Страница 155, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

660 Известно, что $123 \cdot 456 = 56088$. Вычислили устно:

а) $1,23 \cdot 45,6$;

б) $12,3 \cdot 0,456$;

в) $0,123 \cdot 4560$;

г) $0,0123 \cdot 4,56$.

В основе всех вычислений лежит известное равенство: $123 \cdot 456 = 56088$. Мы будем анализировать, как изменяются множители в каждом пункте по сравнению с исходными числами, и соответствующим образом изменять произведение.

а) $1,23 \cdot 45,6$
Сравним множители с исходными:
$1,23$ получилось из $123$ путем деления на $100$ (сдвиг запятой на 2 знака влево).
$45,6$ получилось из $456$ путем деления на $10$ (сдвиг запятой на 1 знак влево).
Следовательно, итоговое произведение нужно разделить на $100$ и на $10$, то есть разделить на $100 \cdot 10 = 1000$.
$56088 : 1000 = 56,088$.
Также можно посчитать общее количество знаков после запятой в множителях: у $1,23$ их два, у $45,6$ — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака. Значит, в результате $56088$ нужно отделить запятой 3 знака справа.
Ответ: $56,088$.

б) $12,3 \cdot 0,456$
Сравним множители с исходными:
$12,3$ получилось из $123$ путем деления на $10$ (сдвиг запятой на 1 знак влево).
$0,456$ получилось из $456$ путем деления на $1000$ (сдвиг запятой на 3 знака влево).
Итоговое произведение нужно разделить на $10$ и на $1000$, то есть разделить на $10 \cdot 1000 = 10000$.
$56088 : 10000 = 5,6088$.
Общее количество знаков после запятой: у $12,3$ — один, у $0,456$ — три. Всего $1 + 3 = 4$ знака. В результате $56088$ нужно отделить запятой 4 знака справа.
Ответ: $5,6088$.

в) $0,123 \cdot 4560$
Сравним множители с исходными:
$0,123$ получилось из $123$ путем деления на $1000$ (сдвиг запятой на 3 знака влево).
$4560$ получилось из $456$ путем умножения на $10$.
Итоговое произведение нужно разделить на $1000$ и умножить на $10$, что равносильно делению на $1000 : 10 = 100$.
$56088 : 100 = 560,88$.
Ответ: $560,88$.

г) $0,0123 \cdot 4,56$
Сравним множители с исходными:
$0,0123$ получилось из $123$ путем деления на $10000$ (сдвиг запятой на 4 знака влево).
$4,56$ получилось из $456$ путем деления на $100$ (сдвиг запятой на 2 знака влево).
Итоговое произведение нужно разделить на $10000$ и на $100$, то есть разделить на $10000 \cdot 100 = 1000000$.
$56088 : 1000000 = 0,056088$.
Общее количество знаков после запятой: у $0,0123$ — четыре, у $4,56$ — два. Всего $4 + 2 = 6$ знаков. В результате $56088$ нужно отделить запятой 6 знаков справа. Так как цифр всего пять, слева дописываем недостающий ноль.
Ответ: $0,056088$.

660 Известно, что $123 \cdot 456 = 56088$. Вычисли устно:

а) $1,23 \cdot 45,6$;

б) $12,3 \cdot 0,456$;

в) $0,123 \cdot 4560$;

г) $0,0123 \cdot 4,56$.

661 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

а) $ \exists a \in Q: 2a < a; $

б) $ \forall b \in Q: b^2 \ge b; $

в) $ \forall m, n \in Q: m + n \ge m - n; $

г) $ \exists x, y \in Q: xy < x : y. $

а) Высказывание $∃ a ∈ Q: 2a < a$ читается как "существует такое рациональное число $a$, что удвоенное значение $a$ меньше самого $a$".

Чтобы определить истинность, решим неравенство $2a < a$.

$2a - a < 0$

$a < 0$

Это неравенство верно для любого отрицательного рационального числа. Например, если взять $a = -5$, то $2 \cdot (-5) = -10$, и неравенство $-10 < -5$ является верным. Так как хотя бы одно такое число существует, данное высказывание истинно.

Ответ: истинно.

б) Высказывание $∀ b ∈ Q: b^2 ≥ b$ читается как "для любого рационального числа $b$ его квадрат больше или равен самому числу $b$".

