Страница 146, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

$\Pi$ 620 Найди закономерность и запиши $n$-й член последовательности чисел:

а) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots;$

б) $-1, -4, -9, -16, -25, \dots;$

в) $3, 6, 9, 12, 15, \dots;$

г) $5, 8, 11, 14, 17, \dots;$

д) $1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots;$

е) $1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6} \dots$

а) В последовательности $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ каждый следующий член является дробью, где числитель равен 1, а знаменатель равен порядковому номеру члена ($n$).
Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности ($a_n$) выглядит так:
$a_n = \frac{1}{n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$

б) В последовательности $-1, -4, -9, -16, -25, \dots$ все члены отрицательны. Рассмотрим их абсолютные значения: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$.
Эти числа представляют собой квадраты натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$.
Следовательно, абсолютное значение $n$-го члена равно $n^2$. Учитывая знак минус, получаем формулу для $n$-го члена ($b_n$):
$b_n = -n^2$.
Ответ: $b_n = -n^2$

в) В последовательности $3, 6, 9, 12, 15, \dots$ каждый член является результатом умножения числа 3 на его порядковый номер.
Первый член: $3 \cdot 1 = 3$.
Второй член: $3 \cdot 2 = 6$.
Третий член: $3 \cdot 3 = 9$, и так далее.
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=3$ и разностью $d=3$. Формула для $n$-го члена ($c_n$):
$c_n = 3n$.
Ответ: $c_n = 3n$

г) В последовательности $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ разность между любыми двумя соседними членами постоянна:
$8 - 5 = 3$
$11 - 8 = 3$
$14 - 11 = 3$
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d=3$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.
Ответ: $a_n = 3n + 2$

д) В последовательности $1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots$ происходит чередование чисел 1 и 0. Члены на нечетных позициях равны 1, а на четных — 0.
Такую закономерность можно описать формулой, использующей степень числа -1:
$a_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$.
Проверим:
При нечетном $n$ (1, 3, ...), $(-1)^n = -1$, тогда $a_n = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
При четном $n$ (2, 4, ...), $(-1)^n = 1$, тогда $a_n = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Ответ: $a_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$

е) В последовательности $1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6}, \dots$ можно выделить две закономерности в зависимости от четности номера члена.
На нечетных местах ($n=1, 3, 5, \dots$) стоят нечетные натуральные числа: $1, 3, 5, \dots$. Для нечетного $n$ член последовательности равен своему номеру $n$.
На четных местах ($n=2, 4, 6, \dots$) стоят дроби: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \dots$. Для четного $n$ член последовательности равен $\frac{1}{n}$.
Эту закономерность можно записать в виде кусочно-заданной функции:
$ a_n = \begin{cases} n, & \text{если } n \text{ нечетно} \\ \frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ четно} \end{cases} $
Ответ: $ a_n = \begin{cases} n, & \text{если } n \text{ нечетно} \\ \frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ четно} \end{cases} $

Π 620 Найди закономерность и запиши n-й член последовательности чисел:

а) 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, ...;

б) -1, -4, -9, -16, -25, ...;

в) 3, 6, 9, 12, 15, ...;

г) 5, 8, 11, 14, 17, ...;

д) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...;

е) 1, $\frac{1}{2}$, 3, $\frac{1}{4}$, 5, $\frac{1}{6}$, ...

621 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

a) $\forall a \in Q: a < 0 \Rightarrow -a > 0;$

б) $\forall b \in Q: b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1;$

в) $\forall x \in Q: x < 1 \Rightarrow |x| < 1;$

г) $\forall y \in Q: y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1.$

Верны ли обратные утверждения? В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $\Leftrightarrow$?

а) $\forall a \in \mathbb{Q}: a < 0 \Rightarrow -a > 0$

Данное высказывание истинно. Если рациональное число $a$ отрицательно (т.е. $a < 0$), то его противоположное число, $-a$, будет положительным. Это следует из правил работы с неравенствами: умножение обеих частей неравенства $a < 0$ на $-1$ меняет знак неравенства, приводя к $-a > 0$.

Обратное утверждение: $\forall a \in \mathbb{Q}: -a > 0 \Rightarrow a < 0$. Это утверждение также истинно. Если $-a > 0$, то, умножив обе части на $-1$, мы получим $a < 0$.

