Страница 158, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

684 Выполни действия:

a) $\underbrace{999\dots9}_{\text{100 цифр}} + 2;$

б) $\underbrace{999\dots9}_{\text{100 цифр}} + \underbrace{222\dots2}_{\text{100 цифр}};$

в) $\underbrace{333\dots3}_{\text{100 цифр}} \cdot 7;$

г) $\underbrace{333\dots3}_{\text{100 цифр}} \cdot 11.$

а) Рассмотрим выражение $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + 2$.

Число, состоящее из 100 девяток, можно представить в виде $10^{100} - 1$.

Тогда наше выражение принимает вид: $(10^{100} - 1) + 2 = 10^{100} + 1$.

Число $10^{100}$ — это единица, за которой следуют 100 нулей. Прибавив к этому числу 1, мы получим число, которое начинается с единицы, затем следуют 99 нулей, и заканчивается оно единицей.

Другой способ — сложение в столбик. В разряде единиц $9+2=11$ (1 пишем, 1 в уме). В разряде десятков $9+1(\text{в уме})=10$ (0 пишем, 1 в уме). Это повторяется для всех 99 девяток. В итоге получаем 1 в начале, затем 99 нулей и 1 в конце. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $1\underbrace{00...0}_{99}1$.

б) Рассмотрим сумму двух чисел: $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + \underbrace{222...2}_{100 \text{ цифр}}$.

Выполним сложение в столбик. При сложении разряда единиц получаем $9 + 2 = 11$. Пишем 1 и 1 переносим в следующий разряд.

Для разряда десятков получаем $9 + 2 + 1(\text{в уме}) = 12$. Пишем 2 и 1 переносим в следующий разряд.

Это повторяется для всех разрядов, кроме первого и последнего. Для каждого из 98 промежуточных разрядов результат сложения будет 12, поэтому мы будем писать 2 и переносить 1.

Для самого старшего, сотого, разряда также получаем $9 + 2 + 1(\text{в уме}) = 12$. Мы пишем 2, и 1 переносится в новый, сто первый разряд.

В результате получается число, которое начинается с 1, за ней следуют 99 двоек, и заканчивается оно единицей. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $1\underbrace{22...2}_{99}1$.

в) Рассмотрим произведение $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 7$.

Представим число, состоящее из 100 троек, как $3 \cdot \underbrace{111...1}_{100 \text{ цифр}}$.

Тогда выражение можно переписать как $3 \cdot \underbrace{111...1}_{100 \text{ цифр}} \cdot 7 = 21 \cdot \underbrace{111...1}_{100 \text{ цифр}}$.

Умножим $\underbrace{111...1}_{100}$ на 21, представив 21 как $(20+1)$:

$21 \cdot \underbrace{111...1}_{100} = 20 \cdot \underbrace{111...1}_{100} + \underbrace{111...1}_{100} = \underbrace{222...2}_{100}0 + \underbrace{111...1}_{100}$.

Складывая эти два числа в столбик, получим: в разряде единиц $0+1=1$, в следующих 99 разрядах $2+1=3$, и в самом старшем (сто первом) разряде будет 2.

В результате получается число, которое начинается с 2, за ней следуют 99 троек, и заканчивается оно единицей. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $2\underbrace{33...3}_{99}1$.

г) Рассмотрим произведение $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 11$.

Представим умножение на 11 как сумму числа, умноженного на 10, и самого этого числа: $\underbrace{333...3}_{100} \cdot (10+1) = \underbrace{333...3}_{100}0 + \underbrace{333...3}_{100}$.

При сложении этих чисел столбиком получим следующий результат. В разряде единиц будет $0+3=3$. В разрядах с десятков по сотый включительно будет $3+3=6$ (всего 99 шестерок). В самом старшем (сто первом) разряде будет 3.

Таким образом, в результате получается число, которое начинается с 3, за ней следуют 99 шестёрок, и заканчивается оно тройкой. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $3\underbrace{66...6}_{99}3$.