Проверим истинность этого утверждения. Решим неравенство $b^2 ≥ b$:

$b^2 - b ≥ 0$

$b(b-1) ≥ 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство справедливо для $b \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Однако утверждение сделано для всех рациональных чисел, включая те, что лежат в интервале $(0, 1)$.

Выберем контрпример из этого интервала, например, $b = 1/2$.

Подставим в неравенство: $(1/2)^2 ≥ 1/2$, что равносильно $1/4 ≥ 1/2$. Это ложное утверждение.

Поскольку мы нашли хотя бы одно рациональное число, для которого высказывание не выполняется, оно является ложным.

Построим отрицание ложного высказывания. Отрицанием для $∀b P(b)$ является $∃b ¬P(b)$. Отрицанием неравенства $b^2 ≥ b$ является $b^2 < b$.

Отрицание: $∃ b ∈ Q: b^2 < b$.

Ответ: ложно; отрицание: $∃ b ∈ Q: b^2 < b$.

в) Высказывание $∀ m, n ∈ Q: m + n ≥ m - n$ читается как "для любых рациональных чисел $m$ и $n$ их сумма больше или равна их разности".

Упростим неравенство $m + n ≥ m - n$:

$n ≥ -n$

$2n ≥ 0$

$n ≥ 0$

Исходное неравенство эквивалентно условию $n ≥ 0$. Однако в высказывании утверждается, что оно верно для любого рационального числа $n$, включая отрицательные.

Приведем контрпример. Пусть $m = 5$ и $n = -3$.

Подставим в исходное неравенство: $5 + (-3) ≥ 5 - (-3)$, что равносильно $2 ≥ 8$. Это ложное утверждение.

Следовательно, исходное высказывание ложно.

Построим отрицание. Отрицанием для $∀m, n P(m, n)$ является $∃m, n ¬P(m, n)$. Отрицанием неравенства $m+n ≥ m-n$ является $m+n < m-n$.

Отрицание: $∃ m, n ∈ Q: m + n < m - n$.

Ответ: ложно; отрицание: $∃ m, n ∈ Q: m + n < m - n$.

г) Высказывание $∃ x, y ∈ Q: xy < x : y$ читается как "существуют такие рациональные числа $x$ и $y$ (причем $y \ne 0$), что их произведение меньше их частного".

Чтобы проверить истинность, нам достаточно найти хотя бы одну пару чисел $(x, y)$, для которых неравенство $xy < x/y$ выполняется.

Попробуем найти такое решение. Пусть $x=1$ и $y=1/2$. Оба числа рациональные.

Произведение: $xy = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Частное: $x : y = 1 : \frac{1}{2} = 2$.

Проверяем неравенство: $1/2 < 2$. Это верное неравенство.

Так как мы нашли пару чисел, для которой условие выполняется, высказывание истинно.

Ответ: истинно.

661 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

а) $\exists a \in Q: 2a < a;$

б) $\forall b \in Q: b^2 \ge b;$

в) $\forall m, n \in Q: m + n \ge m - n;$

г) $\exists x, y \in Q: xy < x: y.$

662 Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны:

а) модули противоположных чисел равны; $ \left| x \right| = \left| -x \right| $

б) число, противоположное произведению двух чисел, равно произведению чисел, противоположных множителям; $ -(ab) = (-a)(-b) $

в) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым. $ -(a + b) = (-a) + (-b) $

а) модули противоположных чисел равны

Запишем это высказывание на математическом языке. Пусть $a$ — произвольное число, а $-a$ — противоположное ему число. Тогда данное утверждение можно записать в виде формулы: $|a| = |-a|$.

Проверим истинность этого высказывания. Модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (нуля). Так как противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, их модули всегда равны. Например, для числа $5$ и противоположного ему $-5$: $|5| = 5$ и $|-5| = 5$. Таким образом, высказывание истинно.

Ответ: высказывание истинно, $|a| = |-a|$.

б) число, противоположное произведению двух чисел, равно произведению чисел, противоположных множителям

Переведем высказывание на математический язык. Пусть даны два числа (множителя) $a$ и $b$. Число, противоположное их произведению, это $-(ab)$. Числа, противоположные множителям, это $-a$ и $-b$, а их произведение — это $(-a)(-b)$. Утверждение гласит: $-(ab) = (-a)(-b)$.

