Страница 153, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

646 Точка $O$ — центр симметрии шестиугольника $ABCDKM$ (рис. 120). Назови точки, симметричные точкам $C$, $K$, $D$, $M$ относительно точки $O$. Какая фигура симметрична относительно точки $O$ отрезку $BO$, треугольнику $AOM$, четырёхугольнику $AOKM$, ломаной $BODK$, семиугольнику $ABOCDKM$?

Рис. 120

Рис. 121

Центральная симметрия относительно точки O означает, что для любой точки фигуры X симметричная ей точка X' также принадлежит фигуре, причём точка O является серединой отрезка XX'.

Проанализировав рисунок 120, можно установить следующие пары симметричных вершин шестиугольника ABCDKM относительно центра O:

• A и D (отрезок AD проходит через O и AO = OD)
• B и K (отрезок BK проходит через O и BO = OK)
• C и M (отрезок CM проходит через O и CO = OM)

Основываясь на этом, ответим на вопросы задачи.

точки, симметричные точкам C, K, D, M относительно точки O

Используя установленные выше пары симметричных точек:

• Точка, симметричная точке C, — это точка M.
• Точка, симметричная точке K, — это точка B.
• Точка, симметричная точке D, — это точка A.
• Точка, симметричная точке M, — это точка C.

Ответ: Точке C симметрична точка M, точке K — точка B, точке D — точка A, точке M — точка C.

фигура, симметричная отрезку BO

Чтобы найти фигуру, симметричную отрезку BO, нужно найти точки, симметричные его концам — B и O. Точке B симметрична точка K. Точка O является центром симметрии, поэтому она симметрична самой себе. Таким образом, фигурой, симметричной отрезку BO, является отрезок KO.

Ответ: Отрезок KO.

фигура, симметричная треугольнику AOM

Чтобы найти фигуру, симметричную треугольнику AOM, нужно найти точки, симметричные его вершинам — A, O и M. Точке A симметрична точка D. Точка O симметрична самой себе. Точке M симметрична точка C. Следовательно, фигурой, симметричной треугольнику AOM, является треугольник DOC.

Ответ: Треугольник DOC.

фигура, симметричная четырёхугольнику AOKM

Чтобы найти фигуру, симметричную четырёхугольнику AOKM, нужно найти точки, симметричные его вершинам — A, O, K и M. Точке A симметрична точка D. Точка O симметрична самой себе. Точке K симметрична точка B. Точке M симметрична точка C. Соединив эти точки, получим четырёхугольник DOBC.

Ответ: Четырёхугольник DOBC.

фигура, симметричная ломаной BODK

Чтобы найти фигуру, симметричную ломаной BODK, нужно найти точки, симметричные её вершинам в том же порядке — B, O, D, K. Точке B симметрична точка K. Точка O симметрична самой себе. Точке D симметрична точка A. Точке K симметрична точка B. Таким образом, симметричной фигурой является ломаная KOAB.

Ответ: Ломаная KOAB.

фигура, симметричная семиугольнику ABOCDKM

Чтобы найти фигуру, симметричную семиугольнику ABOCDKM, нужно найти точки, симметричные его вершинам в том же порядке — A, B, O, C, D, K, M.

• A → D
• B → K
• O → O
• C → M
• D → A
• K → B
• M → C

Соединив полученные точки в том же порядке, мы получим семиугольник DKOМABC.

Ответ: Семиугольник DKOМABC.

646 Точка $O$ – центр симметрии шестиугольника $ABCDKM$ (рис. 120). Назови точки, симметричные точкам $C$, $K$, $D$, $M$ относительно точки $O$. Какая фигура симметрична относительно точки $O$ отрезку $BO$, треугольнику $AOM$, четырехугольнику $AOKM$, ломаной $BODK$, семиугольнику $ABOCDKM$?

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 120

Рис. 121

647 На рисунке 121 изображена часть фигуры, центром симметрии которой яв- ляется точка $O$. Начерти эту фигуру в тетради.

Чтобы достроить фигуру, симметричную данной относительно центра $O$, необходимо для каждой вершины данной ломаной линии найти симметричную ей точку относительно точки $O$. Фигура является симметричной относительно центра, если при повороте на $180^\circ$ вокруг этого центра она совпадает сама с собой.

Для построения симметричной точки $A'$ для любой точки $A$ относительно центра $O$ нужно соединить точку $A$ с центром $O$ отрезком и продлить его на такое же расстояние за точку $O$. На клетчатой бумаге это удобно делать, подсчитывая клетки.

