Номер 671, страница 156, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 671, страница 156.

Условие 2023.

671 Найди значения выражений:

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5}$

б) $\frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$

в) $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 16}$

г) $\frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 20}$

Решение 2 (2023).

а) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} $

Для решения этой задачи воспользуемся методом, при котором каждая дробь вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ представляется в виде разности двух дробей: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.

Представим каждое слагаемое в виде такой разности:

$ \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} $

$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $

$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $

$ \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} $

Теперь исходное выражение можно записать как сумму этих разностей:

$ (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) $

Раскрыв скобки, мы видим, что соседние слагаемые с противоположными знаками взаимно уничтожаются (этот приём называется "телескопическое суммирование"):

$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5} $

Вычислим результат:

$ 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Ответ: $ \frac{4}{5} $

б) $ \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $

Аналогично предыдущему пункту, используем представление дроби $ \frac{1}{n(n+1)} $ в виде разности $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.

Запишем сумму в новом виде:

$ (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $

После уничтожения промежуточных слагаемых получим:

$ \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} $

Приведем дроби к общему знаменателю и вычислим разность:

$ \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $

в) $ \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 16} $

В этом выражении знаменатели дробей состоят из множителей, разность между которыми постоянна и равна 3. Для таких дробей вида $ \frac{1}{n(n+k)} $ используется формула: $ \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}) $. В нашем случае $k=3$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому и вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{1} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{10}) + (\frac{1}{10} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{16}) \right] $

Внутри скобок промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{3} \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{16} \right] = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{16} \right) $

Выполним вычисления:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{3 \cdot 16} = \frac{5}{16} $

Ответ: $ \frac{5}{16} $

г) $ \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 14} + \frac{1}{14 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 20} $

Здесь, как и в предыдущем пункте, разность между множителями в знаменателе равна 3. Используем ту же формулу $ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}) $.

Запишем выражение, вынеся общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{14}) + (\frac{1}{14} - \frac{1}{17}) + (\frac{1}{17} - \frac{1}{20}) \right] $

После взаимного уничтожения промежуточных слагаемых в скобках остается разность первого и последнего членов:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{20} \right) $

Выполним вычисления, приведя дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{4}{20} - \frac{1}{20} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{20} = \frac{3}{3 \cdot 20} = \frac{1}{20} $

Ответ: $ \frac{1}{20} $

Условие 2010-2022.

671 Найди значения выражений:

а) $\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5}$;

В) $\frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \frac{1}{10\cdot 13} + \frac{1}{13\cdot 16}$;

б) $\frac{1}{6\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 8} + \frac{1}{8\cdot 9} + \frac{1}{9\cdot 10}$;

г) $\frac{1}{5\cdot 8} + \frac{1}{8\cdot 11} + \frac{1}{11\cdot 14} + \frac{1}{14\cdot 17} + \frac{1}{17\cdot 20}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).