Проверим истинность. Упростим правую часть равенства: произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $(-a)(-b) = ab$. В итоге мы получаем равенство $-(ab) = ab$. Это равенство верно только в том случае, если произведение $ab$ равно нулю. В общем же случае оно неверно. Например, если $a = 2$ и $b = 3$:
Левая часть: $-(2 \cdot 3) = -6$.
Правая часть: $(-2)(-3) = 6$.
Так как $-6 \neq 6$, высказывание является ложным.

Ответ: высказывание ложно. В общем случае $-(ab) \neq (-a)(-b)$.

в) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым

Запишем на математическом языке. Пусть даны два числа (слагаемые) $a$ и $b$. Число, противоположное их сумме, это $-(a+b)$. Числа, противоположные слагаемым, это $-a$ и $-b$, а их сумма — $(-a)+(-b)$. Утверждение гласит: $-(a+b) = (-a)+(-b)$.

Проверим истинность. Это равенство является одним из основных свойств действительных чисел (правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус). Раскроем скобки в левой части: $-(a+b) = -a - b$. Правая часть $(-a)+(-b)$ также равна $-a-b$. Поскольку обе части равенства тождественно равны для любых $a$ и $b$, высказывание истинно. Например, если $a=8$ и $b=2$:
Левая часть: $-(8+2) = -10$.
Правая часть: $(-8)+(-2) = -10$.
Так как $-10 = -10$, высказывание истинно.

Ответ: высказывание истинно, $-(a+b) = (-a)+(-b)$.

662 Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны:

а) модули противоположных чисел равны $ |a| = |-a| $;

б) число, противоположное произведению двух чисел, равно произведению чисел, противоположных множителям $ -(ab) = (-a)(-b) $;

в) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым $ -(a+b) = (-a) + (-b) $.

663 Сократи, если возможно, дроби со знаменателями, не равными нулю:

а) $\frac{a+b}{b+a}$;

б) $\frac{-x-y}{x+y}$;

в) $\frac{c-d}{d-c}$;

г) $\frac{-m+n}{n-m}$;

д) $\frac{k-l}{k+l}$.

а)

В числителе дроби стоит выражение $a+b$, а в знаменателе $b+a$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения, $a+b = b+a$.
Поскольку числитель и знаменатель равны, а знаменатель по условию не равен нулю, то вся дробь равна единице.
$\frac{a+b}{b+a} = \frac{a+b}{a+b} = 1$
Ответ: $1$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{-x-y}{x+y}$.
В числителе вынесем общий множитель $-1$ за скобки: $-x-y = -(x+y)$.
Тогда дробь примет вид: $\frac{-(x+y)}{x+y}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$, так как по условию $x+y \neq 0$.
$\frac{-(x+y)}{x+y} = -1$
Ответ: $-1$.

в)

Рассмотрим дробь $\frac{c-d}{d-c}$.
Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки множитель $-1$: $d-c = -(c-d)$.
Дробь примет вид: $\frac{c-d}{-(c-d)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(c-d)$, так как по условию $d-c \neq 0$, а значит и $c-d \neq 0$.
$\frac{c-d}{-(c-d)} = \frac{1}{-1} = -1$
Ответ: $-1$.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{-m+n}{n-m}$.
Используя переместительное свойство сложения в числителе, поменяем слагаемые местами: $-m+n = n-m$.
Дробь примет вид: $\frac{n-m}{n-m}$.
Поскольку числитель и знаменатель равны, а знаменатель по условию не равен нулю, то дробь равна единице.
$\frac{-m+n}{n-m} = \frac{n-m}{n-m} = 1$
Ответ: $1$.

д)

Рассмотрим дробь $\frac{k-l}{k+l}$.
В общем случае у числителя $k-l$ и знаменателя $k+l$ нет общих множителей (кроме 1), поэтому сократить данную алгебраическую дробь невозможно.
Ответ: Дробь сократить нельзя.

663 Сократи, если возможно, дроби со знаменателями, не равными нулю:

а) $\frac{a+b}{b+a}$;

б) $\frac{-x-y}{x+y}$;

в) $\frac{c-d}{d-c}$;

г) $\frac{-m+n}{n-m}$;

д) $\frac{k-l}{k+l}$.

