Номер 637, страница 151, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 637, страница 151.

Условие 2023.

637 Для проведения перпендикуляра к прямой и измерения расстояния от точки до прямой часто используют чертёжный угольник, как показано на рис. 119.

Рис. 119

На бумаге без клеток начерти прямую $l$ и отметь точку $A \notin l$. Построй точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $l$:

а) с помощью чертёжного угольника;

б) с помощью циркуля и линейки (без делений).

Решение 2 (2023).

а) с помощью чертёжного угольника

1. Располагаем чертёжный угольник так, чтобы один из его катетов (сторона, образующая прямой угол) лежал на прямой $l$.
2. Двигаем угольник вдоль прямой $l$ до тех пор, пока второй катет не пройдёт через точку $A$.
3. Проводим вдоль этого второго катета отрезок от точки $A$ до пересечения с прямой $l$. Обозначим точку пересечения $H$. Таким образом, построен отрезок $AH$, перпендикулярный прямой $l$.
4. Измеряем длину отрезка $AH$ с помощью шкалы на угольнике или линейки.
5. Продолжаем отрезок $AH$ за прямую $l$ и откладываем от точки $H$ на этой же прямой отрезок $HA_1$ такой же длины, что и отрезок $AH$.
6. Полученная точка $A_1$ является искомой точкой, симметричной точке $A$ относительно прямой $l$.

Ответ: Точка $A_1$ построена.

б) с помощью циркуля и линейки (без делений)

1. Установим иглу циркуля в точку $A$ и начертим дугу окружности произвольного, но достаточно большого радиуса так, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух различных точках. Обозначим эти точки $P$ и $Q$.
2. Теперь, не изменяя раствора циркуля (то есть с тем же радиусом, равным длине отрезков $AP$ и $AQ$), построим две другие дуги с центром в точках $P$ и $Q$. Установим иглу циркуля в точку $P$ и начертим дугу с той стороны от прямой $l$, где не лежит точка $A$.
3. Затем установим иглу циркуля в точку $Q$ и начертим дугу тем же радиусом так, чтобы она пересекла дугу, построенную в предыдущем шаге.
4. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $A_1$. Эта точка является искомой.

Обоснование: По построению, $AP = AQ$ (как радиусы одной окружности с центром в $A$). Также $PA_1 = AP$ и $QA_1 = AQ$, так как для построения точки $A_1$ использовался тот же радиус. Следовательно, все стороны четырёхугольника $APA_1Q$ равны: $AP = AQ = QA_1 = A_1P$. Это означает, что $APA_1Q$ — ромб. Диагонали ромба ($AA_1$ и $PQ$) взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поскольку отрезок $PQ$ лежит на прямой $l$, то прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. Это соответствует определению симметрии точки относительно прямой.

Ответ: Точка $A_1$ построена.

Условие 2010-2022.

637 Для проведения перпендикуляра к прямой часто используют чертежный угольник, как показано на рис. 119.

Рис. 119.

На бумаге без клеток начерти прямую $l$ и отметь точку $A \notin l$. Построй точку $A_1$, симметричную точку $A$ относительно прямой $l$:

а) с помощью чертежного угольника;

б) с помощью циркуля и линейки (без делений).

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).