Страница 156, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

669 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 200 км, одновременно выезжают автомобиль и автобус. Скорость автомобиля на 60 % больше скорости автобуса. Во время пути автомобиль делает получасовую остановку, но, несмотря на это, прибывает в пункт В на час раньше автобуса. С какой скоростью ехал автомобиль?

Пусть $v$ км/ч — скорость автобуса. Согласно условию, скорость автомобиля на 60% больше, следовательно, она составляет $v + 0.6v = 1.6v$ км/ч.

Расстояние между пунктами А и В равно 200 км.

Время, которое затратил на путь автобус, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно:
$t_{автобуса} = \frac{200}{v}$ часов.

Автомобиль ехал со скоростью $1.6v$, но во время пути сделал остановку на полчаса (0.5 часа). Общее время, которое он затратил на весь путь от А до В, складывается из времени в движении и времени остановки:
$t_{автомобиля} = \frac{200}{1.6v} + 0.5$ часов.

По условию задачи, автомобиль прибыл в пункт В на 1 час раньше автобуса. Это означает, что время в пути автобуса на 1 час больше общего времени автомобиля:
$t_{автобуса} = t_{автомобиля} + 1$

Составим и решим уравнение, подставив в него выражения для времени:
$\frac{200}{v} = \left(\frac{200}{1.6v} + 0.5\right) + 1$
$\frac{200}{v} = \frac{200}{1.6v} + 1.5$

Для решения уравнения перенесем слагаемые, содержащие переменную $v$, в левую часть:
$\frac{200}{v} - \frac{200}{1.6v} = 1.5$

Приведем дроби к общему знаменателю $1.6v$:
$\frac{200 \cdot 1.6}{1.6v} - \frac{200}{1.6v} = 1.5$
$\frac{320 - 200}{1.6v} = 1.5$
$\frac{120}{1.6v} = 1.5$

Теперь выразим и найдем $v$:
$120 = 1.5 \cdot 1.6v$
$120 = 2.4v$
$v = \frac{120}{2.4} = \frac{1200}{24} = 50$

Таким образом, мы нашли скорость автобуса: $v = 50$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость автомобиля. Вычислим ее, используя найденное значение скорости автобуса:
Скорость автомобиля $= 1.6v = 1.6 \cdot 50 = 80$ км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

669 Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 200 км, одновременно выезжают автомобиль и автобус. Скорость автомобиля на 60% больше скорости автобуса. Во время пути автомобиль делает получасовую остановку, но, несмотря на это, прибывает в пункт B на час раньше автобуса. С какой скоростью ехал автомобиль?

670 Построй математическую модель задачи.

а) Лыжник должен был пройти 8 км с определённой скоростью, чтобы вернуться в туристический лагерь к обеду. В середине пути он задержался на 10 мин. Однако, увеличив скорость на 2 км/ч, пришёл в лагерь вовремя. С какой скоростью шёл лыжник вторую половину пути?

б) Лодка может проплыть 20 км по течению реки и ещё 15 км против течения реки за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 75 км по этой реке. Скорость лодки 10 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

а)

Обозначим за $v$ (км/ч) первоначальную (планируемую) скорость лыжника. Весь путь составляет 8 км. Первая половина пути — 4 км, вторая половина — 4 км. Лыжник прошел первую половину пути со скоростью $v$. Время, затраченное на это, равно $t_1 = \frac{4}{v}$ ч. На середине пути он задержался на 10 минут, что составляет $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа. Вторую половину пути он шёл с увеличенной скоростью $v + 2$ км/ч. Время, затраченное на вторую половину пути, равно $t_2 = \frac{4}{v+2}$ ч.

По условию, лыжник прибыл в лагерь вовремя. Это означает, что суммарное время, которое он затратил, равно времени, которое он планировал затратить на весь путь. Планируемое время на весь путь: $T_{план} = \frac{8}{v}$ ч. Фактическое время: $T_{факт} = t_1 + t_{задержки} + t_2 = \frac{4}{v} + \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$ ч. Приравняем планируемое и фактическое время:

$\frac{8}{v} = \frac{4}{v} + \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$

Перенесём $\frac{4}{v}$ в левую часть уравнения:

$\frac{8}{v} - \frac{4}{v} = \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$

