Номер 670, страница 156, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 670, страница 156.

Условие 2023.

670 Построй математическую модель задачи.

а) Лыжник должен был пройти 8 км с определённой скоростью, чтобы вернуться в туристический лагерь к обеду. В середине пути он задержался на 10 мин. Однако, увеличив скорость на 2 км/ч, пришёл в лагерь вовремя. С какой скоростью шёл лыжник вторую половину пути?

б) Лодка может проплыть 20 км по течению реки и ещё 15 км против течения реки за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 75 км по этой реке. Скорость лодки 10 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

Решение 2 (2023).

а)

Обозначим за $v$ (км/ч) первоначальную (планируемую) скорость лыжника. Весь путь составляет 8 км. Первая половина пути — 4 км, вторая половина — 4 км. Лыжник прошел первую половину пути со скоростью $v$. Время, затраченное на это, равно $t_1 = \frac{4}{v}$ ч. На середине пути он задержался на 10 минут, что составляет $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа. Вторую половину пути он шёл с увеличенной скоростью $v + 2$ км/ч. Время, затраченное на вторую половину пути, равно $t_2 = \frac{4}{v+2}$ ч.

По условию, лыжник прибыл в лагерь вовремя. Это означает, что суммарное время, которое он затратил, равно времени, которое он планировал затратить на весь путь. Планируемое время на весь путь: $T_{план} = \frac{8}{v}$ ч. Фактическое время: $T_{факт} = t_1 + t_{задержки} + t_2 = \frac{4}{v} + \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$ ч. Приравняем планируемое и фактическое время:

$\frac{8}{v} = \frac{4}{v} + \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$

Перенесём $\frac{4}{v}$ в левую часть уравнения:

$\frac{8}{v} - \frac{4}{v} = \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$

$\frac{4}{v} = \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2}$

Это уравнение означает, что плановое время на вторую половину пути ($\frac{4}{v}$) равно сумме фактического времени движения на второй половине ($\frac{4}{v+2}$) и времени задержки ($\frac{1}{6}$). Решим это уравнение:

$\frac{4}{v} - \frac{4}{v+2} = \frac{1}{6}$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{4(v+2) - 4v}{v(v+2)} = \frac{1}{6}$

$\frac{4v + 8 - 4v}{v^2 + 2v} = \frac{1}{6}$

$\frac{8}{v^2 + 2v} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$v^2 + 2v = 8 \cdot 6$

$v^2 + 2v - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -48, а сумма -2. Это числа -8 и 6. Корни уравнения: $v_1 = 6$, $v_2 = -8$. Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -8$ не подходит. Следовательно, первоначальная скорость лыжника была $v = 6$ км/ч.

Вопрос задачи — с какой скоростью шёл лыжник вторую половину пути. Эта скорость равна $v + 2$.

$6 + 2 = 8$ (км/ч).

Ответ: 8 км/ч.

б)

Обозначим за $v_c$ (км/ч) скорость течения реки. Собственная скорость лодки $v_л = 10$ км/ч. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_{плота} = v_c$.

Скорость лодки по течению реки: $v_{по} = v_л + v_c = 10 + v_c$ (км/ч). Скорость лодки против течения реки: $v_{против} = v_л - v_c = 10 - v_c$ (км/ч). Отметим, что для движения против течения должно выполняться условие $v_л > v_c$, то есть $10 > v_c$.

Время движения лодки состоит из времени движения по течению (20 км) и против течения (15 км): $T_{лодки} = \frac{20}{10 + v_c} + \frac{15}{10 - v_c}$ ч.

Время движения плота (75 км): $T_{плота} = \frac{75}{v_c}$ ч.

