Номер 673, страница 156, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 673, страница 156.

Условие 2023.

673 а) Построй треугольник ABC, у которого $\angle A = 90^\circ$, $AB = BC = 4$ см. Определи вид этого треугольника.

б) Построй треугольник $A_1 B_1 C_1$, который получается из треугольника ABC при повороте вокруг вершины А на угол $\alpha = 45^\circ$.

в) Начерти прямую $l$, относительно которой треугольники ABC и $A_1 B_1 C_1$ симметричны. Проверь это с помощью кальки.

Решение 2 (2023).

а)

В условии задачи, скорее всего, допущена ошибка. В прямоугольном треугольнике с прямым углом при вершине A ($∠A = 90°$), сторона BC является гипотенузой, а AB — катетом. Гипотенуза всегда больше катета, поэтому условие $AB = BC = 4$ см для невырожденного треугольника невозможно. Согласно теореме Пифагора, $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Если подставить данные из условия, получим $4^2 + AC^2 = 4^2$, что приводит к $AC^2 = 0$, и, следовательно, $AC = 0$. Это означает, что точки A и C совпадают, и фигура является не треугольником, а отрезком.

Наиболее вероятным исправлением условия является $AB = AC = 4$ см. Решим задачу с этим исправленным условием.

Построение треугольника ABC с $∠A = 90°$ и $AB = AC = 4$ см:

1. Начертим отрезок AB длиной 4 см.

2. В точке A построим луч, перпендикулярный отрезку AB.

3. На этом луче отложим от точки A отрезок AC длиной 4 см.

4. Соединим точки B и C. Треугольник ABC построен.

Определение вида треугольника:

Поскольку $∠A = 90°$, треугольник является прямоугольным. Поскольку у него две стороны равны ($AB = AC$), он также является равнобедренным.

Ответ: При исправленном условии ($AB = AC = 4$ см) треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником.

б)

Для построения треугольника $A_1B_1C_1$ необходимо повернуть треугольник ABC вокруг вершины A на угол $α = 45°$. При повороте вокруг точки A сама точка A остается на месте, то есть $A_1$ совпадает с A.

Построение:

1. Точка $A_1$ совпадает с точкой A.

2. Чтобы найти положение точки $B_1$, строим угол $∠BAB_1 = 45°$ (поворот против часовой стрелки). На новой стороне угла откладываем отрезок $AB_1$, равный отрезку AB. Таким образом, $AB_1 = AB = 4$ см.

3. Чтобы найти положение точки $C_1$, строим угол $∠CAC_1 = 45°$ в том же направлении. На новой стороне угла откладываем отрезок $AC_1$, равный отрезку AC. Таким образом, $AC_1 = AC = 4$ см.

4. Соединяем точки $A_1, B_1, C_1$. Треугольник $A_1B_1C_1$ построен.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ получается поворотом вершин B и C треугольника ABC вокруг точки A на угол $45°$ с сохранением расстояний $AB=AB_1$ и $AC=AC_1$.

в)

Прямая $l$, относительно которой два треугольника симметричны, называется осью симметрии. Если одна фигура получена из другой поворотом вокруг центра A на угол $α$, то ось симметрии этих двух фигур проходит через центр поворота A и является биссектрисой угла поворота.

Построение прямой $l$:

1. Угол поворота, который переводит точку B в точку $B_1$, равен $∠BAB_1 = 45°$.

2. Искомая прямая $l$ является биссектрисой угла $∠BAB_1$.

3. Для построения прямой $l$ нужно провести из точки A луч, который делит угол $∠BAB_1$ на два равных угла. Угол между этим лучом и отрезком AB будет равен $45° / 2 = 22.5°$. Эта прямая также будет биссектрисой угла $∠CAC_1$.

Проверка с помощью кальки:

Чтобы проверить, что прямая $l$ является осью симметрии, нужно наложить на чертеж кальку, обвести на ней треугольник ABC и прямую $l$. Затем перевернуть кальку и совместить изображение прямой $l$ на кальке с оригиналом на бумаге. При этом изображение треугольника ABC на кальке должно в точности совпасть с треугольником $A_1B_1C_1$ на чертеже.

Ответ: Прямая $l$ — это прямая, проходящая через вершину A и являющаяся биссектрисой угла $∠BAB_1$, то есть образующая с отрезком AB угол в $22.5°$.

Условие 2010-2022.

673 а) Построй треугольник $ABC$, у которого $\angle A = 90^\circ$, $AB = BC = 4$ см. Определи вид этого треугольника.

б) Построй треугольник $A_1B_1C_1$, который получается из треугольника $ABC$ при повороте вокруг вершины $A$ на угол $\alpha = 45^\circ$.

в) Начерти прямую $l$, относительно которой треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ симметричны. Проверь это с помощью кальки.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).