Обозначим вершины исходной части фигуры (ломаной) слева направо как $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$.

• Для вершины $P_1$: чтобы попасть из точки $P_1$ в центр $O$, нужно сместиться на 5 клеток вправо и на 1 клетку вверх. Чтобы найти симметричную точку $P_1'$, нужно от точки $O$ сместиться на 5 клеток вправо и на 1 клетку вверх.
• Для вершины $P_2$: чтобы попасть из точки $P_2$ в центр $O$, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и находим точку $P_2'$.
• Для вершины $P_3$: чтобы попасть из точки $P_3$ в центр $O$, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 1 клетку вниз. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и находим точку $P_3'$.
• Для вершины $P_4$: чтобы попасть из точки $P_4$ в центр $O$, нужно сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вниз. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и находим точку $P_4'$.
• Для вершины $P_5$: чтобы попасть из точки $P_5$ в центр $O$, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. Откладываем такое же смещение от точки $O$ и находим точку $P_5'$.

После нахождения всех симметричных вершин $P_1', P_2', P_3', P_4', P_5'$, их нужно последовательно соединить отрезками. В результате объединения исходной и построенной частей мы получим полную фигуру, симметричную относительно центра $O$.

Ответ:

647 На рисунке 121 изображена часть фигуры, центром симметрии которой является точка $O$. Начерти эту фигуру в тетради.

648 Точка А при параллельном переносе на вектор $\vec{d}$ переходит в точку $A_1$. Что означает равенство $\vec{AA_1} = \vec{d}$? Сделай чертёж.

Что означает равенство $\vec{AA_1} = \vec{d}$?

Параллельный перенос на вектор $\vec{d}$ — это такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A_1$, что выполняется векторное равенство $\vec{AA_1} = \vec{d}$.

Таким образом, равенство $\vec{AA_1} = \vec{d}$ является математической записью, которая по определению означает, что точка $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{d}$ переходит в точку $A_1$.

Данное равенство означает, что вектор $\vec{AA_1}$ (с началом в точке $A$ и концом в точке $A_1$) и вектор переноса $\vec{d}$ равны. Равенство векторов подразумевает, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). То есть, $|\vec{AA_1}| = |\vec{d}|$ и векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{d}$ параллельны и указывают в одну сторону.

Сделай чертёж.

На чертеже показан вектор параллельного переноса $\vec{d}$, а также исходная точка $A$ и точка $A_1$, в которую она переходит. Вектор $\vec{AA_1}$, соединяющий эти точки, равен вектору $\vec{d}$: они параллельны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Ответ: Равенство $\vec{AA_1} = \vec{d}$ является определением параллельного переноса, при котором точка $A$ переходит в точку $A_1$. Это означает, что вектор смещения из $A$ в $A_1$ равен вектору переноса $\vec{d}$, то есть они сонаправлены и имеют равные длины.

648 Точка A при параллельном переносе на вектор $\vec{d}$ переходит в точку $A_1$. Что означает равенство $\vec{AA_1} = \vec{d}$? Сделай чертеж.

649. Начерти в тетради параллелограмм $ABCD$. Построй фигуру, которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма:

а) на вектор $\vec{BC}$;

б) на вектор $\vec{DB}$;

в) на вектор $\vec{AO}$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

Сначала начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Чтобы осуществить параллельный перенос всего параллелограмма на заданный вектор, нужно перенести каждую его вершину ($A, B, C, D$) на этот вектор. В результате мы получим новые вершины ($A', B', C', D'$), которые образуют новый параллелограмм, равный исходному.

а) на вектор $\vec{BC}$
При параллельном переносе параллелограмма $ABCD$ на вектор $\vec{BC}$ каждая вершина смещается на этот вектор. Пусть $A'B'C'D'$ — полученный параллелограмм.
1. Вершина $A$ переходит в точку $A'$, такую что $\vec{AA'} = \vec{BC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть $\vec{AD} = \vec{BC}$. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{AD}$, а это означает, что точка $A'$ совпадает с точкой $D$.
2. Вершина $B$ переходит в точку $B'$, такую что $\vec{BB'} = \vec{BC}$. Это означает, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.
3. Вершина $C$ переходит в точку $C'$, такую что $\vec{CC'} = \vec{BC}$. Для построения точки $C'$ нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$. Точки $B, C, C'$ будут лежать на одной прямой, причем $BC = CC'$.
4. Вершина $D$ переходит в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{BC}$. Для построения точки $D'$ нужно отложить от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$. Четырехугольник $BCD'D$ будет параллелограммом.
В результате параллельного переноса мы получаем параллелограмм $A'B'C'D'$, который является параллелограммом $DCC'D'$.
Ответ: Параллелограмм $DCC'D'$, где точка $D$ — это образ точки $A$, точка $C$ — образ точки $B$, а точки $C'$ и $D'$ определяются условиями $\vec{CC'} = \vec{BC}$ и $\vec{DD'} = \vec{BC}$.