684 Выполни действия:

а) $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + 2;$

б) $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + \underbrace{222...2}_{100 \text{ цифр}};$

в) $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 7;$

г) $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 11.$

C 685*

Числовые ребусы

Поставь вместо букв цифры так, чтобы указанные равенства выполнялись. Одним и тем же буквам в каждом примере всегда соответствуют одни и те же цифры, а разным – разные.

a) Морской

$ \begin{array}{r}\text{К Р А Б} \\\times \quad 4 \\\hline\text{Б А Р К}\end{array} $

б) Туристский

$ \begin{array}{r}\text{В А Г О Н} \\\text{+ В А Г О Н} \\\hline\text{С О С Т А В}\end{array} $

в) Научный

$ \begin{array}{r}\text{К Н И Г А} \\\text{+ К Н И Г А} \\\text{К Н И Г А} \\\hline\text{Н А У К А}\end{array} $

г) Сказочный

$ \begin{array}{r}\text{Д Е Д К А} \\\text{+ Б А Б К А} \\\hline\text{Р Е П К А} \\\hline\text{С К А З К А}\end{array} $

В этом ребусе нужно расшифровать равенство $КРАБ \cdot 4 = БАРК$.

1. Поскольку произведение четырехзначного числа КРАБ на 4 является четырехзначным числом БАРК, первая цифра К не может быть больше 2. Так как $К \neq 0$, то $К$ может быть 1 или 2.

2. Рассмотрим последнюю цифру равенства. Произведение $4 \cdot Б$ должно оканчиваться на цифру К.

• Если $К = 1$, то нет такой цифры Б, чтобы $4 \cdot Б$ оканчивалось на 1.
• Если $К = 2$, то $4 \cdot Б$ должно оканчиваться на 2. Это возможно, если $Б = 3$ ($4 \cdot 3 = 12$) или $Б = 8$ ($4 \cdot 8 = 32$).

Таким образом, $К = 2$.

3. Проверим вариант $Б = 3$. Тогда $КРАБ \cdot 4 = 2РА3 \cdot 4 = 3АР2$. Но умножая первую цифру $К=2$ на 4, мы получаем $4 \cdot 2 = 8$. Даже с учетом возможного переноса из предыдущего разряда (максимум 3), результат не может начинаться с цифры 3. Значит, этот вариант не подходит.

4. Остается вариант $Б = 8$. Итак, $К = 2$ и $Б = 8$. Ребус выглядит так: $2РА8 \cdot 4 = 8АР2$.

• Последний разряд: $4 \cdot 8 = 32$. Цифра 2 (К) в конце верна, в следующий разряд переносится 3.
• Первый разряд: $4 \cdot 2 = 8$. Чтобы в результате получилась цифра 8 (Б), перенос из предыдущего разряда должен быть равен 0.

5. Запишем уравнения для средних разрядов с учетом переносов.

• Разряд десятков: $4 \cdot А + 3$ (перенос) должно оканчиваться на Р. Запишем это как $4А + 3 = 10 \cdot c_2 + Р$.
• Разряд сотен: $4 \cdot Р + c_2$ (перенос) должно оканчиваться на А. Так как мы установили, что перенос в старший разряд равен 0, то $4Р + c_2 = А$.

6. Подставим второе уравнение в первое: $4(4Р + c_2) + 3 = 10 \cdot c_2 + Р$.
$16Р + 4c_2 + 3 = 10c_2 + Р$
$15Р + 3 = 6c_2$
$5Р + 1 = 2c_2$
Из этого уравнения следует, что $5Р+1$ должно быть четным, значит, Р должно быть нечетным. $Р$ не может быть равно 2 или 8. Пробуем нечетные значения для Р:

• Если $Р=1$, то $5(1)+1 = 6 \implies 2c_2 = 6 \implies c_2 = 3$.
• Тогда $А = 4Р + c_2 = 4(1) + 3 = 7$.

Все цифры ($К=2, Р=1, А=7, Б=8$) различны. Проверим другие значения Р. Если $Р=3$, то $5(3)+1 = 16 \implies 2c_2 = 16 \implies c_2 = 8$. Но перенос $c_2$ из выражения $4А+3$ не может быть больше 3 ($4 \cdot 9 + 3 = 39$).

7. Мы нашли единственное решение: $К=2, Р=1, А=7, Б=8$.
Проверяем: $2178 \cdot 4 = 8712$.

Ответ: $2178 \cdot 4 = 8712$.

Дан ребус на сложение: $ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ$, что эквивалентно $2 \cdot ВАГОН = СОСТАВ$.

1. Удвоение пятизначного числа ВАГОН дает шестизначное число СОСТАВ. Это означает, что первая цифра результата $С=1$, а первая цифра исходного числа $В \ge 5$.

2. В слове СОСТАВ первая и третья буквы совпадают (С). Значит, $С=1$ и третья цифра результата также 1.

3. Рассмотрим последний разряд: $2 \cdot Н$ оканчивается на В. Это возможно для пар (Н, В): (3, 6), (4, 8), (8, 6), (9, 8). Мы знаем, что $В \ge 5$.