664 Найди значение выражения:

а) $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - 7 \cdot 8 \cdot 9}{7 \cdot 8 \cdot 9 - 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}$

б) $\frac{51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 54 - 50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot 53}{52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot 55 - 51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 54}$

а) Заметим, что числитель и знаменатель дроби являются противоположными выражениями. Пусть $A = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$ и $B = 7 \cdot 8 \cdot 9$. Тогда выражение можно записать в виде $\frac{A - B}{B - A}$. Вынесем в знаменателе знак минус за скобки: $B - A = -(A - B)$. Получим: $\frac{A - B}{-(A - B)} = -1$, при условии, что $A - B \neq 0$.
Проверим это условие, вычислив значения произведений:
$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 6 \cdot 4 \cdot 30 = 24 \cdot 30 = 720$.
$7 \cdot 8 \cdot 9 = 56 \cdot 9 = 504$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - 7 \cdot 8 \cdot 9}{7 \cdot 8 \cdot 9 - 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{720 - 504}{504 - 720} = \frac{216}{-216} = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Для решения этой задачи вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе дроби.
В числителе $51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 54 - 50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot 53$ общим множителем является произведение $51 \cdot 52 \cdot 53$. Вынесем его за скобки:
$51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot (54 - 50) = 51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 4$.
В знаменателе $52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot 55 - 51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 54$ общим множителем является произведение $52 \cdot 53 \cdot 54$. Вынесем его за скобки:
$52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot (55 - 51) = 52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot 4$.
Теперь запишем дробь с преобразованными числителем и знаменателем:
$\frac{51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 4}{52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot 4}$.
Сократим общие множители $52, 53$ и $4$:
$\frac{51 \cdot \cancel{52} \cdot \cancel{53} \cdot \cancel{4}}{\cancel{52} \cdot \cancel{53} \cdot 54 \cdot \cancel{4}} = \frac{51}{54}$.
Полученную дробь можно сократить, так как числитель и знаменатель делятся на 3:
$\frac{51}{54} = \frac{3 \cdot 17}{3 \cdot 18} = \frac{17}{18}$.
Ответ: $\frac{17}{18}$.

664 Найди значения выражений:

a) $ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 - 7 \cdot 8 \cdot 9}{7 \cdot 8 \cdot 9 - 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} $

б) $ \frac{51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 54 - 50 \cdot 51 \cdot 52 \cdot 53}{52 \cdot 53 \cdot 54 \cdot 55 - 51 \cdot 52 \cdot 53 \cdot 54} $

665 Сравни с нулём:

а) $a^2$;

б) $-a^2$;

в) $a^2 + 3$;

г) $-a^2 - 3$;

д) $(a + 2)^2$;

е) $(a - 2)^2$;

ж) $-4(a^2 + 2)$;

з) $(a - 2)^2 + 3(b + 4)^2$.

а) Квадрат любого действительного числа $a$ является неотрицательным числом, то есть он всегда больше или равен нулю. Равенство нулю достигается при $a=0$. Таким образом, $a^2 \ge 0$.
Ответ: больше или равно нулю.

б) Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, то при умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-a^2 \le 0$. Равенство нулю достигается при $a=0$. Таким образом, $-a^2 \le 0$.
Ответ: меньше или равно нулю.

в) Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Если к обеим частям этого неравенства прибавить положительное число 3, то знак неравенства не изменится: $a^2 + 3 \ge 0 + 3$, что равносильно $a^2 + 3 \ge 3$. Так как $3 > 0$, то выражение $a^2 + 3$ всегда строго больше нуля.
Ответ: больше нуля.

г) Известно, что $-a^2 \le 0$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть 3, то знак неравенства не изменится: $-a^2 - 3 \le 0 - 3$, что равносильно $-a^2 - 3 \le -3$. Так как $-3 < 0$, то выражение $-a^2 - 3$ всегда строго меньше нуля.
Ответ: меньше нуля.

д) Выражение $(a + 2)^2$ является квадратом действительного числа $(a+2)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда основание степени равно нулю, то есть при $a+2=0$, откуда $a=-2$. Таким образом, $(a+2)^2 \ge 0$.
Ответ: больше или равно нулю.

е) Выражение $(a - 2)^2$ является квадратом действительного числа $(a-2)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда основание степени равно нулю, то есть при $a-2=0$, откуда $a=2$. Таким образом, $(a-2)^2 \ge 0$.
Ответ: больше или равно нулю.