$\frac{4}{v} = \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$

Это уравнение означает, что плановое время на вторую половину пути ($\frac{4}{v}$) равно сумме фактического времени движения на второй половине ($\frac{4}{v+2}$) и времени задержки ($\frac{1}{6}$). Решим это уравнение:

$\frac{4}{v} - \frac{4}{v+2} = \frac{1}{6}$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{4(v+2) - 4v}{v(v+2)} = \frac{1}{6}$

$\frac{4v + 8 - 4v}{v^2 + 2v} = \frac{1}{6}$

$\frac{8}{v^2 + 2v} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$v^2 + 2v = 8 \cdot 6$

$v^2 + 2v - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -48, а сумма -2. Это числа -8 и 6. Корни уравнения: $v_1 = 6$, $v_2 = -8$. Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -8$ не подходит. Следовательно, первоначальная скорость лыжника была $v = 6$ км/ч.

Вопрос задачи — с какой скоростью шёл лыжник вторую половину пути. Эта скорость равна $v + 2$.

$6 + 2 = 8$ (км/ч).

Ответ: 8 км/ч.

б)

Обозначим за $v_c$ (км/ч) скорость течения реки. Собственная скорость лодки $v_л = 10$ км/ч. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_{плота} = v_c$.

Скорость лодки по течению реки: $v_{по} = v_л + v_c = 10 + v_c$ (км/ч). Скорость лодки против течения реки: $v_{против} = v_л - v_c = 10 - v_c$ (км/ч). Отметим, что для движения против течения должно выполняться условие $v_л > v_c$, то есть $10 > v_c$.

Время движения лодки состоит из времени движения по течению (20 км) и против течения (15 км): $T_{лодки} = \frac{20}{10 + v_c} + \frac{15}{10 - v_c}$ ч.

Время движения плота (75 км): $T_{плота} = \frac{75}{v_c}$ ч.

По условию, время движения лодки и плота одинаково. Составим уравнение:

$\frac{20}{10 + v_c} + \frac{15}{10 - v_c} = \frac{75}{v_c}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{4}{10 + v_c} + \frac{3}{10 - v_c} = \frac{15}{v_c}$

Приведём левую часть к общему знаменателю $(10 + v_c)(10 - v_c) = 100 - v_c^2$:

$\frac{4(10 - v_c) + 3(10 + v_c)}{100 - v_c^2} = \frac{15}{v_c}$

$\frac{40 - 4v_c + 30 + 3v_c}{100 - v_c^2} = \frac{15}{v_c}$

$\frac{70 - v_c}{100 - v_c^2} = \frac{15}{v_c}$

По свойству пропорции:

$v_c(70 - v_c) = 15(100 - v_c^2)$

$70v_c - v_c^2 = 1500 - 15v_c^2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$14v_c^2 + 70v_c - 1500 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$7v_c^2 + 35v_c - 750 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $v_c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Найдём дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-750) = 1225 + 21000 = 22225$

Найдём корни уравнения:

$v_{c,1} = \frac{-35 + \sqrt{22225}}{2 \cdot 7} = \frac{-35 + \sqrt{22225}}{14}$

$v_{c,2} = \frac{-35 - \sqrt{22225}}{2 \cdot 7} = \frac{-35 - \sqrt{22225}}{14}$

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому второй корень не имеет физического смысла. Упростим первый корень: $\sqrt{22225} = \sqrt{25 \cdot 889} = 5\sqrt{889}$.

$v_c = \frac{-35 + 5\sqrt{889}}{14} = \frac{5(\sqrt{889} - 7)}{14}$

Проверим, что $0 < v_c < 10$. Так как $\sqrt{841} < \sqrt{889} < \sqrt{900}$, то $29 < \sqrt{889} < 30$. Значение $v_c$ положительно. $v_c \approx \frac{5(29.8 - 7)}{14} \approx 8.14$, что меньше 10.

Ответ: $\frac{5(\sqrt{889} - 7)}{14}$ км/ч.

670 Построй математическую модель задачи:

a) Лыжник должен был проехать 8 км с определенной скоростью, чтобы вернуться в туристический лагерь к обеду. В середине пути он задержался на 10 мин. Однако, увеличив скорость на 2 км/ч, приехал в лагерь вовремя. С какой скоростью ехал лыжник вторую половину пути?

