Номер 633, страница 148, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Красота и симметрия. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 633, страница 148.

Условие 2023.

633 Построй математическую модель задачи.

Ярослав должен был проехать $30 \text{ км}$ на приём к ветеринару. Однако из-за кошки Мурки, которая никак не хотела ехать, он задержался с выездом на $20 \text{ мин}$. Чтобы приехать вовремя, он ехал со скоростью на $3 \text{ км/ч}$ большей, чем предполагал. С какой скоростью ехал Ярослав?

Математическая модель:

Пусть $v$ - предполагаемая скорость Ярослава (в $\text{км/ч}$).

Пусть $t$ - предполагаемое время в пути (в часах).

Расстояние $S = 30 \text{ км}$.

Согласно условию, если бы Ярослав ехал с предполагаемой скоростью, время в пути составило бы:

$t = \frac{S}{v} = \frac{30}{v}$

Ярослав задержался с выездом на $20 \text{ мин}$, что составляет $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Чтобы приехать вовремя, его фактическое время в пути должно быть на $\frac{1}{3}$ часа меньше предполагаемого: $t_{факт} = t - \frac{1}{3}$.

Фактическая скорость, с которой он ехал, была на $3 \text{ км/ч}$ больше предполагаемой: $v_{факт} = v + 3$.

Уравнение для фактического движения:

$S = v_{факт} \cdot t_{факт}$

$30 = (v+3)\left(t - \frac{1}{3}\right)$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе:

$30 = (v+3)\left(\frac{30}{v} - \frac{1}{3}\right)$

Раскроем скобки:

$30 = v \cdot \frac{30}{v} - v \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{30}{v} - 3 \cdot \frac{1}{3}$

$30 = 30 - \frac{v}{3} + \frac{90}{v} - 1$

$0 = -\frac{v}{3} + \frac{90}{v} - 1$

Умножим все члены уравнения на $3v$ (учитывая, что $v \neq 0$):

$0 = -v^2 + 270 - 3v$

Перегруппируем члены, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

Квадратное уравнение, представляющее математическую модель задачи:

$v^2 + 3v - 270 = 0$

Решение 2 (2023).

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — это предполагаемая (планируемая) скорость Ярослава.

Поскольку он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, его фактическая скорость составила $(x + 3)$ км/ч.

Расстояние, которое нужно проехать, равно 30 км.

Время, которое Ярослав планировал потратить на дорогу, можно выразить формулой $t_{план} = \frac{30}{x}$ часов.

Фактическое время, которое он провел в пути, равно $t_{факт} = \frac{30}{x+3}$ часов.

Ярослав задержался с выездом на 20 минут. Чтобы приехать вовремя, он должен был сократить время в пути на эти 20 минут. Переведем 20 минут в часы, так как скорость измеряется в км/ч:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Разница между планируемым временем и фактическим временем в пути равна времени задержки. На основе этого составим уравнение, которое и будет являться математической моделью задачи:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{3}$

$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{1}{3}$

Теперь решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{30(x+3) - 30x}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{30x + 90 - 30x}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

$\frac{90}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$1 \cdot (x^2 + 3x) = 90 \cdot 3$

$x^2 + 3x = 270$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 270 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, планируемая скорость Ярослава $x$ составляла 15 км/ч.

Вопрос задачи — найти фактическую скорость, с которой ехал Ярослав. Она равна $x+3$.

$15 + 3 = 18$ км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

Условие 2010-2022.

633 Построй математическую модель задачи:

«Дядя Федор должен был проехать 30 км, чтобы успеть к поезду. Однако из-за кота Матроскина он задержался с выездом на 20 мин. Чтобы приехать на станцию вовремя, он ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем предполагал. С какой скоростью ехал дядя Федор?»

Математическая модель:

Пусть $v$ км/ч – предполагаемая скорость дяди Федора.

Расстояние $S = 30$ км.

Время задержки с выездом $t_{задержки} = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Предполагаемое время в пути $t_{предп} = \frac{30}{v}$ часа.

Фактическая скорость дяди Федора $v_{факт} = (v + 3)$ км/ч.

Фактическое время в пути $t_{факт} = \frac{30}{v+3}$ часа.

Так как дядя Федор прибыл вовремя, то фактическое время в пути должно быть равно предполагаемому времени минус время задержки с выездом:

$t_{факт} = t_{предп} - t_{задержки}$

Подставляя выражения, получаем уравнение:

$\frac{30}{v+3} = \frac{30}{v} - \frac{1}{3}$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).