} \cdot \underbrace{66\dots6}_{\text{100 цифр}}$;

б) $252,5 \cdot 3,636$ или $25,25 \cdot 36,36$;

в) $\frac{25}{99}$ или $\frac{2525}{9999}$;

г) $\frac{25}{127}$ или $\frac{2524}{127127}$;

д) $\frac{29}{36}$ или $\frac{17}{24}$;

е) $\frac{25}{39}$ или $\frac{35}{51}$?

698 a) Найди два числа, разность которых равна 6, а одно из них составляет $\frac{2}{7}$ другого.

б) Одно число на 40 % меньше другого, а их сумма равна 16,8. Какие это числа?

а)

Пусть одно число равно $x$, а другое $y$. Из условия "одно из них составляет $\frac{2}{7}$ другого" следует, что одно число меньше другого. Пусть $x$ — большее число, а $y$ — меньшее.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Разность чисел равна 6: $x - y = 6$.

2. Меньшее число составляет $\frac{2}{7}$ от большего: $y = \frac{2}{7}x$.

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x - \frac{2}{7}x = 6$

Чтобы решить уравнение, приведем подобные слагаемые:

$x(1 - \frac{2}{7}) = 6$

$x(\frac{7}{7} - \frac{2}{7}) = 6$

$x \cdot \frac{5}{7} = 6$

Теперь найдем $x$:

$x = 6 \div \frac{5}{7} = 6 \cdot \frac{7}{5} = \frac{42}{5} = 8,4$

Теперь, зная $x$, найдем $y$:

$y = \frac{2}{7}x = \frac{2}{7} \cdot 8,4 = \frac{2 \cdot 8,4}{7} = \frac{16,8}{7} = 2,4$

Проверим: разность чисел $8,4 - 2,4 = 6$, а их отношение $2,4 / 8,4 = 24 / 84 = 2/7$. Условия выполнены.

Ответ: 8,4 и 2,4.

б)

Пусть большее из двух чисел равно $x$. По условию, другое число на 40% меньше. Это означает, что оно составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от большего числа.

Выразим второе число через $x$:

$0,6x$

Сумма этих двух чисел равна 16,8. Составим уравнение:

$x + 0,6x = 16,8$

Решим это уравнение:

$1,6x = 16,8$

$x = 16,8 \div 1,6$

$x = 168 \div 16$

$x = 10,5$

Мы нашли большее число. Теперь найдем меньшее число:

$0,6x = 0,6 \cdot 10,5 = 6,3$

Проверим: сумма чисел $10,5 + 6,3 = 16,8$. Разница $10,5 - 6,3 = 4,2$, что составляет $\frac{4,2}{10,5} \cdot 100\% = 0,4 \cdot 100\% = 40\%$ от большего числа. Условия выполнены.

Ответ: 10,5 и 6,3.

698 a) Найди два числа, разность которых равна 6, а одно из них составляет $2/7$ другого.

б) Одно число на 40% меньше другого, а их сумма равна 16,8. Какие это числа?

699 В феврале в городе N выпало рекордное количество снега. В первую неделю выпало $20\%$ всего снега, во вторую – на $25\%$ больше, чем в первую, в третью – $\frac{2}{3}$ того, что выпало за первые две недели вместе, а в четвёртую – остальные $45$ мм. Сколько всего миллиметров снега выпало в городе N в феврале?

Для решения задачи обозначим общее количество выпавшего снега за $x$ мм.

1. Количество снега за первую неделю.
В первую неделю выпало 20% всего снега. В долях это составляет 0,2. Таким образом, за первую неделю выпало $0.2x$ мм снега.

2. Количество снега за вторую неделю.
Во вторую неделю выпало на 25% больше, чем в первую. Это значит, что количество снега второй недели составляет 125% от количества первой недели (100% + 25%). Найдем это количество: $0.2x \cdot (1 + 0.25) = 0.2x \cdot 1.25 = 0.25x$ мм.