Пусть $S = 8$ км - весь путь.
Пусть $v$ км/ч - первоначальная (плановая) скорость лыжника.
Запланированное время: $T_{план} = \frac{S}{v} = \frac{8}{v}$.
Половина пути: $\frac{S}{2} = 4$ км.
Время на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v} = \frac{4}{v}$.
Задержка: $\Delta t = 10$ мин $= \frac{10}{60}$ ч $= \frac{1}{6}$ ч.
Скорость на второй половине пути: $v_{нов} = v+2$ км/ч.
Время на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v+2} = \frac{4}{v+2}$.
По условию, лыжник приехал вовремя, то есть $t_1 + \Delta t + t_2 = T_{план}$.
Математическая модель:

$\frac{4}{v} + \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2} = \frac{8}{v}$

Искомая скорость: $v_{нов} = v+2$.

б) Лодка может проплыть 20 км по течению реки и еще 15 км против течения реки за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 75 км по этой реке. Скорость лодки 10 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

Пусть $v_л = 10$ км/ч - собственная скорость лодки.
Пусть $v_р$ км/ч - скорость течения реки.
Скорость лодки по течению: $v_{по} = v_л + v_р = 10 + v_р$.
Скорость лодки против течения: $v_{против} = v_л - v_р = 10 - v_р$.
Время, затраченное лодкой: $T_л = \frac{20}{v_{по}} + \frac{15}{v_{против}} = \frac{20}{10+v_р} + \frac{15}{10-v_р}$.
Скорость плота (равна скорости течения): $v_{плот} = v_р$.
Время, затраченное плотом: $T_{плот} = \frac{75}{v_{плот}} = \frac{75}{v_р}$.
По условию, время лодки равно времени плота: $T_л = T_{плот}$.
Математическая модель:

$\frac{20}{10+v_р} + \frac{15}{10-v_р} = \frac{75}{v_р}$

Искомая скорость: $v_р$.

671 Найди значения выражений:

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5}$

б) $\frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$

в) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 16}$

г) $\frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 20}$

а) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} $

Для решения этой задачи воспользуемся методом, при котором каждая дробь вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ представляется в виде разности двух дробей: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.

Представим каждое слагаемое в виде такой разности:

$ \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} $

$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $

$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $

Теперь исходное выражение можно записать как сумму этих разностей:

$ (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) $

Раскрыв скобки, мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются (этот приём называется "телескопическое суммирование"):

$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5} $

Вычислим результат:

$ 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $

б) $ \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $

Аналогично предыдущему пункту, используем представление дроби $ \frac{1}{n(n+1)} $ в виде разности $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.

Запишем сумму в новом виде:

$ (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $

После уничтожения промежуточных слагаемых получим:

$ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} $

Приведем дроби к общему знаменателю и вычислим разность:

$ \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $

в) $ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 16} $

В этом выражении знаменатели дробей состоят из множителей, разность между которыми постоянна и равна 3. Для таких дробей вида $ \frac{1}{n(n+k)} $ используется формула: $ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}) $. В нашем случае $k=3$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому и вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + (\frac{1}{10} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{16}) \right] $

Внутри скобок промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{3} \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{16} \right] = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{16} \right) $

Выполним вычисления:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{3 \cdot 16} = \frac{5}{16} $

Ответ: $ \frac{5}{16} $

г) $ \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 20} $

Здесь, как и в предыдущем пункте, разность между множителями в знаменателе равна 3. Используем ту же формулу $ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}) $.

Запишем выражение, вынеся общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{14}) + (\frac{1}{14} - \frac{1}{17}) + (\frac{1}{17} - \frac{1}{20}) \right] $

После взаимного уничтожения промежуточных слагаемых в скобках остается разность первого и последнего членов:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{20} \right) $

Выполним вычисления, приведя дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{4}{20} - \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{20} = \frac{3}{3 \cdot 20} = \frac{1}{20} $

Ответ: $ \frac{1}{20} $

671 Найди значения выражений:

а) $\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5}$;

В) $\frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \frac{1}{10\cdot 13} + \frac{1}{13\cdot 16}$;

б) $\frac{1}{6\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 8} + \frac{1}{8\cdot 9} + \frac{1}{9\cdot 10}$;

г) $\frac{1}{5\cdot 8} + \frac{1}{8\cdot 11} + \frac{1}{11\cdot 14} + \frac{1}{14\cdot 17} + \frac{1}{17\cdot 20}$.

Скопируй рисунок и построй треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$. Проверь правильность построений с помощью кальки.

