Номер 624, страница 146, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 1. Красота и симметрия - номер 624, страница 146.

Условие 2023.

624 Найди значение выражения:

а) $(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \ldots (-1)^{2008}$;

б) $(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \ldots (-1)^{2009}$;

в) $2^{2008} + (-2)^{2008}$;

г) $5^{2009} + (-5)^{2009}$;

д) $\underbrace{999\ldots9}_{100 \text{ цифр}} : 99$;

е) $\underbrace{999\ldots9}_{100 \text{ цифр}} : \underbrace{999\ldots9}_{50 \text{ цифр}}.$

Решение 2 (2023).

а) В данном выражении мы имеем произведение степеней числа $-1$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \dots (-1)^{2008} = (-1)^{1+2+3+4+\dots+2008}$
Сумма в показателе степени представляет собой сумму членов арифметической прогрессии от 1 до 2008. Найдем эту сумму по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:
$S = \frac{2008(1 + 2008)}{2} = 1004 \times 2009$
Так как один из множителей (1004) является четным числом, то и все произведение будет четным.
Следовательно, выражение сводится к $(-1)$ в четной степени, что равно 1.
Ответ: 1

б) Это выражение аналогично предыдущему, но последний член ряда имеет показатель 2009.
$(-1)^1(-1)^2(-1)^3(-1)^4 \dots (-1)^{2009} = (-1)^{1+2+3+4+\dots+2009}$
Найдем сумму показателей степени, которая является суммой арифметической прогрессии от 1 до 2009:
$S = \frac{2009(1 + 2009)}{2} = \frac{2009 \times 2010}{2} = 2009 \times 1005$
Произведение двух нечетных чисел (2009 и 1005) является нечетным числом.
Следовательно, выражение сводится к $(-1)$ в нечетной степени, что равно -1.
Ответ: -1

в) Выражение: $2^{2008} + (-2)^{2008}$
Показатель степени 2008 является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным:
$(-2)^{2008} = 2^{2008}$
Подставим это в исходное выражение:
$2^{2008} + 2^{2008} = 2 \times 2^{2008} = 2^1 \times 2^{2008} = 2^{1+2008} = 2^{2009}$
Ответ: $2^{2009}$

г) Выражение: $5^{2009} + (-5)^{2009}$
Показатель степени 2009 является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:
$(-5)^{2009} = -5^{2009}$
Подставим это в исходное выражение:
$5^{2009} + (-5^{2009}) = 5^{2009} - 5^{2009} = 0$
Ответ: 0

д) Рассмотрим деление числа, состоящего из 100 девяток, на 99.
Число $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}}$ можно представить в виде $10^{100} - 1$.
Тогда выражение примет вид: $\frac{10^{100} - 1}{99}$.
Преобразуем числитель: $10^{100} - 1 = (10^2)^{50} - 1 = 100^{50} - 1$.
Используя формулу разности степеней $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$, получаем:
$100^{50} - 1 = (100 - 1)(100^{49} + 100^{48} + \dots + 100^1 + 1) = 99 \times (100^{49} + 100^{48} + \dots + 1)$.
Теперь выполним деление:
$\frac{99 \times (100^{49} + 100^{48} + \dots + 1)}{99} = 100^{49} + 100^{48} + \dots + 1$.
Эта сумма представляет собой число, состоящее из 50 единиц, разделенных нулями: $10101...01$.
Ответ: $\underbrace{1010...101}_{50 \text{ единиц}}$

е) Рассмотрим деление числа из 100 девяток на число из 50 девяток.
Пусть делимое $A = \underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} = 10^{100} - 1$.
Пусть делитель $B = \underbrace{999...9}_{50 \text{ цифр}} = 10^{50} - 1$.
Требуется найти значение $\frac{A}{B} = \frac{10^{100} - 1}{10^{50} - 1}$.
Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, заметив, что $10^{100} = (10^{50})^2$:
$10^{100} - 1 = (10^{50})^2 - 1^2 = (10^{50} - 1)(10^{50} + 1)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(10^{50} - 1)(10^{50} + 1)}{10^{50} - 1}$
Сократив $(10^{50} - 1)$, получаем: $10^{50} + 1$.
Это число представляет собой единицу, за которой следуют 49 нулей, и в конце еще одна единица.
Ответ: $10^{50} + 1$ (или $1\underbrace{00...0}_{49 \text{ нулей}}1$)

Условие 2010-2022.

624 Найди значения выражений:

а) $(-1)^1 (-1)^2 (-1)^3 (-1)^4 \dots (-1)^{2008}$;

б) $(-1)^1 (-1)^2 (-1)^3 (-1)^4 \dots (-1)^{2009}$;

В) $2^{2008} + (-2)^2$;

Г) $5^{2009} + (-5)^{2009}$;

Д) $\underbrace{999\dots9}_{100 \text{ цифр}} : 99$;

е) $\underbrace{999\dots9}_{100 \text{ цифр}} : \underbrace{999\dots9}_{50 \text{ цифр}}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).