Поскольку и прямое, и обратное утверждения истинны, они равносильны. Следовательно, можно составить истинное высказывание со знаком эквивалентности: $\forall a \in \mathbb{Q}: a < 0 \Leftrightarrow -a > 0$.

Ответ: Высказывание истинно. Обратное утверждение верно. Можно составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

б) $\forall b \in \mathbb{Q}: b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1$

Данное высказывание ложно. Для опровержения достаточно привести контрпример. Возьмем $b = -2$. Условие $b < 1$ выполняется, так как $-2 < 1$. Однако следствие $\frac{1}{b} > 1$ не выполняется, так как $\frac{1}{-2} = -0.5$, а $-0.5 > 1$ — это ложь. Другой контрпример — $b=0$. Условие $b < 1$ выполняется, но выражение $\frac{1}{b}$ не определено, поэтому следствие не может быть истинным.

Отрицание ложного высказывания строится по правилу $\neg(\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))) \Leftrightarrow \exists x (P(x) \land \neg Q(x))$. Отрицание: "Существует такое рациональное число $b$, что $b < 1$ и неверно, что $\frac{1}{b} > 1$". (Это включает случаи, когда $\frac{1}{b} \le 1$ или выражение $\frac{1}{b}$ не определено).

Обратное утверждение: $\forall b \in \mathbb{Q}: \frac{1}{b} > 1 \Rightarrow b < 1$. Решим неравенство $\frac{1}{b} > 1$. Это равносильно $\frac{1}{b} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{1-b}{b} > 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть при $0 < b < 1$. Если $b$ принадлежит интервалу $(0, 1)$, то условие $b < 1$ очевидно выполняется. Следовательно, обратное утверждение истинно.

Поскольку исходное высказывание ложно, а обратное истинно, составить истинное высказывание со знаком эквивалентности нельзя.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существует такое $b \in \mathbb{Q}$, что $b < 1$ и неверно, что $\frac{1}{b} > 1$". Обратное утверждение верно. Нельзя составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

в) $\forall x \in \mathbb{Q}: x < 1 \Rightarrow |x| < 1$

Данное высказывание ложно. Найдем контрпример. Пусть $x = -5$. Условие $x < 1$ выполняется ($-5 < 1$). Однако следствие $|x| < 1$ ложно, так как $|-5| = 5$, а $5 < 1$ — неверно.

Отрицание ложного высказывания: "Существует такое рациональное число $x$, что $x < 1$ и $|x| \ge 1$".

Обратное утверждение: $\forall x \in \mathbb{Q}: |x| < 1 \Rightarrow x < 1$. Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Для любого числа $x$ из этого интервала верно, что $x < 1$. Следовательно, обратное утверждение истинно.

Поскольку исходное высказывание ложно, составить истинное высказывание со знаком эквивалентности нельзя.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существует такое $x \in \mathbb{Q}$, что $x < 1$ и $|x| \ge 1$". Обратное утверждение верно. Нельзя составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

г) $\forall y \in \mathbb{Q}: y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1$

Данное высказывание истинно. Уравнение $y^2 = 1$ имеет в множестве рациональных чисел два решения: $y = 1$ и $y = -1$. В обоих случаях модуль $y$ равен 1: $|1| = 1$ и $|-1| = 1$. Так как для всех $y$, удовлетворяющих условию, следствие верно, высказывание истинно.

Обратное утверждение: $\forall y \in \mathbb{Q}: |y| = 1 \Rightarrow y^2 = 1$. Условие $|y| = 1$ выполняется для $y = 1$ и $y = -1$. Если $y = 1$, то $y^2 = 1^2 = 1$. Если $y = -1$, то $y^2 = (-1)^2 = 1$. В обоих случаях следствие выполняется. Следовательно, обратное утверждение также истинно.

Поскольку и прямое, и обратное утверждения истинны, можно составить истинное высказывание со знаком эквивалентности: $\forall y \in \mathbb{Q}: y^2 = 1 \Leftrightarrow |y| = 1$.

Ответ: Высказывание истинно. Обратное утверждение верно. Можно составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

621 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

а) $ \forall a \in Q: a < 0 \Rightarrow -a > 0; $

б) $ \forall b \in Q: b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1; $

в) $ \forall x \in Q: x < 1 \Rightarrow |x| < 1; $

г) $ \forall y \in Q: y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1. $

Верны ли обратные утверждения? Какие утверждения равносильны? Запиши их и прочитай разными способами.