а) б) в)

Чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти симметричную ей точку и соединить полученные точки отрезками.

Точка, симметричная данной точке относительно прямой (оси симметрии), находится на перпендикуляре, проведенном из данной точки к этой прямой, по другую сторону и на таком же расстоянии от нее.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$. Прямая $l$ на рисунке является вертикальной. Перпендикуляр к ней из точки $A$ будет горизонтальной линией. Расстояние от точки $A$ до прямой $l$ составляет 3 клетки. Откладываем 3 клетки вправо от прямой $l$ по этому перпендикуляру и ставим точку $A'$.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$. Проводим из точки $B$ горизонтальный перпендикуляр к прямой $l$. Расстояние от $B$ до $l$ равно 1 клетке. Откладываем 1 клетку влево от прямой $l$ по перпендикуляру и ставим точку $B'$.
3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$. Точка $C$ лежит на самой оси симметрии $l$. В этом случае симметричная ей точка $C'$ совпадает с точкой $C$.
4. Построение треугольника $A'B'C'$. Соединяем отрезками точки $A'$, $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ является искомым.

Для проверки правильности построения можно скопировать на кальку треугольник $ABC$ и прямую $l$, а затем перевернуть кальку и совместить прямую $l$ на кальке с прямой $l$ на рисунке. Изображение треугольника на кальке должно совпасть с построенным треугольником $A'B'C'$.

Ответ: Построение симметричного треугольника $A'B'C'$ выполнено согласно описанным шагам.

В этом случае ось симметрии $l$ — это диагональная прямая, проходящая через узлы сетки под углом $45^\circ$ к горизонтальным линиям сетки.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$. Перпендикуляром к диагональной прямой $l$ будет диагональ, наклоненная в противоположную сторону. Проведем такой перпендикуляр из точки $A$ до пересечения с прямой $l$. Расстояние от точки $A$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра составляет одну диагональ клетки. Отложим такое же расстояние (одну диагональ клетки) по другую сторону от прямой $l$ и отметим точку $A'$.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$. Аналогично, проведем перпендикуляр из точки $B$ к прямой $l$. Расстояние от $B$ до $l$ равно одной диагонали клетки. Отложим это же расстояние по перпендикуляру в противоположную сторону и получим точку $B'$.
3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$. Проведем перпендикуляр из точки $C$ к прямой $l$. Расстояние от $C$ до $l$ составляет полторы диагонали клетки (1.5). Отложим такое же расстояние по другую сторону от прямой $l$ и отметим точку $C'$.
4. Построение треугольника $A'B'C'$. Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $A'B'C'$ искомый.

Ответ: Построение симметричного треугольника $A'B'C'$ выполнено согласно описанным шагам.

Ось симметрии $l$ — диагональная прямая, проходящая через узлы сетки под углом $135^\circ$ к горизонтальным линиям сетки.

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$. Точка $A$ лежит на оси симметрии $l$. Следовательно, она симметрична самой себе, и точка $A'$ совпадает с точкой $A$.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$. Перпендикуляром к прямой $l$ будет диагональ, наклоненная в другую сторону (под углом $45^\circ$). Проведем такой перпендикуляр из точки $B$. Расстояние от точки $B$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра составляет 2.5 диагонали клетки. Отложим такое же расстояние по перпендикуляру в противоположную сторону от прямой $l$ и найдем точку $B'$.
3. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$. Проведем перпендикуляр из точки $C$ к прямой $l$. Расстояние от точки $C$ до прямой $l$ составляет 2 диагонали клетки. Отложим 2 диагонали клетки по перпендикуляру в другую сторону от прямой $l$ и получим точку $C'$.
4. Построение треугольника $A'B'C'$. Соединяем точки $A'$ (которая совпадает с $A$), $B'$ и $C'$ отрезками, чтобы получить искомый треугольник $A'B'C'$.

Ответ: Построение симметричного треугольника $A'B'C'$ выполнено согласно описанным шагам.

D 672 Скопируй рисунок и построй треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой $l$. Проверь правильность построений с помощью кальки.

a) б) в)

673 а) Построй треугольник ABC, у которого $\angle A = 90^\circ$, $AB = BC = 4$ см. Определи вид этого треугольника.

б) Построй треугольник $A_1 B_1 C_1$, который получается из треугольника ABC при повороте вокруг вершины А на угол $\alpha = 45^\circ$.

