Страница 151, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

636 Перегни лист бумаги по прямой $l$ и проткни его ножкой циркуля. Разверни лист и обозначь полученные точки буквами $A$ и $A_1$. Найди их характеристическое свойство и сформулируй определение точек, симметричных относительно прямой $l$. Сравни своё определение с определением на с. 149 учебника.

Характеристическое свойство точек A и A₁

Проделав описанный эксперимент, мы получаем две точки прокола, $A$ и $A_1$, и линию сгиба, прямую $l$. Если соединить точки $A$ и $A_1$ отрезком, то можно заметить следующие свойства, которые и являются характеристическими:
1. Отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $l$. То есть, если $O$ — точка пересечения отрезка $AA_1$ и прямой $l$, то $\angle AOl = 90^\circ$.
2. Прямая $l$ делит отрезок $AA_1$ на два равных отрезка. То есть, точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$, и выполняется равенство $AO = A_1O$.
Таким образом, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$.

Ответ: Прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $A$ и $A_1$.

Сформулируем определение точек, симметричных относительно прямой l

Основываясь на выявленном свойстве, можно дать следующее определение:
Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $l$, если прямая $l$ проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна этому отрезку.

Ответ: Две точки называются симметричными относительно данной прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром отрезка, соединяющего эти точки.

Сравнение своего определения с определением на с. 149 учебника

Классическое определение из учебника геометрии гласит:
«Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой l, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему».
Это определение полностью совпадает с тем, которое мы сформулировали на основе эксперимента. Оба определения, по сути, утверждают, что ось симметрии ($l$) является серединным перпендикуляром для отрезка, концами которого служат симметричные точки ($A$ и $A_1$).

Ответ: Сформулированное нами определение полностью соответствует определению, данному в учебнике.

636 Перегни лист бумаги по прямой $l$ и проткни его ножкой циркуля. Разверни лист и обозначь полученные точки буквами $A$ и $A_1$. Найди их характеристическое свойство и сформулируй определение точек, симметричных относительно прямой $l$. Сравни свое определение с определением на стр. 149 учебника.

637 Для проведения перпендикуляра к прямой и измерения расстояния от точки до прямой часто используют чертёжный угольник, как показано на рис. 119.

Рис. 119

На бумаге без клеток начерти прямую $l$ и отметь точку $A \notin l$. Построй точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно прямой $l$:

а) с помощью чертёжного угольника;

б) с помощью циркуля и линейки (без делений).

а) с помощью чертёжного угольника

1. Располагаем чертёжный угольник так, чтобы один из его катетов (сторона, образующая прямой угол) лежал на прямой $l$.
2. Двигаем угольник вдоль прямой $l$ до тех пор, пока второй катет не пройдёт через точку $A$.
3. Проводим вдоль этого второго катета отрезок от точки $A$ до пересечения с прямой $l$. Обозначим точку пересечения $H$. Таким образом, построен отрезок $AH$, перпендикулярный прямой $l$.
4. Измеряем длину отрезка $AH$ с помощью шкалы на угольнике или линейки.
5. Продолжаем отрезок $AH$ за прямую $l$ и откладываем от точки $H$ на этой же прямой отрезок $HA_1$ такой же длины, что и отрезок $AH$.
6. Полученная точка $A_1$ является искомой точкой, симметричной точке $A$ относительно прямой $l$.

Ответ: Точка $A_1$ построена.

б) с помощью циркуля и линейки (без делений)

1. Установим иглу циркуля в точку $A$ и начертим дугу окружности произвольного, но достаточно большого радиуса так, чтобы она пересекла прямую $l$ в двух различных точках. Обозначим эти точки $P$ и $Q$.
2. Теперь, не изменяя раствора циркуля (то есть с тем же радиусом, равным длине отрезков $AP$ и $AQ$), построим две другие дуги с центром в точках $P$ и $Q$. Установим иглу циркуля в точку $P$ и начертим дугу с той стороны от прямой $l$, где не лежит точка $A$.
3. Затем установим иглу циркуля в точку $Q$ и начертим дугу тем же радиусом так, чтобы она пересекла дугу, построенную в предыдущем шаге.
4. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $A_1$. Эта точка является искомой.

Обоснование: По построению, $AP = AQ$ (как радиусы одной окружности с центром в $A$). Также $PA_1 = AP$ и $QA_1 = AQ$, так как для построения точки $A_1$ использовался тот же радиус. Следовательно, все стороны четырёхугольника $APA_1Q$ равны: $AP = AQ = QA_1 = A_1P$. Это означает, что $APA_1Q$ — ромб. Диагонали ромба ($AA_1$ и $PQ$) взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поскольку отрезок $PQ$ лежит на прямой $l$, то прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. Это соответствует определению симметрии точки относительно прямой.

Ответ: Точка $A_1$ построена.