ж) Рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + 2$. Поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 2 \ge 2$. Значит, выражение в скобках всегда является положительным числом. При умножении положительного числа $(a^2+2)$ на отрицательное число $-4$, результат всегда будет отрицательным. Более точно: так как $a^2+2 \ge 2$, то, умножая на $-4$ и меняя знак неравенства, получаем $-4(a^2+2) \le -4 \cdot 2$, то есть $-4(a^2+2) \le -8$. Следовательно, выражение всегда строго меньше нуля.
Ответ: меньше нуля.

з) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $(a - 2)^2$ и $3(b + 4)^2$.
Первое слагаемое, $(a-2)^2$, является квадратом числа и, следовательно, неотрицательно: $(a-2)^2 \ge 0$.
Второе слагаемое, $3(b+4)^2$, является произведением положительного числа 3 и неотрицательного числа $(b+4)^2$, поэтому оно также неотрицательно: $3(b+4)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых является неотрицательным числом: $(a-2)^2 + 3(b+4)^2 \ge 0$.
Равенство нулю возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю, то есть при $a=2$ и $b=-4$.
Ответ: больше или равно нулю.

665 Сравни с нулем:

а) $a^2$;
б) $-a^2$;

в) $a^2 + 3$;
г) $-a^2 - 3$;

д) $(a + 2)^2$;
е) $(a - 2)^2$;

ж) $-4(a^2 + 2)$;
з) $(a - 2)^2 + 3(b + 4)^2$.

666 Реши уравнение:

а) $2(2-x) + 3(2x+4) = 7;$

б) $\frac{6x-4}{5} - \frac{2-x}{4} = \frac{3x+1}{2};$

в) $10(3y-2) - 5(4y-11) = 25 + 3(5y-2);$

г) $\frac{15}{x} + \frac{7}{1,2x} = 25.$

а) $2(2 - x) + 3(2x + 4) = 7$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$4 - 2x + 6x + 12 = 7$
Приведем подобные слагаемые:
$(6x - 2x) + (4 + 12) = 7$
$4x + 16 = 7$
Перенесем 16 в правую часть, изменив знак:
$4x = 7 - 16$
$4x = -9$
Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{9}{4}$
$x = -2,25$
Ответ: $-2,25$

б) $\frac{6x - 4}{5} - \frac{2 - x}{4} = \frac{3x + 1}{2}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5, 4 и 2. НОК(5, 4, 2) = 20.
$20 \cdot \left(\frac{6x - 4}{5}\right) - 20 \cdot \left(\frac{2 - x}{4}\right) = 20 \cdot \left(\frac{3x + 1}{2}\right)$
$4(6x - 4) - 5(2 - x) = 10(3x + 1)$
Раскроем скобки:
$24x - 16 - 10 + 5x = 30x + 10$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$29x - 26 = 30x + 10$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$29x - 30x = 10 + 26$
$-x = 36$
$x = -36$
Ответ: $-36$

в) $10(3y - 2) - 5(4y - 11) = 25 + 3(5y - 2)$
Раскроем все скобки:
$30y - 20 - 20y + 55 = 25 + 15y - 6$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$(30y - 20y) + (55 - 20) = (25 - 6) + 15y$
$10y + 35 = 19 + 15y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону, а числа — в другую:
$35 - 19 = 15y - 10y$
$16 = 5y$
Найдем $y$:
$y = \frac{16}{5}$
$y = 3,2$
Ответ: $3,2$

г) $\frac{15}{x} + \frac{7}{1,2x} = 25$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $1,2x$:
$1,2x \cdot \left(\frac{15}{x}\right) + 1,2x \cdot \left(\frac{7}{1,2x}\right) = 25 \cdot 1,2x$
$1,2 \cdot 15 + 7 = 30x$
$18 + 7 = 30x$
$25 = 30x$
Найдем $x$:
$x = \frac{25}{30}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{5}{6}$
Полученное значение не противоречит ОДЗ.
Ответ: $\frac{5}{6}$

666 Реши уравнения:

а) $2(2-x) + 3(2x+4) = 7;$

В) $10(3y-2) - 5(4y-11) = 25 + 3(5y-2);$

б) $\frac{6x-4}{5} - \frac{2-x}{4} = \frac{3x+1}{2};$

г) $\frac{15}{x} + \frac{7}{1,2x} = 25.$

667 Катер проплывает расстояние между двумя посёлками, стоящими на берегу реки, за $3 \text{ ч}$ против течения реки и за $2 \text{ ч } 20 \text{ мин}$ по течению реки. Скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$. Чему равна собственная скорость катера?