622 Заполни таблицу и сделай вывод. Запиши его на математическом языке.

Заполнение таблицы

Чтобы заполнить таблицу, выполним вычисления для каждого столбца, находя значения выражений $a - b$ и $b - a$ для заданных $a$ и $b$.

• 1 столбец: $a = 12$, $b = 3$
  $a - b = 12 - 3 = 9$
  $b - a = 3 - 12 = -9$
• 2 столбец: $a = 7$, $b = 8$
  $a - b = 7 - 8 = -1$
  $b - a = 8 - 7 = 1$
• 3 столбец: $a = -5$, $b = 2$
  $a - b = -5 - 2 = -7$
  $b - a = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7$
• 4 столбец: $a = 4$, $b = -6$
  $a - b = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$
  $b - a = -6 - 4 = -10$
• 5 столбец: $a = 0,9$, $b = 1,4$
  $a - b = 0,9 - 1,4 = -0,5$
  $b - a = 1,4 - 0,9 = 0,5$
• 6 столбец: $a = 2,5$, $b = 0,7$
  $a - b = 2,5 - 0,7 = 1,8$
  $b - a = 0,7 - 2,5 = -1,8$
• 7 столбец: $a = 0$, $b = -5$
  $a - b = 0 - (-5) = 0 + 5 = 5$
  $b - a = -5 - 0 = -5$

Теперь внесем полученные результаты в таблицу.

Ответ:

Вывод

Сравнивая значения в строках $a - b$ и $b - a$ для каждого столбца, можно заметить, что они являются противоположными числами. То есть, они равны по абсолютной величине (модулю), но имеют противоположные знаки (например, $9$ и $-9$, $-1$ и $1$, $10$ и $-10$).

На математическом языке этот вывод можно записать в виде тождества. Если вынести знак минус за скобки в выражении $b - a$, получим:
$b - a = -(-b + a) = -(a - b)$.
Таким образом, разность $b - a$ равна разности $a - b$, взятой с противоположным знаком.

Ответ: $a - b = -(b - a)$

622 Заполни таблицу и сделай вывод. Запиши его на математическом языке.

$a$ 12 7 -5 4 0,9 2,5 0
$b$ 3 8 2 -6 1,4 0,7 -5
$a - b$
$b - a$

623 Вычисли устно, если m ≠ n:

а) $\frac{1,2 - 0,12}{0,12 - 1,2}$;

б) $\frac{3,3 - \frac{3}{33}}{\frac{3}{33} - 3,3}$;

в) $\frac{\frac{4}{56} - 4,56}{4,56 - \frac{4}{56}}$;

г) $\frac{78,9 - 7\frac{8}{9}}{7\frac{8}{9} - 78,9}$;

д) $\frac{m - n}{n - m}$.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{1,2 - 0,12}{0,12 - 1,2}$.
Заметим, что числитель и знаменатель этой дроби являются противоположными числами. Если обозначить $a = 1,2$ и $b = 0,12$, то выражение примет вид $\frac{a - b}{b - a}$.
В знаменателе можно вынести знак минус за скобки: $b - a = -(a - b)$.
Тогда дробь будет равна $\frac{a - b}{-(a - b)}$.
Поскольку $a \neq b$, то $a - b \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a - b)$. В результате получаем -1.
Ответ: -1

б)

Рассмотрим выражение $\frac{3,3 - \frac{3}{33}}{\frac{3}{33} - 3,3}$.
Данное выражение имеет аналогичную структуру. Числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Пусть $a = 3,3$ и $b = \frac{3}{33}$.
Выражение можно записать как $\frac{a - b}{b - a}$. Так как $a \neq b$ (поскольку $3,3 \neq \frac{1}{11}$), то значение этого выражения равно -1.
$\frac{a - b}{b - a} = \frac{a - b}{-(a - b)} = -1$.
Ответ: -1

в)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{4}{56} - 4,56}{4,56 - \frac{4}{56}}$.
В этом выражении числитель и знаменатель также являются противоположными числами. Обозначим $a = \frac{4}{56}$ и $b = 4,56$.
Выражение имеет вид $\frac{a - b}{b - a}$. Поскольку $a \neq b$, результат равен -1.
Ответ: -1

г)

Рассмотрим выражение $\frac{78,9 - 7\frac{8}{9}}{7\frac{8}{9} - 78,9}$.
Структура выражения такая же, как в предыдущих примерах: $\frac{a - b}{b - a}$, где $a = 78,9$ и $b = 7\frac{8}{9}$.
Так как $a \neq b$, числитель и знаменатель — ненулевые противоположные числа. Следовательно, значение дроби равно -1.
Ответ: -1

