Страница 160, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 686 Перегни лист бумаги так, как показано на рисунке. Отметь на линиях сгиба равные отрезки $OA$ и $OB$, сделай разрез по отрезку $AB$ и разверни лист. Как называется полученная фигура? Какими видами симметрии она обладает?

а) б)

а)

При сгибании листа бумаги вчетверо, как показано на рисунке, мы получаем квадрат меньшего размера, где один из углов (назовем его O) является центром исходного листа. На сторонах этого угла, которые являются линиями сгиба, откладываются равные отрезки $OA$ и $OB$. Разрез по прямой $AB$ отсекает от сложенного листа равнобедренный прямоугольный треугольник $OAB$.

Рассмотрим процесс разворачивания листа:

1. При первом развороте (например, по вертикальной линии сгиба) отсеченный треугольник $OAB$ зеркально отображается. В результате на сложенном вдвое листе (прямоугольнике) образуется вырез в форме равнобедренного треугольника с вершиной в точке $O$.
2. При втором развороте (по горизонтальной линии сгиба) этот треугольный вырез также зеркально отображается. Два треугольных выреза объединяются в одну фигуру в центре исходного квадрата. Эта фигура является ромбом, диагонали которого — это удвоенные отрезки $OA$ и $OB$. Так как по условию $OA = OB$, диагонали ромба равны, а значит, этот ромб является квадратом.

Таким образом, полученная фигура — это исходный квадрат с квадратным отверстием в центре.

Эта фигура обладает всеми видами симметрии, что и квадрат:

• Осевая симметрия: она имеет 4 оси симметрии. Две оси проходят через середины противоположных сторон квадрата, и еще две — это его диагонали.
• Центральная симметрия: она симметрична относительно своего центра.
• Поворотная симметрия: она совпадает сама с собой при поворотах на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ вокруг центра. Это поворотная симметрия 4-го порядка.

Ответ: Полученная фигура — квадрат с квадратным отверстием в центре. Она обладает четырьмя осями симметрии, центральной симметрией и поворотной симметрией 4-го порядка.

б)

Лист бумаги сначала сгибается по диагонали, образуя равнобедренный прямоугольный треугольник. Затем два острых угла этого треугольника загибаются к центру, как показано на рисунке. После этого делается прямой разрез, отсекающий верхнюю часть получившейся фигуры.

Проследим, что произойдет при разворачивании:

1. Сначала разворачиваются два загнутых уголка. Разрез, сделанный на центральной части, зеркально отобразится на этих двух развернутых частях.
2. Затем лист разворачивается по диагонали. Весь получившийся узор зеркально отображается относительно этой диагонали.

В итоге на листе бумаги будет вырезан узор, похожий на восьмиконечную звезду или снежинку. Эта фигура называется октаграмма.

Виды симметрии полученной фигуры:

• Осевая симметрия: фигура имеет 2 оси симметрии. Этими осями являются диагонали исходного квадрата. Линии, проходящие через середины сторон, не являются осями симметрии из-за начального сгиба по диагонали.
• Центральная симметрия: фигура симметрична относительно своего центра (центра исходного квадрата).
• Поворотная симметрия: фигура совпадает сама с собой при повороте на $180^\circ$ вокруг центра. Это поворотная симметрия 2-го порядка.

Ответ: Полученная фигура — восьмиконечная звезда (октаграмма). Она обладает двумя осями симметрии (диагоналями квадрата), центральной симметрией и поворотной симметрией 2-го порядка.

K 686. Перегни лист бумаги так, как показано на рисунке. Отметь на линиях сгиба равные отрезки $OA$ и $OB$, сделай разрез по отрезку $AB$ и разверни лист. Как называется полученная фигура? Какими видами симметрии она обладает?

a) б)