Решение

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_с$ — собственная скорость катера (км/ч), которую необходимо найти.
• $v_т$ — скорость течения реки, по условию $v_т = 3$ км/ч.
• $S$ — расстояние между посёлками (км).
• $t_{по}$ — время движения по течению, по условию $t_{по} = 2$ ч 20 мин.
• $t_{против}$ — время движения против течения, по условию $t_{против} = 3$ ч.

1. Сначала переведем время движения по течению в часы. В одном часе 60 минут, поэтому 20 минут составляют $20/60 = 1/3$ часа.
$t_{по} = 2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ часа.

2. Скорость катера при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_с + v_т = v_с + 3$ (км/ч).

3. Скорость катера при движении против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{против} = v_с - v_т = v_с - 3$ (км/ч).

4. Расстояние между посёлками можно выразить двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$:

• При движении по течению: $S = v_{по} \cdot t_{по} = (v_с + 3) \cdot \frac{7}{3}$.
• При движении против течения: $S = v_{против} \cdot t_{против} = (v_с - 3) \cdot 3$.

5. Поскольку расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения и составить уравнение:
$(v_с - 3) \cdot 3 = (v_с + 3) \cdot \frac{7}{3}$

6. Решим полученное уравнение относительно $v_с$.
Сначала раскроем скобки в левой части:
$3v_с - 9 = (v_с + 3) \cdot \frac{7}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби в правой части:
$3 \cdot (3v_с - 9) = 7 \cdot (v_с + 3)$
$9v_с - 27 = 7v_с + 21$
Перенесем все члены с $v_с$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:
$9v_с - 7v_с = 21 + 27$
$2v_с = 48$
$v_с = \frac{48}{2}$
$v_с = 24$

Таким образом, собственная скорость катера составляет 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч.

667 Катер проплывает расстояние между двумя поселками, стоящими на берегу реки, за 3 ч против течения реки и за 2 ч 20 мин по течению реки. Скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$. Чему равна собственная скорость катера?

668 Рыболов отправился на лодке от пристани по течению реки. Назад ему надо вернуться через $6 \text{ ч}$. Собственная скорость лодки $8 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. На какое наибольшее расстояние может отъехать рыболов, если во время своей поездки он планирует пробыть на берегу $4 \text{ ч}$?

Для решения задачи сначала определим общее время, которое рыболов будет находиться в движении на лодке. Из всего времени поездки (6 часов) нужно вычесть время, которое он проведет на берегу (4 часа).

$t_{движения} = t_{общее} - t_{стоянки} = 6 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$

Теперь найдем скорость лодки по течению реки (когда рыболов удаляется от пристани) и против течения (когда возвращается).

Собственная скорость лодки: $v_{с} = 8$ км/ч.
Скорость течения реки: $v_{т} = 2$ км/ч.

Скорость по течению:
$v_{по} = v_{с} + v_{т} = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Скорость против течения:
$v_{против} = v_{с} - v_{т} = 8 - 2 = 6$ км/ч.

Пусть $S$ — это искомое наибольшее расстояние в километрах. Время, затраченное на путь от пристани по течению, равно $\frac{S}{10}$ часов. Время, затраченное на обратный путь против течения, равно $\frac{S}{6}$ часов. Сумма этих времен равна общему времени движения, то есть 2 часам. Составим уравнение:

$\frac{S}{10} + \frac{S}{6} = 2$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 6 — это 30.

$\frac{3 \cdot S}{30} + \frac{5 \cdot S}{30} = 2$
$\frac{3S + 5S}{30} = 2$
$\frac{8S}{30} = 2$

Теперь найдем значение $S$:

$8S = 2 \cdot 30$
$8S = 60$
$S = \frac{60}{8} = 7,5$ км.

Ответ: рыболов может отъехать на наибольшее расстояние 7,5 км.

668 Рыболов отправился на лодке от пристани по течению реки. Назад ему надо вернуться через $6 \text{ ч}$. Собственная скорость лодки $8 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. На какое наибольшее расстояние может отъехать рыболов, если во время своей поездки он планирует пробыть на берегу $4 \text{ часа}$?