д)

Рассмотрим выражение $\frac{m - n}{n - m}$.
Это обобщенная форма всех предыдущих заданий. По условию $m \neq n$, что означает $m - n \neq 0$.
Преобразуем знаменатель, вынеся -1 за скобки: $n - m = -(m - n)$.
Подставим преобразованный знаменатель в дробь:
$\frac{m - n}{n - m} = \frac{m - n}{-(m - n)}$.
Сократив дробь на $(m - n)$, получим -1.
Ответ: -1

623 Вычисли устно, если m ≠ n:

а) $\frac{1,2 - 0,12}{0,12 - 1,2}$;

б) $\frac{3,3 - \frac{3}{33}}{\frac{3}{33} - 3,3}$;

в) $\frac{\frac{4}{56} - 4,56}{4,56 - \frac{4}{56}}$;

г) $\frac{78,9 - 7\frac{8}{9}}{7\frac{8}{9} - 78,9}$;

д) $\frac{m - n}{n - m}$.

624 Найди значение выражения:

а) $(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \ldots (-1)^{2008}$;

б) $(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \ldots (-1)^{2009}$;

в) $2^{2008} + (-2)^{2008}$;

г) $5^{2009} + (-5)^{2009}$;

д) $\underbrace{999\ldots9}_{100 \text{ цифр}} : 99$;

е) $\underbrace{999\ldots9}_{100 \text{ цифр}} : \underbrace{999\ldots9}_{50 \text{ цифр}}.$

а) В данном выражении мы имеем произведение степеней числа $-1$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \dots (-1)^{2008} = (-1)^{1+2+3+4+\dots+2008}$
Сумма в показателе степени представляет собой сумму членов арифметической прогрессии от 1 до 2008. Найдем эту сумму по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:
$S = \frac{2008(1 + 2008)}{2} = 1004 \times 2009$
Так как один из множителей (1004) является четным числом, то и все произведение будет четным.
Следовательно, выражение сводится к $(-1)$ в четной степени, что равно 1.
Ответ: 1

б) Это выражение аналогично предыдущему, но последний член ряда имеет показатель 2009.
$(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \dots (-1)^{2009} = (-1)^{1+2+3+4+\dots+2009}$
Найдем сумму показателей степени, которая является суммой арифметической прогрессии от 1 до 2009:
$S = \frac{2009(1 + 2009)}{2} = \frac{2009 \times 2010}{2} = 2009 \times 1005$
Произведение двух нечетных чисел (2009 и 1005) является нечетным числом.
Следовательно, выражение сводится к $(-1)$ в нечетной степени, что равно -1.
Ответ: -1

в) Выражение: $2^{2008} + (-2)^{2008}$
Показатель степени 2008 является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:
$(-2)^{2008} = 2^{2008}$
Подставим это в исходное выражение:
$2^{2008} + 2^{2008} = 2 \times 2^{2008} = 2^1 \times 2^{2008} = 2^{1+2008} = 2^{2009}$
Ответ: $2^{2009}$

г) Выражение: $5^{2009} + (-5)^{2009}$
Показатель степени 2009 является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:
$(-5)^{2009} = -5^{2009}$
Подставим это в исходное выражение:
$5^{2009} + (-5^{2009}) = 5^{2009} - 5^{2009} = 0$
Ответ: 0

д) Рассмотрим деление числа, состоящего из 100 девяток, на 99.
Число $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}}$ можно представить в виде $10^{100} - 1$.
Тогда выражение примет вид: $\frac{10^{100} - 1}{99}$.
Преобразуем числитель: $10^{100} - 1 = (10^2)^{50} - 1 = 100^{50} - 1$.
Используя формулу разности степеней $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$, получаем:
$100^{50} - 1 = (100 - 1)(100^{49} + 100^{48} + \dots + 100^1 + 1) = 99 \times (100^{49} + 100^{48} + \dots + 1)$.
Теперь выполним деление:
$\frac{99 \times (100^{49} + 100^{48} + \dots + 1)}{99} = 100^{49} + 100^{48} + \dots + 1$.
Эта сумма представляет собой число, состоящее из 50 единиц, разделенных нулями: $10101...01$.
Ответ: $\underbrace{1010...101}_{50 \text{ единиц}}$