3. Количество снега за третью неделю.
В третью неделю выпало $\frac{2}{3}$ от того, что выпало за первые две недели вместе. Сначала найдем, сколько снега выпало за первые две недели: $0.2x + 0.25x = 0.45x$ мм. Теперь найдем количество снега за третью неделю: $\frac{2}{3} \cdot 0.45x = \frac{2 \cdot 0.45}{3}x = 2 \cdot 0.15x = 0.3x$ мм.

4. Составление и решение уравнения.
Общее количество снега $x$ равно сумме снега, выпавшего за четыре недели. За первые три недели выпало: $0.2x + 0.25x + 0.3x = 0.75x$ мм. В четвертую неделю выпало оставшееся количество снега, что по условию составляет 45 мм. Таким образом, 45 мм — это та часть снега, которая осталась после первых трех недель: $x - 0.75x = 45$

Решим полученное уравнение: $0.25x = 45$ $x = \frac{45}{0.25}$ $x = 180$

Следовательно, всего в городе N в феврале выпало 180 мм снега.
Ответ: 180 мм.

699 В феврале в городе N выпало рекордное количество снега. В первую неделю выпало 20% всего снега, во вторую – на 25% больше, чем в первую, в третью – $ \frac{2}{3} $ того, что выпало за первые две недели вместе, а в четвертую – остальные 45 мм. Сколько всего миллиметров снега выпало в городе N в феврале?

700 Построй математическую модель задачи.

а) Расстояние между городами A и B равно 120 км. Из A в B выехал грузовик, а через 20 мин вслед за ним – автобус, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. С какой скоростью ехал грузовик, если он прибыл в B на 10 мин позже автобуса?

Математическая модель: $ \frac{120}{x} - \frac{120}{x+20} = 0.5 $

б) Из посёлков A и B, расстояние между которыми 16 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 6 км от A. Чему равна скорость пешехода, вышедшего из A, если до встречи он сделал получасовую остановку и его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из B?

Математическая модель: $ \frac{6}{x} + 0.5 = \frac{10}{x+1} $

а)

Для построения математической модели и решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость грузовика. Тогда, согласно условию, скорость автобуса равна $(x + 20)$ км/ч.

Расстояние между городами А и В равно 120 км. Время, которое грузовик затратил на весь путь, равно $t_г = \frac{120}{x}$ часов. Время, которое автобус затратил на весь путь, равно $t_а = \frac{120}{x + 20}$ часов.

Автобус выехал на 20 минут позже грузовика, а прибыл в В на 10 минут раньше грузовика. Это означает, что общее время, которое грузовик находился в пути, на $20 + 10 = 30$ минут больше, чем время, которое находился в пути автобус.

Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, которое является математической моделью задачи:

$t_г - t_а = 0.5$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = 0.5$

Решим это уравнение. Умножим обе части на $2x(x + 20)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $x > 0$):

$120 \cdot 2(x + 20) - 120 \cdot 2x = x(x + 20)$

$240(x + 20) - 240x = x^2 + 20x$

$240x + 4800 - 240x = x^2 + 20x$

$4800 = x^2 + 20x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 20x - 4800 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость грузовика равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

б)

Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из А. По условию, его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из В, значит, скорость второго пешехода равна $(x + 1)$ км/ч.

Пешеходы встретились в 6 км от А. Это означает, что пешеход из А прошел расстояние $S_A = 6$ км, а пешеход из В прошел расстояние $S_B = 16 - 6 = 10$ км.

Оба пешехода вышли одновременно и встретились в одно и то же время. Пусть $T$ — время в часах с момента выхода до момента встречи. Пешеход из В шел все это время без остановок, поэтому время его движения равно $T$. Для него справедливо равенство:

$S_B = v_B \cdot T \implies 10 = (x + 1) \cdot T$

Пешеход из А до встречи сделал получасовую (0.5 часа) остановку. Значит, его время в движении составило $(T - 0.5)$ часов. Для него справедливо равенство:

$S_A = v_A \cdot (T - 0.5) \implies 6 = x \cdot (T - 0.5)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Выразим $T$ из первого уравнения:

