Номер 620, страница 146, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 1. Красота и симметрия - номер 620, страница 146.

Условие 2023.

$\Pi$ 620 Найди закономерность и запиши $n$-й член последовательности чисел:

а) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots;$

б) $-1, -4, -9, -16, -25, \dots;$

в) $3, 6, 9, 12, 15, \dots;$

г) $5, 8, 11, 14, 17, \dots;$

д) $1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots;$

е) $1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6} \dots$

Решение 2 (2023).

а) В последовательности $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ каждый следующий член является дробью, где числитель равен 1, а знаменатель равен порядковому номеру члена ($n$).
Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности ($a_n$) выглядит так:
$a_n = \frac{1}{n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$

б) В последовательности $-1, -4, -9, -16, -25, \dots$ все члены отрицательны. Рассмотрим их абсолютные значения: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$.
Эти числа представляют собой квадраты натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$.
Следовательно, абсолютное значение $n$-го члена равно $n^2$. Учитывая знак минус, получаем формулу для $n$-го члена ($b_n$):
$b_n = -n^2$.
Ответ: $b_n = -n^2$

в) В последовательности $3, 6, 9, 12, 15, \dots$ каждый член является результатом умножения числа 3 на его порядковый номер.
Первый член: $3 \cdot 1 = 3$.
Второй член: $3 \cdot 2 = 6$.
Третий член: $3 \cdot 3 = 9$, и так далее.
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1=3$ и разностью $d=3$. Формула для $n$-го члена ($c_n$):
$c_n = 3n$.
Ответ: $c_n = 3n$

г) В последовательности $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ разность между любыми двумя соседними членами постоянна:
$8 - 5 = 3$
$11 - 8 = 3$
$14 - 11 = 3$
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d=3$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.
Ответ: $a_n = 3n + 2$

д) В последовательности $1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots$ происходит чередование чисел 1 и 0. Члены на нечетных позициях равны 1, а на четных — 0.
Такую закономерность можно описать формулой, использующей степень числа -1:
$a_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$.
Проверим:
При нечетном $n$ (1, 3, ...), $(-1)^n = -1$, тогда $a_n = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
При четном $n$ (2, 4, ...), $(-1)^n = 1$, тогда $a_n = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$.
Ответ: $a_n = \frac{1 - (-1)^n}{2}$

е) В последовательности $1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6}, \dots$ можно выделить две закономерности в зависимости от четности номера члена.
На нечетных местах ($n=1, 3, 5, \dots$) стоят нечетные натуральные числа: $1, 3, 5, \dots$. Для нечетного $n$ член последовательности равен своему номеру $n$.
На четных местах ($n=2, 4, 6, \dots$) стоят дроби: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \dots$. Для четного $n$ член последовательности равен $\frac{1}{n}$.
Эту закономерность можно записать в виде кусочно-заданной функции:
$ a_n = \begin{cases} n, & \text{если } n \text{ нечетно} \\ \frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ четно} \end{cases} $
Ответ: $ a_n = \begin{cases} n, & \text{если } n \text{ нечетно} \\ \frac{1}{n}, & \text{если } n \text{ четно} \end{cases} $

Условие 2010-2022.

Π 620 Найди закономерность и запиши n-й член последовательности чисел:

а) 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$, ...;

б) -1, -4, -9, -16, -25, ...;

в) 3, 6, 9, 12, 15, ...;

г) 5, 8, 11, 14, 17, ...;

д) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...;

е) 1, $\frac{1}{2}$, 3, $\frac{1}{4}$, 5, $\frac{1}{6}$, ...

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).