Страница 148, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

629 Выполни построения и проверь их правильность с помощью кальки.

а) Перенеси рисунок в тетрадь и построй фигуры, симметричные данным относительно прямой $l$.

б) Покажи на чертеже оси симметрии и центр симметрии прямоугольника.

в) Перерисуй орнамент в тетрадь и продолжи его. Какие виды симметрии можно наблюдать в этом орнаменте?

$\vec{d}$

г) Придумай и нарисуй свой орнамент.

а)

Для построения фигуры, симметричной данной относительно прямой l (осевая симметрия), необходимо для каждой ключевой точки исходной фигуры найти симметричную ей точку. Для этого из исходной точки опускается перпендикуляр на ось симметрии l и продолжается на такое же расстояние по другую сторону от оси. Затем полученные симметричные точки соединяются в том же порядке, что и в исходной фигуре.

На клетчатой бумаге это сделать просто: нужно посчитать количество клеток от каждой вершины фигуры до прямой l и отложить такое же количество клеток с другой стороны от прямой по той же вертикали. Соединив новые вершины, получим симметричную фигуру.

Ответ: Результат построения симметричных фигур показан на рисунке (синий цвет - исходные фигуры, красный - симметричные).

б)

У прямоугольника, который не является квадратом, есть две оси симметрии. Они проходят через середины его противоположных сторон. Центр симметрии прямоугольника — это точка пересечения его диагоналей. Эта точка также является точкой пересечения осей симметрии.

Ответ: На рисунке красными пунктирными линиями показаны оси симметрии, а черной точкой в центре — центр симметрии прямоугольника.

в)

Чтобы продолжить орнамент, нужно повторить его основной элемент, сдвигая его на заданный вектор $\vec{d}$. В данном случае, вектор $\vec{d}$ указывает на сдвиг (параллельный перенос) вправо на 6 клеток. Продолжение орнамента будет выглядеть следующим образом:

В этом орнаменте можно наблюдать параллельный перенос, также известный как трансляционная симметрия. Это вид симметрии, при котором весь узор можно совместить с самим собой путем сдвига на определенное расстояние в определенном направлении (в данном случае, на вектор $\vec{d}$).

Ответ: В данном орнаменте наблюдается параллельный перенос (трансляционная симметрия).

г)

Можно придумать множество орнаментов, используя различные виды симметрии. Вот пример простого орнамента, в котором используется параллельный перенос и осевая симметрия.

Этот орнамент (бордюр из "уголков") обладает трансляционной симметрией (сдвиг вправо на 2 клетки) и осевой симметрией относительно горизонтальной красной линии (этот тип симметрии называется скользящей симметрией).

Ответ: Пример придуманного орнамента показан на рисунке выше.

629 Выполни построения и проверь их правильность с помощью кальки:

а) Перенеси рисунок в тетрадь и построй фигуры, симметричные данным относительно прямой $l$:

б) Покажи на чертеже оси симметрии и центр симметрии прямоугольника.

в) Перерисуй орнамент в тетрадь и продолжи его. Какие виды симметрии можно наблюдать в этом орнаменте?

г) Придумай и нарисуй свой орнамент.

630 Реши уравнение:

а) $|x| = 3,6$;

б) $|2x + 9| = 0$;

в) $|3x - 1| = 5$;

г) $|7 - x| = -2.$

а) Решим уравнение $|x| = 3.6$.

По определению модуля, если $|a| = b$ и $b > 0$, то $a = b$ или $a = -b$.

Это означает, что переменная $x$ может быть равна как $3.6$, так и $-3.6$.

$x_1 = 3.6$

$x_2 = -3.6$

Ответ: $-3.6; 3.6$.

б) Решим уравнение $|2x + 9| = 0$.

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подмодульное выражение равно нулю.

Следовательно, мы можем убрать знак модуля и приравнять выражение к нулю:

$2x + 9 = 0$

Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = -9$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = -9/2$

$x = -4.5$

Ответ: $-4.5$.

в) Решим уравнение $|3x - 1| = 5$.

Это уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений, так как подмодульное выражение может быть равно как $5$, так и $-5$.

Рассмотрим оба случая:

1) $3x - 1 = 5$

Перенесем $-1$ в правую часть:

$3x = 5 + 1$

$3x = 6$

Разделим на 3:

$x_1 = 6 / 3$

$x_1 = 2$

2) $3x - 1 = -5$

Перенесем $-1$ в правую часть:

$3x = -5 + 1$

$3x = -4$

Разделим на 3:

$x_2 = -4/3$

Выделим целую часть: $x_2 = -1\frac{1}{3}$

Ответ: $-1\frac{1}{3}; 2$.