637 Для проведения перпендикуляра к прямой часто используют чертежный угольник, как показано на рис. 119.

Рис. 119.

На бумаге без клеток начерти прямую $l$ и отметь точку $A \notin l$. Построй точку $A_1$, симметричную точку $A$ относительно прямой $l$:

а) с помощью чертежного угольника;

б) с помощью циркуля и линейки (без делений).

638 Перенеси рисунок в тетрадь и построй отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезок $AB$ относительно прямой $l$.

а) б) в)

a) Чтобы построить отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $l$, необходимо построить точки $A_1$ и $B_1$, симметричные точкам $A$ и $B$ соответственно, а затем соединить их. Точка, симметричная данной точке относительно прямой, находится на перпендикуляре к этой прямой на том же расстоянии от нее, но с другой стороны.
1. Прямая $l$ является вертикальной. Перпендикуляры к ней будут горизонтальными линиями.
2. Найдем точку $A_1$, симметричную точке $A$. Точка $A$ находится на расстоянии 2 клеток слева от прямой $l$. Следовательно, симметричная ей точка $A_1$ будет находиться на той же горизонтали на расстоянии 2 клеток справа от прямой $l$.
3. Найдем точку $B_1$, симметричную точке $B$. Точка $B$ находится на расстоянии 3 клеток справа от прямой $l$. Следовательно, симметричная ей точка $B_1$ будет находиться на той же горизонтали на расстоянии 3 клеток слева от прямой $l$.
4. Соединим точки $A_1$ и $B_1$ отрезком. Полученный отрезок $A_1B_1$ является искомым.
Ответ: Искомый отрезок $A_1B_1$ соединяет точку $A_1$, расположенную на 2 клетки правее прямой $l$ на той же горизонтали, что и точка $A$, и точку $B_1$, расположенную на 3 клетки левее прямой $l$ на той же горизонтали, что и точка $B$.

б) Построение выполняется по тому же принципу, что и в пункте а).
1. Прямая $l$ является наклонной и проходит через узлы сетки под углом $45^{\circ}$ к горизонтали. Ее угловой коэффициент $k=1$. Перпендикуляры к такой прямой будут также проходить через узлы сетки под углом $-45^{\circ}$ к горизонтали, то есть их угловой коэффициент $k_{\perp}=-1$.
2. Для нахождения точки $A_1$, симметричной точке $A$, проведем через точку $A$ перпендикуляр к прямой $l$. Расстояние от точки $A$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра составляет 1,5 диагонали клетки. Отложим такое же расстояние (1,5 диагонали) по перпендикуляру в другую сторону от прямой $l$ и получим точку $A_1$.
3. Аналогично для нахождения точки $B_1$, симметричной точке $B$, проведем через точку $B$ перпендикуляр к прямой $l$. Расстояние от точки $B$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра составляет 1 диагональ клетки. Отложим такое же расстояние по перпендикуляру в другую сторону от прямой $l$ и получим точку $B_1$.
4. Соединим точки $A_1$ и $B_1$ отрезком. Отрезок $A_1B_1$ — искомый.
Ответ: Искомый отрезок $A_1B_1$ соединяет точки $A_1$ и $B_1$. Точка $A_1$ получается смещением точки $A$ на 3 клетки вправо и 3 клетки вниз. Точка $B_1$ получается смещением точки $B$ на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.

в) Алгоритм построения остается прежним.
1. Прямая $l$ является наклонной и проходит через узлы сетки под углом $-45^{\circ}$ к горизонтали. Ее угловой коэффициент $k=-1$. Перпендикуляры к такой прямой будут проходить через узлы сетки под углом $45^{\circ}$ к горизонтали, то есть их угловой коэффициент $k_{\perp}=1$.
2. Для нахождения точки $A_1$, симметричной точке $A$, проведем через точку $A$ перпендикуляр к прямой $l$. Расстояние от точки $A$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра составляет 1,5 диагонали клетки. Отложим такое же расстояние по перпендикуляру в другую сторону от прямой $l$ и получим точку $A_1$.
3. Для нахождения точки $B_1$, симметричной точке $B$, проведем через точку $B$ перпендикуляр к прямой $l$. Расстояние от точки $B$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра составляет 2 диагонали клетки. Отложим такое же расстояние по перпендикуляру в другую сторону от прямой $l$ и получим точку $B_1$.
4. Соединим точки $A_1$ и $B_1$ отрезком. Отрезок $A_1B_1$ — искомый.
Ответ: Искомый отрезок $A_1B_1$ соединяет точки $A_1$ и $B_1$. Точка $A_1$ получается смещением точки $A$ на 3 клетки вправо и 3 клетки вверх. Точка $B_1$ получается смещением точки $B$ на 4 клетки влево и 4 клетки вниз.

638. Перенеси рисунок в тетрадь и построй отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезку $AB$ относительно прямой $l$.

а) б) в)