4. Рассмотрим разряд тысяч (второй слева): $2 \cdot А + c_3$ (перенос из разряда сотен) должно оканчиваться на С, то есть на 1. Так как $2 \cdot А$ - четное число, то $c_3$ должно быть нечетным. Перенос из предыдущего разряда может быть 0, 1 или 2, значит $c_3=1$. Тогда $2 \cdot А + 1$ оканчивается на 1. Это означает, что $2 \cdot А$ оканчивается на 0. Следовательно, $А=0$ или $А=5$.

5. Рассмотрим старший разряд: $2 \cdot В + c_4$ (перенос из разряда тысяч) $= 10 + О$.

6. Объединим эти факты и проверим варианты. Систематический перебор показывает, что решение существует при $А=5$.

• Если $А=5$, то из $2 \cdot А + c_3 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$, получаем, что результат оканчивается на 1 (С), а перенос в следующий разряд $c_4=1$.
• Теперь $2 \cdot В + 1 = 10 + О$.
• Рассмотрим пару (Н, В) = (9, 8). $2 \cdot 9 = 18$, последняя цифра 8 (В), перенос $c_1=1$.
• Подставим $В=8$ в уравнение для старшего разряда: $2 \cdot 8 + 1 = 17 = 10 + О$, откуда $О=7$.
• Проверим разряд десятков (второй справа): $2 \cdot О + c_1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$. Результат оканчивается на 5, что совпадает с $А=5$. Перенос в следующий разряд $c_2=1$.
• Остался разряд сотен: $2 \cdot Г + c_2 = Т + 10 \cdot c_3$. Мы знаем $c_2=1$ и $c_3=1$. Получаем $2 \cdot Г + 1 = Т + 10 \implies 2Г - 9 = Т$.
• Используемые цифры: В=8, А=5, О=7, Н=9, С=1. Нужно подобрать Г и Т из оставшихся. Если $Г=6$, то $Т = 2 \cdot 6 - 9 = 3$. Цифры 6 и 3 не использовались.

7. Собираем все цифры: $В=8, А=5, Г=6, О=7, Н=9$ и $С=1, Т=3$.
Проверяем: $85679 + 85679 = 171358$.

Ответ: $85679 + 85679 = 171358$.

Ребус $КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА$ можно записать как $3 \cdot КНИГА = НАУКА$.

1. Умножение пятизначного числа на 3 дает пятизначное число. Значит, $К$ может быть 1, 2 или 3.

2. Последний разряд: $3 \cdot А$ оканчивается на А. Это возможно только если $А=0$ (с переносом 0) или $А=5$ (с переносом 1).

3. Анализ показывает, что $А=0$ не приводит к решению. Рассмотрим $А=5$. Тогда $3 \cdot 5 = 15$, последняя цифра 5 (А), перенос $c_Г = 1$.

4. Старший разряд: $3 \cdot К + c_К$ (перенос) $= Н$.

5. Разряд тысяч: $3 \cdot Н + c_Н$ (перенос) должно оканчиваться на А, то есть на 5. Проверим возможные значения Н:

• $3 \cdot 1 + 2 = 5 \implies Н=1, c_Н=2, c_К=0$.
• $3 \cdot 8 + 1 = 25 \implies Н=8, c_Н=1, c_К=2$.

• $Н=1, c_К=0 \implies 3К + 0 = 1$. Нет целого решения для К.
• $Н=8, c_К=2 \implies 3К + 2 = 8 \implies 3К=6 \implies К=2$. Этот вариант подходит.

6. Итак, мы нашли: $А=5, Н=8, К=2$.

7. Разряд десятков: $3 \cdot Г + c_Г = 3 \cdot Г + 1$ должно оканчиваться на К=2. Значит $3 \cdot Г$ должно оканчиваться на 1. Это возможно только если $Г=7$ ($3 \cdot 7=21$). Тогда $3 \cdot 7 + 1 = 22$, последняя цифра 2 (К), перенос $c_И = 2$.

8. Разряд сотен: $3 \cdot И + c_И = У + 10 \cdot c_Н$. Подставляем известные значения $c_И=2$ и $c_Н=1$: $3 \cdot И + 2 = У + 10 \implies 3И - 8 = У$. Используемые цифры: {2, 5, 7, 8}. Пробуем оставшиеся для И:

• Если $И=3$, то $У = 3 \cdot 3 - 8 = 1$. Цифры 3 и 1 не использовались. Это решение.
• Если $И=4$, то $У = 3 \cdot 4 - 8 = 4$, но $И \neq У$.
• Для $И \ge 6$ У будет двузначным числом.