б) на вектор $\vec{DB}$
При параллельном переносе параллелограмма $ABCD$ на вектор $\vec{DB}$ каждая вершина смещается на этот вектор. Пусть $A'B'C'D'$ — полученный параллелограмм.
1. Вершина $A$ переходит в точку $A'$, такую что $\vec{AA'} = \vec{DB}$. Для построения $A'$ нужно построить вектор, начинающийся в точке $A$, равный вектору $\vec{DB}$. Четырехугольник $DBA'A$ будет параллелограммом.
2. Вершина $B$ переходит в точку $B'$, такую что $\vec{BB'} = \vec{DB}$. Для построения $B'$ нужно отложить от точки $B$ вектор, равный $\vec{DB}$. Точки $D, B, B'$ будут лежать на одной прямой, причем $DB = BB'$.
3. Вершина $C$ переходит в точку $C'$, такую что $\vec{CC'} = \vec{DB}$. Для построения $C'$ нужно построить вектор, начинающийся в точке $C$, равный вектору $\vec{DB}$. Четырехугольник $DBC'C$ будет параллелограммом.
4. Вершина $D$ переходит в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{DB}$. Это означает, что точка $D'$ совпадает с точкой $B$.
В результате мы получаем параллелограмм $A'B'C'D'$, который является параллелограммом $A'B'C'B$.
Ответ: Параллелограмм $A'B'C'B$, где $B$ — это образ точки $D$, а точки $A', B', C'$ определяются условиями $\vec{AA'} = \vec{DB}$, $\vec{BB'} = \vec{DB}$ и $\vec{CC'} = \vec{DB}$.

в) на вектор $\vec{AO}$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$
По свойству параллелограмма, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
При параллельном переносе параллелограмма $ABCD$ на вектор $\vec{AO}$ каждая вершина смещается на этот вектор. Пусть $A'B'C'D'$ — полученный параллелограмм.
1. Вершина $A$ переходит в точку $A'$, такую что $\vec{AA'} = \vec{AO}$. Это означает, что точка $A'$ совпадает с точкой $O$.
2. Вершина $B$ переходит в точку $B'$, такую что $\vec{BB'} = \vec{AO}$. Для построения $B'$ нужно отложить от точки $B$ вектор, равный $\vec{AO}$. Четырехугольник $AOB'B$ будет параллелограммом.
3. Вершина $C$ переходит в точку $C'$, такую что $\vec{CC'} = \vec{AO}$. Так как $\vec{AO} = \vec{OC}$, то $\vec{CC'} = \vec{OC}$. Это означает, что точки $O, C, C'$ лежат на одной прямой, причем $OC = CC'$.
4. Вершина $D$ переходит в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{AO}$. Для построения $D'$ нужно отложить от точки $D$ вектор, равный $\vec{AO}$. Четырехугольник $AOD'D$ будет параллелограммом.
В результате мы получаем параллелограмм $A'B'C'D'$, который является параллелограммом $OB'C'D'$.
Ответ: Параллелограмм $OB'C'D'$, где $O$ — это образ точки $A$, а точки $B', C', D'$ определяются условиями $\vec{BB'} = \vec{AO}$, $\vec{CC'} = \vec{AO}$ и $\vec{DD'} = \vec{AO}$.

649 Начерти в тетради параллелограмм $ABCD$. Построй фигуру, которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма:
а) на вектор $\vec{BC}$;
б) на вектор $\vec{DB}$;
в) на вектор $\vec{AO}$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

650 а) Если перемещать одну из сторон чертёжного угольника вдоль линейки, то, проводя прямые вдоль другой его стороны, можно получить параллельные прямые (рис. 122). Построй указанным способом несколько параллельных прямых.

Рис. 122

б) Начерти на бумаге без клеток произвольный треугольник ABC и вектор $ \vec{d} $. Построй параллельный перенос треугольника ABC на вектор $ \vec{d} $.