$T = \frac{10}{x + 1}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$6 = x \cdot \left(\frac{10}{x + 1} - 0.5\right)$

Это уравнение является математической моделью задачи. Решим его:

$6 = x \cdot \left(\frac{10 - 0.5(x + 1)}{x + 1}\right)$

$6(x + 1) = x(10 - 0.5x - 0.5)$

$6x + 6 = x(9.5 - 0.5x)$

$6x + 6 = 9.5x - 0.5x^2$

Перенесем все члены в левую часть и умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

$0.5x^2 + 6x - 9.5x + 6 = 0$

$0.5x^2 - 3.5x + 6 = 0$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Это числа 3 и 4.

$x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Оба корня положительные и могут являться решением. Проверим оба варианта:

1. Если скорость пешехода из А равна $x = 3$ км/ч, то скорость пешехода из В равна $3 + 1 = 4$ км/ч. Время до встречи $T = \frac{10}{4} = 2.5$ ч. Время движения пешехода из А: $2.5 - 0.5 = 2$ ч. Пройденный им путь: $3 \cdot 2 = 6$ км. Это соответствует условию.

2. Если скорость пешехода из А равна $x = 4$ км/ч, то скорость пешехода из В равна $4 + 1 = 5$ км/ч. Время до встречи $T = \frac{10}{5} = 2$ ч. Время движения пешехода из А: $2 - 0.5 = 1.5$ ч. Пройденный им путь: $4 \cdot 1.5 = 6$ км. Это также соответствует условию.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: 3 км/ч или 4 км/ч.

700 Построй математическую модель задачи:

а) Расстояние между городами A и B равно 120 км. Из A в B выехал грузовик, а через 20 мин вслед за ним – автобус, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. С какой скоростью ехал грузовик, если он прибыл в B на 10 мин позже автобуса?

Пусть $v_T$ — скорость грузовика (км/ч).

Тогда скорость автобуса $v_B = v_T + 20$ (км/ч).

Время, которое грузовик потратил на путь: $t_T = \frac{120}{v_T}$ (ч).

Время, которое автобус потратил на путь: $t_B = \frac{120}{v_B} = \frac{120}{v_T + 20}$ (ч).

Автобус выехал на $20 \text{ мин} = \frac{1}{3}$ ч позже грузовика.

Грузовик прибыл на $10 \text{ мин} = \frac{1}{6}$ ч позже автобуса.

Уравнение, описывающее задачу:

$\frac{120}{v_T} - \frac{120}{v_T + 20} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

$\frac{120}{v_T} - \frac{120}{v_T + 20} = \frac{1}{2}$

б) Из поселков A и B, расстояние между которыми 16 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 6 км от A. Чему равна скорость пешехода, вышедшего из A, если до встречи он сделал получасовую остановку и его скорость на 1 км/ч меньше скорости пешехода, вышедшего из B?

Пусть $v_A$ — скорость пешехода, вышедшего из A (км/ч).

Пусть $v_B$ — скорость пешехода, вышедшего из B (км/ч).

Расстояние между поселками $S = 16$ км.

Место встречи: 6 км от A, значит, пешеход из A прошел $S_A = 6$ км.

Пешеход из B прошел $S_B = 16 - 6 = 10$ км.

Пешеход из A сделал остановку на $0.5$ ч.

Скорость пешехода из A: $v_A = v_B - 1$.

Время, затраченное пешеходом из A до встречи (включая остановку): $T_A = \frac{S_A}{v_A} + 0.5 = \frac{6}{v_A} + 0.5$ (ч).

Время, затраченное пешеходом из B до встречи: $T_B = \frac{S_B}{v_B} = \frac{10}{v_B}$ (ч).

Поскольку пешеходы вышли одновременно и встретились, время их пути равно $T_A = T_B$.

Уравнение, описывающее задачу:

$\frac{6}{v_A} + 0.5 = \frac{10}{v_B}$

Подставим $v_A = v_B - 1$:

$\frac{6}{v_B - 1} + 0.5 = \frac{10}{v_B}$