Номер 621, страница 146, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Красота и симметрия. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 621, страница 146.

Условие 2023.

621 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

a) $\forall a \in Q: a < 0 \Rightarrow -a > 0;$

б) $\forall b \in Q: b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1;$

в) $\forall x \in Q: x < 1 \Rightarrow |x| < 1;$

г) $\forall y \in Q: y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1.$

Верны ли обратные утверждения? В каких случаях можно составить истинные высказывания со знаком $\Leftrightarrow$?

Решение 2 (2023).

а) $\forall a \in \mathbb{Q}: a < 0 \Rightarrow -a > 0$

Данное высказывание истинно. Если рациональное число $a$ отрицательно (т.е. $a < 0$), то его противоположное число, $-a$, будет положительным. Это следует из правил работы с неравенствами: умножение обеих частей неравенства $a < 0$ на $-1$ меняет знак неравенства, приводя к $-a > 0$.

Обратное утверждение: $\forall a \in \mathbb{Q}: -a > 0 \Rightarrow a < 0$. Это утверждение также истинно. Если $-a > 0$, то, умножив обе части на $-1$, мы получим $a < 0$.

Поскольку и прямое, и обратное утверждения истинны, они равносильны. Следовательно, можно составить истинное высказывание со знаком эквивалентности: $\forall a \in \mathbb{Q}: a < 0 \Leftrightarrow -a > 0$.

Ответ: Высказывание истинно. Обратное утверждение верно. Можно составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

б) $\forall b \in \mathbb{Q}: b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1$

Данное высказывание ложно. Для опровержения достаточно привести контрпример. Возьмем $b = -2$. Условие $b < 1$ выполняется, так как $-2 < 1$. Однако следствие $\frac{1}{b} > 1$ не выполняется, так как $\frac{1}{-2} = -0.5$, а $-0.5 > 1$ — это ложь. Другой контрпример — $b=0$. Условие $b < 1$ выполняется, но выражение $\frac{1}{b}$ не определено, поэтому следствие не может быть истинным.

Отрицание ложного высказывания строится по правилу $\neg(\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))) \Leftrightarrow \exists x (P(x) \land \neg Q(x))$. Отрицание: "Существует такое рациональное число $b$, что $b < 1$ и неверно, что $\frac{1}{b} > 1$". (Это включает случаи, когда $\frac{1}{b} \le 1$ или выражение $\frac{1}{b}$ не определено).

Обратное утверждение: $\forall b \in \mathbb{Q}: \frac{1}{b} > 1 \Rightarrow b < 1$. Решим неравенство $\frac{1}{b} > 1$. Это равносильно $\frac{1}{b} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{1-b}{b} > 0$. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то есть при $0 < b < 1$. Если $b$ принадлежит интервалу $(0, 1)$, то условие $b < 1$ очевидно выполняется. Следовательно, обратное утверждение истинно.

Поскольку исходное высказывание ложно, а обратное истинно, составить истинное высказывание со знаком эквивалентности нельзя.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существует такое $b \in \mathbb{Q}$, что $b < 1$ и неверно, что $\frac{1}{b} > 1$". Обратное утверждение верно. Нельзя составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

в) $\forall x \in \mathbb{Q}: x < 1 \Rightarrow |x| < 1$

Данное высказывание ложно. Найдем контрпример. Пусть $x = -5$. Условие $x < 1$ выполняется ($-5 < 1$). Однако следствие $|x| < 1$ ложно, так как $|-5| = 5$, а $5 < 1$ — неверно.

Отрицание ложного высказывания: "Существует такое рациональное число $x$, что $x < 1$ и $|x| \ge 1$".

Обратное утверждение: $\forall x \in \mathbb{Q}: |x| < 1 \Rightarrow x < 1$. Неравенство $|x| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < x < 1$. Для любого числа $x$ из этого интервала верно, что $x < 1$. Следовательно, обратное утверждение истинно.

Поскольку исходное высказывание ложно, составить истинное высказывание со знаком эквивалентности нельзя.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существует такое $x \in \mathbb{Q}$, что $x < 1$ и $|x| \ge 1$". Обратное утверждение верно. Нельзя составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

г) $\forall y \in \mathbb{Q}: y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1$

Данное высказывание истинно. Уравнение $y^2 = 1$ имеет в множестве рациональных чисел два решения: $y = 1$ и $y = -1$. В обоих случаях модуль $y$ равен 1: $|1| = 1$ и $|-1| = 1$. Так как для всех $y$, удовлетворяющих условию, следствие верно, высказывание истинно.

Обратное утверждение: $\forall y \in \mathbb{Q}: |y| = 1 \Rightarrow y^2 = 1$. Условие $|y| = 1$ выполняется для $y = 1$ и $y = -1$. Если $y = 1$, то $y^2 = 1^2 = 1$. Если $y = -1$, то $y^2 = (-1)^2 = 1$. В обоих случаях следствие выполняется. Следовательно, обратное утверждение также истинно.

Поскольку и прямое, и обратное утверждения истинны, можно составить истинное высказывание со знаком эквивалентности: $\forall y \in \mathbb{Q}: y^2 = 1 \Leftrightarrow |y| = 1$.

Ответ: Высказывание истинно. Обратное утверждение верно. Можно составить истинное высказывание со знаком $\Leftrightarrow$.

Условие 2010-2022.

621 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

а) $ \forall a \in Q: a < 0 \Rightarrow -a > 0; $

б) $ \forall b \in Q: b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1; $

в) $ \forall x \in Q: x < 1 \Rightarrow |x| < 1; $

г) $ \forall y \in Q: y^2 = 1 \Rightarrow |y| = 1. $

Верны ли обратные утверждения? Какие утверждения равносильны? Запиши их и прочитай разными способами.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).