Номер 615, страница 145, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 1. Красота и симметрия - номер 615, страница 145.

Условие 2023.

615 Являются ли фигуры центрально-симметричными относительно точки O? Проверь с помощью кальки.

а) $F_1$, $F_2$, $O$

б) $F_1$, $F_2$, $O$

в) $F$, $O$

Решение 2 (2023).

Центральная симметрия фигуры относительно точки $O$ (центра симметрии) означает, что для каждой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, фигура должна совпадать сама с собой при повороте на $180°$ вокруг точки $O$. Проверим это для каждого случая.

а)

Фигура состоит из двух окружностей, $F_1$ и $F_2$. Чтобы эта составная фигура была центрально-симметричной относительно точки $O$, окружность $F_1$ при повороте на $180°$ вокруг $O$ должна полностью совпадать с окружностью $F_2$.

При повороте на $180°$ окружность переходит в окружность того же радиуса. Центр новой окружности будет в точке, симметричной центру исходной окружности относительно центра поворота. Судя по рисунку, центры окружностей $F_1$ и $F_2$ симметричны относительно точки $O$. Это значит, что после поворота на $180°$ вокруг $O$ центр окружности $F_1$ переместится в центр окружности $F_2$.

Однако для полного совпадения фигур необходимо, чтобы их радиусы были равны. На рисунке видно, что радиус окружности $F_1$ меньше радиуса окружности $F_2$. Следовательно, после поворота меньшая окружность не сможет совпасть с большей.

Проверка с помощью кальки: если обвести на кальке окружность $F_1$ и точку $O$, а затем повернуть кальку на $180°$ вокруг точки $O$, то обведенная окружность окажется на месте $F_2$, но будет меньше ее по размеру.

Ответ: нет, фигуры не являются центрально-симметричными.

б)

Фигура состоит из двух прямоугольников, $F_1$ и $F_2$. Для центральной симметрии необходимо, чтобы прямоугольник $F_1$ при повороте на $180°$ вокруг точки $O$ совпал с прямоугольником $F_2$.

На рисунке прямоугольник $F_1$ расположен вертикально (высота больше ширины), а прямоугольник $F_2$ — горизонтально (ширина больше высоты).

Поворот на $180°$ сохраняет ориентацию сторон: вертикальные стороны остаются вертикальными, а горизонтальные — горизонтальными. Таким образом, при повороте вертикального прямоугольника $F_1$ на $180°$ получится снова вертикальный прямоугольник. Он не сможет совпасть с горизонтальным прямоугольником $F_2$.

Проверка с помощью кальки: если обвести на кальке прямоугольник $F_1$ и точку $O$, а затем повернуть кальку на $180°$ вокруг точки $O$, то обведенный вертикальный прямоугольник не совпадет с горизонтальным прямоугольником $F_2$.

Ответ: нет, фигуры не являются центрально-симметричными.

в)

Фигура $F$ является трапецией, а точка $O$ — точкой пересечения ее диагоналей. Для того чтобы трапеция была центрально-симметричной относительно точки $O$, для каждой ее вершины симметричная ей относительно $O$ точка также должна быть вершиной трапеции. Это означает, что диагонали должны делиться точкой пересечения пополам.

Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. На рисунке изображена трапеция, у которой параллельные основания имеют разную длину, то есть она не является параллелограммом. В такой трапеции диагонали не делятся точкой пересечения пополам.

Следовательно, данная фигура не является центрально-симметричной относительно точки $O$.

Проверка с помощью кальки: если обвести на кальке трапецию $F$ и точку $O$, а затем повернуть кальку на $180°$ вокруг точки $O$, обведенная трапеция не совпадет с исходной. Ее короткое основание окажется на месте длинного основания исходной трапеции, и наоборот.

Ответ: нет, фигура не является центрально-симметричной.

Условие 2010-2022.

615. Являются ли фигуры центрально-симметричными относительно точки $O$? Проверь с помощью кальки.

а) $F_1$, $O$, $F_2$

б) $F_1$, $O$, $F_2$

в) $F$, $O$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).