Номер 665, страница 155, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 665, страница 155.

Условие 2023.

665 Сравни с нулём:

а) $a^2$;

б) $-a^2$;

в) $a^2 + 3$;

г) $-a^2 - 3$;

д) $(a + 2)^2$;

е) $(a - 2)^2$;

ж) $-4(a^2 + 2)$;

з) $(a - 2)^2 + 3(b + 4)^2$.

Решение 2 (2023).

а) Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным числом, то есть он всегда больше или равен нулю. Равенство нулю достигается при $a=0$. Таким образом, $a^2 \ge 0$.
Ответ: больше или равно нулю.

б) Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то при умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-a^2 \le 0$. Равенство нулю достигается при $a=0$. Таким образом, $-a^2 \le 0$.
Ответ: меньше или равно нулю.

в) Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Если к обеим частям этого неравенства прибавить положительное число 3, то знак неравенства не изменится: $a^2 + 3 \ge 0 + 3$, что равносильно $a^2 + 3 \ge 3$. Так как $3 > 0$, то выражение $a^2 + 3$ всегда строго больше нуля.
Ответ: больше нуля.

г) Известно, что $-a^2 \le 0$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть 3, то знак неравенства не изменится: $-a^2 - 3 \le 0 - 3$, что равносильно $-a^2 - 3 \le -3$. Так как $-3 < 0$, то выражение $-a^2 - 3$ всегда строго меньше нуля.
Ответ: меньше нуля.

д) Выражение $(a + 2)^2$ является квадратом действительного числа $(a+2)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда основание степени равно нулю, то есть при $a+2=0$, откуда $a=-2$. Таким образом, $(a+2)^2 \ge 0$.
Ответ: больше или равно нулю.

е) Выражение $(a - 2)^2$ является квадратом действительного числа $(a-2)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда основание степени равно нулю, то есть при $a-2=0$, откуда $a=2$. Таким образом, $(a-2)^2 \ge 0$.
Ответ: больше или равно нулю.

ж) Рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + 2$. Поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 2 \ge 2$. Значит, выражение в скобках всегда является положительным числом. При умножении положительного числа $(a^2+2)$ на отрицательное число $-4$, результат всегда будет отрицательным. Более точно: так как $a^2+2 \ge 2$, то, умножая на $-4$ и меняя знак неравенства, получаем $-4(a^2+2) \le -4 \cdot 2$, то есть $-4(a^2+2) \le -8$. Следовательно, выражение всегда строго меньше нуля.
Ответ: меньше нуля.

з) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $(a - 2)^2$ и $3(b + 4)^2$.
Первое слагаемое, $(a-2)^2$, является квадратом числа и, следовательно, неотрицательно: $(a-2)^2 \ge 0$.
Второе слагаемое, $3(b+4)^2$, является произведением положительного числа 3 и неотрицательного числа $(b+4)^2$, поэтому оно также неотрицательно: $3(b+4)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых является неотрицательным числом: $(a-2)^2 + 3(b+4)^2 \ge 0$.
Равенство нулю возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю, то есть при $a=2$ и $b=-4$.
Ответ: больше или равно нулю.

Условие 2010-2022.

665 Сравни с нулем:

а) $a^2$;
б) $-a^2$;

в) $a^2 + 3$;
г) $-a^2 - 3$;

д) $(a + 2)^2$;
е) $(a - 2)^2$;

ж) $-4(a^2 + 2)$;
з) $(a - 2)^2 + 3(b + 4)^2$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).