По условию, время движения лодки и плота одинаково. Составим уравнение:

$\frac{20}{10 + v_c} + \frac{15}{10 - v_c} = \frac{75}{v_c}$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$\frac{4}{10 + v_c} + \frac{3}{10 - v_c} = \frac{15}{v_c}$

Приведём левую часть к общему знаменателю $(10 + v_c)(10 - v_c) = 100 - v_c^2$:

$\frac{4(10 - v_c) + 3(10 + v_c)}{100 - v_c^2} = \frac{15}{v_c}$

$\frac{40 - 4v_c + 30 + 3v_c}{100 - v_c^2} = \frac{15}{v_c}$

$\frac{70 - v_c}{100 - v_c^2} = \frac{15}{v_c}$

По свойству пропорции:

$v_c(70 - v_c) = 15(100 - v_c^2)$

$70v_c - v_c^2 = 1500 - 15v_c^2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$14v_c^2 + 70v_c - 1500 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$7v_c^2 + 35v_c - 750 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $v_c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Найдём дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-750) = 1225 + 21000 = 22225$

Найдём корни уравнения:

$v_{c,1} = \frac{-35 + \sqrt{22225}}{2 \cdot 7} = \frac{-35 + \sqrt{22225}}{14}$

$v_{c,2} = \frac{-35 - \sqrt{22225}}{2 \cdot 7} = \frac{-35 - \sqrt{22225}}{14}$

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому второй корень не имеет физического смысла. Упростим первый корень: $\sqrt{22225} = \sqrt{25 \cdot 889} = 5\sqrt{889}$.

$v_c = \frac{-35 + 5\sqrt{889}}{14} = \frac{5(\sqrt{889} - 7)}{14}$

Проверим, что $0 < v_c < 10$. Так как $\sqrt{841} < \sqrt{889} < \sqrt{900}$, то $29 < \sqrt{889} < 30$. Значение $v_c$ положительно. $v_c \approx \frac{5(29.8 - 7)}{14} \approx 8.14$, что меньше 10.

Ответ: $\frac{5(\sqrt{889} - 7)}{14}$ км/ч.

Условие 2010-2022.

670 Построй математическую модель задачи:

a) Лыжник должен был проехать 8 км с определенной скоростью, чтобы вернуться в туристический лагерь к обеду. В середине пути он задержался на 10 мин. Однако, увеличив скорость на 2 км/ч, приехал в лагерь вовремя. С какой скоростью ехал лыжник вторую половину пути?

Пусть $S = 8$ км - весь путь.
Пусть $v$ км/ч - первоначальная (плановая) скорость лыжника.
Запланированное время: $T_{план} = \frac{S}{v} = \frac{8}{v}$.
Половина пути: $\frac{S}{2} = 4$ км.
Время на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v} = \frac{4}{v}$.
Задержка: $\Delta t = 10$ мин $= \frac{10}{60}$ ч $= \frac{1}{6}$ ч.
Скорость на второй половине пути: $v_{нов} = v+2$ км/ч.
Время на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v+2} = \frac{4}{v+2}$.
По условию, лыжник приехал вовремя, то есть $t_1 + \Delta t + t_2 = T_{план}$.
Математическая модель:

$\frac{4}{v} + \frac{1}{6} + \frac{4}{v+2} = \frac{8}{v}$

Искомая скорость: $v_{нов} = v+2$.

б) Лодка может проплыть 20 км по течению реки и еще 15 км против течения реки за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 75 км по этой реке. Скорость лодки 10 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

Пусть $v_л = 10$ км/ч - собственная скорость лодки.
Пусть $v_р$ км/ч - скорость течения реки.
Скорость лодки по течению: $v_{по} = v_л + v_р = 10 + v_р$.
Скорость лодки против течения: $v_{против} = v_л - v_р = 10 - v_р$.
Время, затраченное лодкой: $T_л = \frac{20}{v_{по}} + \frac{15}{v_{против}} = \frac{20}{10+v_р} + \frac{15}{10-v_р}$.
Скорость плота (равна скорости течения): $v_{плот} = v_р$.
Время, затраченное плотом: $T_{плот} = \frac{75}{v_{плот}} = \frac{75}{v_р}$.
По условию, время лодки равно времени плота: $T_л = T_{плот}$.
Математическая модель:

$\frac{20}{10+v_р} + \frac{15}{10-v_р} = \frac{75}{v_р}$

Искомая скорость: $v_р$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).