г) Решим уравнение $|7 - x| = -2$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

В данном уравнении модуль выражения $7 - x$ приравнивается к отрицательному числу $-2$.

Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: корней нет.

630 Реши уравнения:

а) $|x| = 3,6$;

б) $|2x + 9| = 0$;

в) $|3x - 1| = 5$;

г) $|7 - x| = -2.$

631 У Трифона в 5 раз больше абрикосов, чем у его сестры. Если он подарит сестре 16 абрикосов, то у них абрикосов станет поровну. Сколько абрикосов у каждого?

Для решения этой задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — количество абрикосов у сестры.Поскольку у Трифона абрикосов в 5 раз больше, то у него $5x$ абрикосов.

Согласно условию, если Трифон подарит сестре 16 абрикосов, то у них станет абрикосов поровну.После этого у Трифона останется $5x - 16$ абрикосов.У сестры станет $x + 16$ абрикосов.

Так как количество абрикосов у них станет равным, мы можем составить следующее уравнение:$5x - 16 = x + 16$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:$5x - x = 16 + 16$$4x = 32$$x = \frac{32}{4}$$x = 8$

Мы нашли, что у сестры изначально было 8 абрикосов.Теперь можем найти, сколько абрикосов было у Трифона, умножив количество абрикосов сестры на 5:$5 \times 8 = 40$

Проверим наше решение:Изначально: у Трифона 40, у сестры 8 (40 в 5 раз больше 8).После того, как Трифон подарил 16 абрикосов:У Трифона стало: $40 - 16 = 24$ абрикоса.У сестры стало: $8 + 16 = 24$ абрикоса.Количество стало равным, что соответствует условию задачи.

Ответ: у Трифона было 40 абрикосов, а у сестры — 8 абрикосов.

631 У лисы Алисы в $5$ раз больше монет, чем у кота Базилио. Если она подарит ему $16$ монет, то монет у них станет поровну. Сколько монет у каждого?

632 Вычисли:

а) $ \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^3; $

б) $ -\frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^3; $

в) $ -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3; $

г) $ 0,1 - 0,1^2 - 0,1^3; $

д) $ -0,1 + (-0,1)^2 + (-0,1)^3; $

е) $ -0,1 - (-0,1)^2 - (-0,1)^3. $

а) $\frac{1}{3} - (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^3$

Сначала возведем дробь в степень:

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{27}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 27:

$\frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{27} = \frac{9}{27} - \frac{3}{27} - \frac{1}{27}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{9 - 3 - 1}{27} = \frac{5}{27}$

Ответ: $\frac{5}{27}$.

б) $-\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3})^3$

Возведем отрицательную дробь в степень. При возведении в четную степень (2) знак меняется на плюс, а при возведении в нечетную (3) — сохраняется:

$(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$

Подставим значения в выражение:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27}$

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$-\frac{9}{27} + \frac{3}{27} - \frac{1}{27}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{-9 + 3 - 1}{27} = \frac{-7}{27}$

Ответ: $-\frac{7}{27}$.

в) $-\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3})^3$

Значения степеней такие же, как в предыдущем пункте:

$(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$

Подставим значения в выражение, обращая внимание на знаки:

$-\frac{1}{3} - (\frac{1}{9}) - (-\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$-\frac{9}{27} - \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{-9 - 3 + 1}{27} = \frac{-11}{27}$

Ответ: $-\frac{11}{27}$.

г) $0,1 - 0,1^2 - 0,1^3$

Вычислим степени десятичной дроби:

$0,1^2 = 0,01$

$0,1^3 = 0,001$

Подставим значения в выражение:

$0,1 - 0,01 - 0,001$

Выполним вычитание:

$0,100 - 0,010 - 0,001 = 0,090 - 0,001 = 0,089$

Ответ: $0,089$.

д) $-0,1 + (-0,1)^2 + (-0,1)^3$

Вычислим степени отрицательной десятичной дроби:

$(-0,1)^2 = 0,01$

$(-0,1)^3 = -0,001$

Подставим значения в выражение:

$-0,1 + 0,01 + (-0,001) = -0,1 + 0,01 - 0,001$

Выполним действия:

$-0,100 + 0,010 - 0,001 = -0,090 - 0,001 = -0,091$

Ответ: $-0,091$.