е) Рассмотрим деление числа из 100 девяток на число из 50 девяток.
Пусть делимое $A = \underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} = 10^{100} - 1$.
Пусть делитель $B = \underbrace{999...9}_{50 \text{ цифр}} = 10^{50} - 1$.
Требуется найти значение $\frac{A}{B} = \frac{10^{100} - 1}{10^{50} - 1}$.
Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, заметив, что $10^{100} = (10^{50})^2$:
$10^{100} - 1 = (10^{50})^2 - 1^2 = (10^{50} - 1)(10^{50} + 1)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(10^{50} - 1)(10^{50} + 1)}{10^{50} - 1}$
Сократив $(10^{50} - 1)$, получаем: $10^{50} + 1$.
Это число представляет собой единицу, за которой следуют 49 нулей, и в конце еще одна единица.
Ответ: $10^{50} + 1$ (или $1\underbrace{00...0}_{49 \text{ нулей}}1$)

624 Найди значения выражений:

а) $(-1)^1 (-1)^2 (-1)^3 (-1)^4 \dots (-1)^{2008}$;

б) $(-1)^1 (-1)^2 (-1)^3 (-1)^4 \dots (-1)^{2009}$;

В) $2^{2008} + (-2)^2$;

Г) $5^{2009} + (-5)^{2009}$;

Д) $\underbrace{999\dots9}_{100 \text{ цифр}} : 99$;

е) $\underbrace{999\dots9}_{100 \text{ цифр}} : \underbrace{999\dots9}_{50 \text{ цифр}}$.

625 Реши уравнение:

а) $|x|=2,5;$

б) $|x|=-4;$

в) $|x+5|=0;$

г) $|2x-3|=0;$

д) $|x-2|=-3;$

е) $|x+1|=5;$

ж) $|4-3x|=2;$

з) $|2x+7|=1.$

а)

Дано уравнение $|x| = 2,5$. По определению модуля, если модуль числа равен положительному числу $a$, то само число может быть равно $a$ или $-a$. Таким образом, мы имеем два возможных решения:
$x_1 = 2,5$
$x_2 = -2,5$

Ответ: $2,5; -2,5$.

б)

Дано уравнение $|x| = -4$. Модуль (абсолютное значение) любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения равна $-4$ (отрицательное число), данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: корней нет.

в)

Дано уравнение $|x + 5| = 0$. Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю. Следовательно, приравниваем выражение под модулем к нулю:
$x + 5 = 0$
$x = -5$

Ответ: $-5$.

г)

Дано уравнение $|2x - 3| = 0$. Аналогично предыдущему пункту, модуль равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю.
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
$x = 1,5$

Ответ: $1,5$.

д)

Дано уравнение $|x - 2| = -3$. Модуль любого выражения, $|x - 2|$, всегда больше или равен нулю. Правая часть уравнения — отрицательное число ($-3$). Так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательной, у этого уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

е)

Дано уравнение $|x + 1| = 5$. Так как правая часть уравнения — положительное число, мы должны рассмотреть два случая:
1) Выражение под знаком модуля равно $5$:
$x + 1 = 5$
$x = 5 - 1$
$x_1 = 4$
2) Выражение под знаком модуля равно $-5$:
$x + 1 = -5$
$x = -5 - 1$
$x_2 = -6$

Ответ: $4; -6$.

ж)

Дано уравнение $|4 - 3x| = 2$. Раскрываем модуль, рассматривая два случая, так как правая часть положительна:
1) $4 - 3x = 2$
$-3x = 2 - 4$
$-3x = -2$
$x = \frac{-2}{-3}$
$x_1 = \frac{2}{3}$
2) $4 - 3x = -2$
$-3x = -2 - 4$
$-3x = -6$
$x = \frac{-6}{-3}$
$x_2 = 2$

Ответ: $\frac{2}{3}; 2$.

з)

Дано уравнение $|2x + 7| = 1$. Рассматриваем два случая:
1) $2x + 7 = 1$
$2x = 1 - 7$
$2x = -6$
$x = \frac{-6}{2}$
$x_1 = -3$
2) $2x + 7 = -1$
$2x = -1 - 7$
$2x = -8$
$x = \frac{-8}{2}$
$x_2 = -4$

Ответ: $-3; -4$.

