Номер 684, страница 158, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 684, страница 158.

Условие 2023.

684 Выполни действия:

a) $\underbrace{999\dots9}_{\text{100 цифр}} + 2;$

б) $\underbrace{999\dots9}_{\text{100 цифр}} + \underbrace{222\dots2}_{\text{100 цифр}};$

в) $\underbrace{333\dots3}_{\text{100 цифр}} \cdot 7;$

г) $\underbrace{333\dots3}_{\text{100 цифр}} \cdot 11.$

Решение 2 (2023).

а) Рассмотрим выражение $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + 2$.

Число, состоящее из 100 девяток, можно представить в виде $10^{100} - 1$.

Тогда наше выражение принимает вид: $(10^{100} - 1) + 2 = 10^{100} + 1$.

Число $10^{100}$ — это единица, за которой следуют 100 нулей. Прибавив к этому числу 1, мы получим число, которое начинается с единицы, затем следуют 99 нулей, и заканчивается оно единицей.

Другой способ — сложение в столбик. В разряде единиц $9+2=11$ (1 пишем, 1 в уме). В разряде десятков $9+1(\text{в уме})=10$ (0 пишем, 1 в уме). Это повторяется для всех 99 девяток. В итоге получаем 1 в начале, затем 99 нулей и 1 в конце. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $1\underbrace{00...0}_{99}1$.

б) Рассмотрим сумму двух чисел: $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + \underbrace{222...2}_{100 \text{ цифр}}$.

Выполним сложение в столбик. При сложении разряда единиц получаем $9 + 2 = 11$. Пишем 1 и 1 переносим в следующий разряд.

Для разряда десятков получаем $9 + 2 + 1(\text{в уме}) = 12$. Пишем 2 и 1 переносим в следующий разряд.

Это повторяется для всех разрядов, кроме первого и последнего. Для каждого из 98 промежуточных разрядов результат сложения будет 12, поэтому мы будем писать 2 и переносить 1.

Для самого старшего, сотого, разряда также получаем $9 + 2 + 1(\text{в уме}) = 12$. Мы пишем 2, и 1 переносится в новый, сто первый разряд.

В результате получается число, которое начинается с 1, за ней следуют 99 двоек, и заканчивается оно единицей. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $1\underbrace{22...2}_{99}1$.

в) Рассмотрим произведение $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 7$.

Представим число, состоящее из 100 троек, как $3 \cdot \underbrace{111...1}_{100 \text{ цифр}}$.

Тогда выражение можно переписать как $3 \cdot \underbrace{111...1}_{100 \text{ цифр}} \cdot 7 = 21 \cdot \underbrace{111...1}_{100 \text{ цифр}}$.

Умножим $\underbrace{111...1}_{100}$ на 21, представив 21 как $(20+1)$:

$21 \cdot \underbrace{111...1}_{100} = 20 \cdot \underbrace{111...1}_{100} + \underbrace{111...1}_{100} = \underbrace{222...2}_{100}0 + \underbrace{111...1}_{100}$.

Складывая эти два числа в столбик, получим: в разряде единиц $0+1=1$, в следующих 99 разрядах $2+1=3$, и в самом старшем (сто первом) разряде будет 2.

В результате получается число, которое начинается с 2, за ней следуют 99 троек, и заканчивается оно единицей. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $2\underbrace{33...3}_{99}1$.

г) Рассмотрим произведение $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 11$.

Представим умножение на 11 как сумму числа, умноженного на 10, и самого этого числа: $\underbrace{333...3}_{100} \cdot (10+1) = \underbrace{333...3}_{100}0 + \underbrace{333...3}_{100}$.

При сложении этих чисел столбиком получим следующий результат. В разряде единиц будет $0+3=3$. В разрядах с десятков по сотый включительно будет $3+3=6$ (всего 99 шестерок). В самом старшем (сто первом) разряде будет 3.

Таким образом, в результате получается число, которое начинается с 3, за ней следуют 99 шестёрок, и заканчивается оно тройкой. Итоговое число состоит из 101 цифры.

Ответ: $3\underbrace{66...6}_{99}3$.

Условие 2010-2022.

684 Выполни действия:

а) $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + 2;$

б) $\underbrace{999...9}_{100 \text{ цифр}} + \underbrace{222...2}_{100 \text{ цифр}};$

в) $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 7;$

г) $\underbrace{333...3}_{100 \text{ цифр}} \cdot 11.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).