а)

Для построения нескольких параллельных прямых с помощью линейки и чертёжного угольника необходимо выполнить следующие действия:

1. Приложить линейку к листу бумаги и плотно её прижать. Линейка будет служить направляющей.
2. Приложить чертёжный угольник одной из своих сторон (катетом) к краю линейки.
3. Вдоль другой стороны (другого катета или гипотенузы) угольника провести первую прямую линию.
4. Аккуратно передвинуть (сдвинуть) угольник вдоль линейки, не отрывая его от неё и не меняя положения линейки.
5. Провести вторую прямую вдоль той же стороны угольника.
6. Повторяя шаги 4 и 5, можно построить любое необходимое количество параллельных прямых.

Все построенные таким образом прямые будут параллельны друг другу, так как они образуют одинаковые соответственные углы с прямой, по которой проходит край линейки.

Пример построения показан на рисунке:

Ответ: Построение выполнено и описано выше.

б)

Параллельный перенос — это движение, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние. Это смещение задаётся вектором. Чтобы выполнить параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $\vec{d}$, необходимо перенести каждую его вершину ($A$, $B$, $C$) на заданный вектор. В результате мы получим новые вершины $A'$, $B'$, $C'$, такие что $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{d}$.

Порядок построения:

1. На листе бумаги без клеток начертим произвольный треугольник $ABC$ и вектор $\vec{d}$.
2. Через каждую вершину треугольника ($A$, $B$ и $C$) проведём прямые, параллельные вектору $\vec{d}$. Это можно сделать с помощью линейки и угольника, как показано в пункте а), где в качестве исходной прямой для параллельности используется вектор $\vec{d}$.
3. С помощью циркуля измерим длину (модуль) вектора $\vec{d}$.
4. На каждой из построенных параллельных прямых отложим от соответствующей вершины ($A$, $B$, $C$) отрезок, равный длине вектора $\vec{d}$, в том же направлении, что и у вектора $\vec{d}$. Отметим концы этих отрезков как точки $A'$, $B'$, $C'$.
5. Соединим точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Треугольник $A'B'C'$ является результатом параллельного переноса треугольника $ABC$ на вектор $\vec{d}$.

На рисунке показан исходный треугольник $ABC$ и полученный в результате переноса треугольник $A'B'C'$.

Ответ: Построение, в результате которого получен треугольник $A'B'C'$, выполнено и описано выше.

650 а) Если перемещать одну из сторон чертежного угольника вдоль линейки, то, проводя прямые вдоль другой его стороны, можно получить параллельные прямые (рис. 122). Построй указанным способом несколько параллельных прямых.

Рис. 122

б) Начерти на гладкой бумаге произвольный треугольник $ABC$ и вектор $\vec{d}$. Построй параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $\vec{d}$.

651. Имеют ли отрезок, прямая, луч оси симметрии и сколько? Имеют ли они центры симметрии? Проиллюстрируй с помощью рисунков.

651 Имеют ли отрезок, прямая, луч оси симметрии и сколько? Имеют ли они центры симметрии? Проиллюстрируй с помощью рисунков.

652 Начерти фигуру, которая:

а) имеет и центр, и ось симметрии;

б) не имеет оси, но имеет центр симметрии;

в) не имеет центра, но имеет ось симметрии.

а) имеет и центр, и ось симметрии

Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична. При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки фигура совмещается сама с собой.

Ось симметрии — это прямая, при зеркальном отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

Примером фигуры, которая обладает обоими видами симметрии, является прямоугольник.

Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей (точка $O$). Осями симметрии являются прямые $l$ и $m$, проходящие через середины его противоположных сторон.

Ответ: Прямоугольник (а также квадрат, окружность, ромб).

б) не имеет оси, но имеет центр симметрии

Примером такой фигуры служит параллелограмм, который не является ни прямоугольником, ни ромбом.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма (точка $O$) является его центром симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ фигура переходит в себя. Однако у такого параллелограмма нет ни одной прямой (оси), относительно которой он был бы симметричен.

Ответ: Параллелограмм (не являющийся прямоугольником или ромбом).

в) не имеет центра, но имеет ось симметрии

Примером фигуры, имеющей ось симметрии, но не имеющей центра симметрии, является равнобедренный треугольник (не равносторонний).

Прямая, содержащая высоту, медиану и биссектрису, проведенную к основанию равнобедренного треугольника, является его осью симметрии. При отражении относительно этой прямой треугольник совмещается сам с собой. Однако у него нет ни одной точки, которая была бы его центром симметрии.

Ответ: Равнобедренный треугольник (не равносторонний), равнобедренная трапеция.

652. Начерти фигуру, которая:

а) имеет и центр, и ось симметрии;

б) не имеет оси, но имеет центр симметрии;

в) не имеет центра, но имеет ось симметрии.