100 цифр 50 цифр

625 Реши уравнения:

а) $|x| = 2,5;$

б) $|x| = -4;$

в) $|x+5| = 0;$

г) $|2x-3| = 0;$

д) $|x-2| = -3;$

е) $|x+1| = 5;$

ж) $|4-3x| = 2;$

з) $|2x+7| = 1.$

626 Составь равенства, используя взаимосвязь условий. Какие задачи можно составить по этим условиям? Поставь вопросы так, чтобы решение задач было одинаковым.

а) Катер плыл 4 ч по реке со скоростью $x \text{ км/ч}$ и 2 ч по озеру со скоростью на 3 км/ч большей. Весь путь составил 78 км.

б) В зале расставили 78 стульев. В первых четырёх рядах было по $x \text{ стульев}$, а в каждом из двух остальных рядов — на 3 стула больше.

Придумай другие задачи, которые решаются так же.

Для обоих условий можно составить одно и то же математическое равенство (уравнение). Чтобы решение задач было одинаковым, нужно поставить вопросы, ответом на которые будет значение переменной $x$.

а)

Чтобы найти путь, нужно скорость умножить на время.
Путь, пройденный катером по реке: $4 \cdot x$ км.
Скорость катера по озеру была на 3 км/ч больше, то есть $(x + 3)$ км/ч.
Путь, пройденный катером по озеру: $2 \cdot (x + 3)$ км.
Общий путь равен сумме этих двух участков и по условию составляет 78 км.
Составляем равенство: $4x + 2(x + 3) = 78$.
Вопрос к задаче, чтобы найти $x$: «С какой скоростью катер плыл по реке?»
Решим полученное уравнение:
$4x + 2x + 6 = 78$
$6x + 6 = 78$
$6x = 78 - 6$
$6x = 72$
$x = 72 / 6$
$x = 12$
Значит, скорость катера по реке составляла 12 км/ч.
Ответ: Равенство: $4x + 2(x + 3) = 78$. Вопрос: «С какой скоростью катер плыл по реке?». Решение: 12 км/ч.

б)

Чтобы найти общее количество стульев, нужно сложить количество стульев во всех рядах.
Количество стульев в первых четырёх рядах: $4 \cdot x$.
В каждом из двух остальных рядов было на 3 стула больше, то есть $(x + 3)$ стульев.
Количество стульев в этих двух рядах: $2 \cdot (x + 3)$.
Всего в зале, по условию, 78 стульев.
Составляем равенство: $4x + 2(x + 3) = 78$.
Вопрос к задаче, чтобы найти $x$: «Сколько стульев было в каждом из первых четырёх рядов?»
Уравнение полностью совпадает с предыдущей задачей, его решение: $x = 12$.
Значит, в каждом из первых четырёх рядов было по 12 стульев.
Ответ: Равенство: $4x + 2(x + 3) = 78$. Вопрос: «Сколько стульев было в каждом из первых четырёх рядов?». Решение: 12 стульев.

Придумай другие задачи, которые решаются так же.

Все задачи, которые решаются уравнением $4x + 2(x + 3) = 78$, имеют схожую структуру: есть 4 объекта с некой характеристикой $x$ и 2 объекта с характеристикой $(x + 3)$, а их общая сумма равна 78.

Задача 1 (о покупках):
Для класса купили 4 набора цветных карандашей по цене $x$ рублей за набор и 2 набора фломастеров, каждый из которых был на 3 рубля дороже набора карандашей. Общая стоимость покупки составила 78 рублей. Сколько стоит один набор карандашей?
Ответ: 12 рублей.

Задача 2 (о работе):
Бригада рабочих строила забор. В первые 4 дня они устанавливали по $x$ метров забора в день, а в следующие 2 дня, набравшись опыта, стали устанавливать на 3 метра в день больше. Всего за 6 дней они установили 78 метров забора. Сколько метров забора бригада устанавливала в день в первые 4 дня?
Ответ: 12 метров.

626 Составь равенства, используя взаимосвязь условий. Какие задачи можно составить по этим условиям? Поставь вопросы так, чтобы решение задач было одинаковым.

а) Катер плыл 4 ч по реке со скоростью $x$ км/ч и 2 ч по озеру со скоростью на 3 км/ч большей. Весь путь составил 78 км.

б) В зале расставили 78 стульев. В первых четырех рядах было по $x$ стульев, а в каждом из двух остальных рядов — на 3 стула больше.

Придумай другие задачи, которые решаются так же.