е) $-0,1 - (-0,1)^2 - (-0,1)^3$

Значения степеней нам уже известны:

$(-0,1)^2 = 0,01$

$(-0,1)^3 = -0,001$

Подставим значения в выражение, внимательно следя за знаками:

$-0,1 - (0,01) - (-0,001) = -0,1 - 0,01 + 0,001$

Выполним действия:

$-0,100 - 0,010 + 0,001 = -0,110 + 0,001 = -0,109$

Ответ: $-0,109$.

632 Вычисли:

633 Построй математическую модель задачи.

Ярослав должен был проехать $30 \text{ км}$ на приём к ветеринару. Однако из-за кошки Мурки, которая никак не хотела ехать, он задержался с выездом на $20 \text{ мин}$. Чтобы приехать вовремя, он ехал со скоростью на $3 \text{ км/ч}$ большей, чем предполагал. С какой скоростью ехал Ярослав?

Математическая модель:

Пусть $v$ - предполагаемая скорость Ярослава (в $\text{км/ч}$).

Пусть $t$ - предполагаемое время в пути (в часах).

Расстояние $S = 30 \text{ км}$.

Согласно условию, если бы Ярослав ехал с предполагаемой скоростью, время в пути составило бы:

$t = \frac{S}{v} = \frac{30}{v}$

Ярослав задержался с выездом на $20 \text{ мин}$, что составляет $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Чтобы приехать вовремя, его фактическое время в пути должно быть на $\frac{1}{3}$ часа меньше предполагаемого: $t_{факт} = t - \frac{1}{3}$.

Фактическая скорость, с которой он ехал, была на $3 \text{ км/ч}$ больше предполагаемой: $v_{факт} = v + 3$.

Уравнение для фактического движения:

$S = v_{факт} \cdot t_{факт}$

$30 = (v+3)\left(t - \frac{1}{3}\right)$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе:

$30 = (v+3)\left(\frac{30}{v} - \frac{1}{3}\right)$

Раскроем скобки:

$30 = v \cdot \frac{30}{v} - v \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{30}{v} - 3 \cdot \frac{1}{3}$

$30 = 30 - \frac{v}{3} + \frac{90}{v} - 1$

$0 = -\frac{v}{3} + \frac{90}{v} - 1$

Умножим все члены уравнения на $3v$ (учитывая, что $v \neq 0$):

$0 = -v^2 + 270 - 3v$

Перегруппируем члены, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

Квадратное уравнение, представляющее математическую модель задачи:

$v^2 + 3v - 270 = 0$

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — это предполагаемая (планируемая) скорость Ярослава.

Поскольку он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, его фактическая скорость составила $(x + 3)$ км/ч.

Расстояние, которое нужно проехать, равно 30 км.

Время, которое Ярослав планировал потратить на дорогу, можно выразить формулой $t_{план} = \frac{30}{x}$ часов.

Фактическое время, которое он провел в пути, равно $t_{факт} = \frac{30}{x+3}$ часов.

Ярослав задержался с выездом на 20 минут. Чтобы приехать вовремя, он должен был сократить время в пути на эти 20 минут. Переведем 20 минут в часы, так как скорость измеряется в км/ч:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Разница между планируемым временем и фактическим временем в пути равна времени задержки. На основе этого составим уравнение, которое и будет являться математической моделью задачи:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{3}$

$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{1}{3}$

Теперь решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{30(x+3) - 30x}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{30x + 90 - 30x}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

$\frac{90}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$1 \cdot (x^2 + 3x) = 90 \cdot 3$

$x^2 + 3x = 270$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 270 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, планируемая скорость Ярослава $x$ составляла 15 км/ч.

Вопрос задачи — найти фактическую скорость, с которой ехал Ярослав. Она равна $x+3$.

$15 + 3 = 18$ км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

633 Построй математическую модель задачи:

«Дядя Федор должен был проехать 30 км, чтобы успеть к поезду. Однако из-за кота Матроскина он задержался с выездом на 20 мин. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем предполагал. С какой скоростью ехал дядя Федор?»

Математическая модель:

Пусть $v$ км/ч – предполагаемая скорость дяди Федора.

Расстояние $S = 30$ км.

Время задержки с выездом $t_{задержки} = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Предполагаемое время в пути $t_{предп} = \frac{30}{v}$ часа.

Фактическая скорость дяди Федора $v_{факт} = (v + 3)$ км/ч.

Фактическое время в пути $t_{факт} = \frac{30}{v+3}$ часа.

Так как дядя Федор прибыл вовремя, то фактическое время в пути должно быть равно предполагаемому времени минус время задержки с выездом:

$t_{факт} = t_{предп} - t_{задержки}$

Подставляя выражения, получаем уравнение:

$\frac{30}{v+3} = \frac{30}{v} - \frac{1}{3}$