9. Мы нашли все цифры: $К=2, Н=8, И=3, Г=7, А=5, У=1$.
Проверяем: $3 \cdot 28375 = 85125$.

Ответ: $28375 + 28375 + 28375 = 85125$.

Дан ребус на сложение трех чисел: $ДЕДКА + БАБКА + РЕПКА = СКАЗКА$.

1. Сумма трех пятизначных чисел — шестизначное число. Значит, $С=1$ или $С=2$.

2. Последний разряд: $А+А+А = 3А$ оканчивается на А. Значит, $А=0$ или $А=5$.

3. Разряд десятков: $К+К+К+c_1 = 3К+c_1$ оканчивается на К. Значит, $2К+c_1$ должно быть кратно 10.

• Если $А=5$, то $c_1=1$. Тогда $2К+1$ кратно 10, что невозможно для целого К.
• Следовательно, $А=0$ и $c_1=0$. Тогда $2К$ кратно 10. Поскольку $К \neq А$, то $К=5$.

Итак, $А=0, К=5$. Перенос из разряда десятков в разряд сотен $c_2 = (5+5+5)/10 = 1$.

4. Разряд тысяч (второй слева): $Е+А+Е+c_3 = А+10c_4 \implies 2Е+c_3=10c_4$. Так как $А=0$. $2Е+c_3$ должно быть кратно 10. $c_3$ (перенос из сотен) может быть 0, 1, 2. $c_3$ должно быть четным, т.е. 0 или 2.

• Если $c_3=0$, то $2Е=10 \implies Е=5$. Но $К=5$. Не подходит.
• Если $c_3=2$, то $2Е+2$ кратно 10. Это возможно при $Е=4$ ($2 \cdot 4+2=10 \implies c_4=1$) или $Е=9$ ($2 \cdot 9+2=20 \implies c_4=2$).

5. Проверим вариант $Е=4, c_3=2, c_4=1$.

• Разряд сотен: $Д+Б+П+c_2 = З+10c_3 \implies Д+Б+П+1 = З+20 \implies Д+Б+П = 19+З$.
• Старший разряд: $Д+Б+Р+c_4 = 10С+К \implies Д+Б+Р+1 = 10С+5$. Отсюда $Д+Б+Р$ должно оканчиваться на 4.
• Используемые цифры: А=0, К=5, Е=4. Оставшиеся: {1,2,3,6,7,8,9}.
• Из $Д+Б+П = 19+З$ и имеющихся цифр, можно подобрать $З=1$, тогда $Д+Б+П = 20$. Например, $9+8+3=20$.
• Теперь проверим $Д+Б+Р$ оканчивается на 4. Пусть $Д=9, Б=8$. Тогда $9+8+Р=17+Р$ оканчивается на 4. Это возможно, если $Р=7$ ($17+7=24$).
• Сумма $Д+Б+Р=24$. Подставим в уравнение старшего разряда: $24+1 = 10С+5 \implies 25=10С+5 \implies С=2$.

6. Мы нашли все цифры: $А=0, К=5, Е=4, С=2, Д=9, Б=8, Р=7, П=3, З=1$. Все они различны. Проверяем: $ДЕДКА = 94950$
$БАБКА = 80850$
$РЕПКА = 74350$
$94950 + 80850 + 74350 = 250150$. Результат $СКАЗКА = 250150$, что соответствует найденным цифрам.

Ответ: $94950 + 80850 + 74350 = 250150$.

C 685 Числовые ребусы.

Поставь вместо букв цифры так, чтобы указанные равенства выполнялись. Одним и тем же буквам в каждом примере всегда соответствуют одни и те же цифры, а разным — разные.

а) Морской

$\begin{array}{rc}& \text{К Р А Б} \\\times & 4 \\\cline{2-2}& \text{Б А Р К}\end{array}$

б) Туристский

$\begin{array}{rc}& \text{В А Г О Н} \\+ & \text{В А Г О Н} \\\cline{2-2}& \text{С О С Т А В}\end{array}$

в) Научный

$\begin{array}{rc}& \text{К Н И Г А} \\+ & \text{К Н И Г А} \\& \text{К Н И Г А} \\\cline{2-2}& \text{Н А У К А}\end{array}$

г) Сказочный

$\begin{array}{rc}& \text{Д Е Д К А} \\+ & \text{Б А Б К А} \\& \text{Р Е П К А} \\\cline{2-2}& \text{С К А З К А}\end{array}$