в) Начерти прямую $l$, относительно которой треугольники ABC и $A_1 B_1 C_1$ симметричны. Проверь это с помощью кальки.

а)

В условии задачи, скорее всего, допущена ошибка. В прямоугольном треугольнике с прямым углом при вершине A ($∠A = 90°$), сторона BC является гипотенузой, а AB — катетом. Гипотенуза всегда больше катета, поэтому условие $AB = BC = 4$ см для невырожденного треугольника невозможно. Согласно теореме Пифагора, $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Если подставить данные из условия, получим $4^2 + AC^2 = 4^2$, что приводит к $AC^2 = 0$, и, следовательно, $AC = 0$. Это означает, что точки A и C совпадают, и фигура является не треугольником, а отрезком.

Наиболее вероятным исправлением условия является $AB = AC = 4$ см. Решим задачу с этим исправленным условием.

Построение треугольника ABC с $∠A = 90°$ и $AB = AC = 4$ см:

1. Начертим отрезок AB длиной 4 см.

2. В точке A построим луч, перпендикулярный отрезку AB.

3. На этом луче отложим от точки A отрезок AC длиной 4 см.

4. Соединим точки B и C. Треугольник ABC построен.

Определение вида треугольника:

Поскольку $∠A = 90°$, треугольник является прямоугольным. Поскольку у него две стороны равны ($AB = AC$), он также является равнобедренным.

Ответ: При исправленном условии ($AB = AC = 4$ см) треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником.

б)

Для построения треугольника $A_1B_1C_1$ необходимо повернуть треугольник ABC вокруг вершины A на угол $α = 45°$. При повороте вокруг точки A сама точка A остается на месте, то есть $A_1$ совпадает с A.

Построение:

1. Точка $A_1$ совпадает с точкой A.

2. Чтобы найти положение точки $B_1$, строим угол $∠BAB_1 = 45°$ (поворот против часовой стрелки). На новой стороне угла откладываем отрезок $AB_1$, равный отрезку AB. Таким образом, $AB_1 = AB = 4$ см.

3. Чтобы найти положение точки $C_1$, строим угол $∠CAC_1 = 45°$ в том же направлении. На новой стороне угла откладываем отрезок $AC_1$, равный отрезку AC. Таким образом, $AC_1 = AC = 4$ см.

4. Соединяем точки $A_1, B_1, C_1$. Треугольник $A_1B_1C_1$ построен.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ получается поворотом вершин B и C треугольника ABC вокруг точки A на угол $45°$ с сохранением расстояний $AB=AB_1$ и $AC=AC_1$.

в)

Прямая $l$, относительно которой два треугольника симметричны, называется осью симметрии. Если одна фигура получена из другой поворотом вокруг центра A на угол $α$, то ось симметрии этих двух фигур проходит через центр поворота A и является биссектрисой угла поворота.

Построение прямой $l$:

1. Угол поворота, который переводит точку B в точку $B_1$, равен $∠BAB_1 = 45°$.

2. Искомая прямая $l$ является биссектрисой угла $∠BAB_1$.

3. Для построения прямой $l$ нужно провести из точки A луч, который делит угол $∠BAB_1$ на два равных угла. Угол между этим лучом и отрезком AB будет равен $45° / 2 = 22.5°$. Эта прямая также будет биссектрисой угла $∠CAC_1$.

Проверка с помощью кальки:

Чтобы проверить, что прямая $l$ является осью симметрии, нужно наложить на чертеж кальку, обвести на ней треугольник ABC и прямую $l$. Затем перевернуть кальку и совместить изображение прямой $l$ на кальке с оригиналом на бумаге. При этом изображение треугольника ABC на кальке должно в точности совпасть с треугольником $A_1B_1C_1$ на чертеже.

Ответ: Прямая $l$ — это прямая, проходящая через вершину A и являющаяся биссектрисой угла $∠BAB_1$, то есть образующая с отрезком AB угол в $22.5°$.

673 а) Построй треугольник $ABC$, у которого $\angle A = 90^\circ$, $AB = BC = 4$ см. Определи вид этого треугольника.

б) Построй треугольник $A_1B_1C_1$, который получается из треугольника $ABC$ при повороте вокруг вершины $A$ на угол $\alpha = 45^\circ$.

в) Начерти прямую $l$, относительно которой треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ симметричны. Проверь это с помощью кальки.