Страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

653 Построй фигуры, симметричные сектору круга (рис. 123a) и сегменту круга (рис. 123б) относительно точки O.

а) б) Рис. 123

а) Для построения фигуры, симметричной сектору круга AOB относительно центра O, необходимо построить точки, симметричные ключевым точкам сектора, а именно A, B и самому центру O.
Симметрия относительно точки (центральная симметрия) означает, что для любой точки фигуры X нужно найти такую точку X', что точка O является серединой отрезка XX'.
1. Точка O симметрична самой себе, так как она является центром симметрии.
2. Чтобы найти точку A', симметричную точке A, нужно провести прямую через точки A и O и отложить на ней от точки O отрезок OA' равный отрезку OA, так, чтобы O была между A и A'. Точка A' будет лежать на окружности и будет диаметрально противоположна точке A. Судя по рисунку, точка A находится на 2 клетки левее O, значит, точка A' будет находиться на 2 клетки правее O.
3. Аналогично, чтобы найти точку B', симметричную точке B, проведем прямую через B и O и отложим отрезок OB' = OB. Точка B' будет диаметрально противоположна точке B. Судя по рисунку, точка B находится на 2 клетки выше O, значит, точка B' будет находиться на 2 клетки ниже O.
Соединив точки A', O и B' радиусами OA' и OB', мы получим сектор A'OB', который и является симметричным исходному сектору AOB относительно точки O. Этот новый сектор будет расположен в нижней правой четверти круга.
Ответ: Фигура, симметричная сектору AOB, является сектор A'OB', расположенный в нижней правой четверти круга, где точки A' и B' диаметрально противоположны точкам A и B соответственно.

б) Для построения фигуры, симметричной сегменту круга, ограниченному хордой CD, относительно центра O, необходимо построить точки, симметричные концам хорды, то есть точкам C и D.
1. Найдём точку C', симметричную точке C относительно O. Для этого соединим C и O и продолжим этот отрезок на такое же расстояние. Глядя на сетку, точка C имеет координаты (-1, 2) относительно центра O (если считать O за (0,0) и размер клетки за 1). Тогда симметричная точка C' будет иметь координаты (1, -2), то есть на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз от O.
2. Найдём точку D', симметричную точке D относительно O. Точка D имеет координаты (2, 1) относительно O. Тогда симметричная ей точка D' будет иметь координаты (-2, -1), то есть на 2 клетки влево и 1 клетку вниз от O.
Соединив точки C' и D' хордой, мы получим сегмент, ограниченный этой хордой C'D' и дугой окружности C'D'. Этот новый сегмент и будет симметричен исходному сегменту относительно точки O. Он будет расположен в нижней левой части круга.
Ответ: Фигура, симметричная сегменту, ограниченному хордой CD, является сегмент, ограниченный хордой C'D', где точки C' и D' симметричны точкам C и D относительно центра O.

653 Построй фигуры, симметричные сектору круга (рис. 123, а) и сегменту круга (рис. 123, б) относительно точки $O$.

Рис. 123

654 Проведи на бумаге без клеток прямую $l$ и ломаную $ABCD$, которая пересекает прямую $l$:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

Построй фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$.

Для построения фигуры, симметричной ломаной `$ABCD$` относительно прямой `$l$`, необходимо построить точки `$A'$, `$B'`, `$C'`, `$D'`, которые симметричны вершинам ломаной `$A, B, C, D$` соответственно. Затем эти новые точки нужно соединить отрезками в том же порядке, чтобы получить искомую ломаную `$A'B'C'D'$`.

Построение точки `$P'$`, симметричной точке `$P$` относительно прямой `$l$`, выполняется в несколько шагов. Сначала из точки `$P$` нужно опустить перпендикуляр на прямую `$l$`. Обозначим точку их пересечения как `$H$`. Затем на продолжении перпендикуляра за точку `$H$` следует отложить отрезок `$HP'$`, равный отрезку `$PH$`. Полученная точка `$P'$` и будет искомой точкой, симметричной точке `$P$` относительно прямой `$l$`. Если какая-либо вершина ломаной лежит на самой прямой `$l$`, то она симметрична самой себе, то есть ее симметричная точка совпадает с ней.

Сначала проведем на бумаге прямую `$l$` и ломаную `$ABCD$` так, чтобы они пересекались ровно в одной точке. Это можно сделать, например, если прямая `$l$` пересекает одно из звеньев ломаной (например, звено `$BC$`) в некоторой точке `$K$`, но не пересекает другие ее звенья.

Для построения симметричной ломаной `$A'B'C'D'$` необходимо последовательно построить точки `$A'$, `$B'$, `$C'$, `$D'$`, симметричные вершинам `$A, B, C, D$`. Для этого для каждой вершины выполняем описанную выше процедуру: опускаем перпендикуляр на прямую `$l$` и откладываем такое же расстояние по другую сторону от прямой. После того как все четыре симметричные вершины `$A', B', C', D'$` найдены, соединяем их последовательно отрезками. В результате получаем ломаную `$A'B'C'D'$`.

Эта новая ломаная будет симметричным отражением ломаной `$ABCD$` относительно прямой `$l$`. Точка пересечения `$K$` лежит на оси симметрии `$l$`, поэтому она симметрична самой себе. Это значит, что построенная ломаная `$A'B'C'D'$` также пройдет через точку `$K$`. Таким образом, исходная и симметричная ей ломаные будут пересекаться в той же единственной точке `$K$` на прямой `$l$`.

Ответ: Построение сводится к нахождению точек `$A', B', C', D'$`, симметричных вершинам исходной ломаной `$A, B, C, D$` относительно прямой `$l$`, и их последующему соединению отрезками в том же порядке. Полученная ломаная `$A'B'C'D'$` будет симметрична ломаной `$ABCD$`.

Проведем на бумаге прямую `$l$` и ломаную `$ABCD$` так, чтобы они имели две общие точки. Например, прямая `$l$` может пересекать два разных звена ломаной, скажем, звено `$AB$` в точке `$K_1$` и звено `$CD$` в точке `$K_2$`.

Построение симметричной ломаной `$A'B'C'D'$` выполняется точно так же, как и в предыдущем случае. Для каждой из вершин `$A, B, C, D$` находим симметричную ей точку `$A', B', C', D'$` относительно прямой `$l$`. Затем последовательно соединяем отрезками полученные точки: `$A'B'`, `$B'C'`, `$C'D'$`.

Полученная ломаная `$A'B'C'D'$` будет симметрична исходной ломаной `$ABCD$` относительно прямой `$l$`. Точки пересечения `$K_1$` и `$K_2$` лежат на оси симметрии `$l$`, а значит, они симметричны самим себе. Следовательно, построенная симметричная ломаная `$A'B'C'D'$` также пройдет через эти две точки. Исходная и симметричная ломаные будут пересекаться в двух точках `$K_1$` и `$K_2$`, лежащих на прямой `$l$`.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения точек, симметричных вершинам исходной ломаной `$A, B, C, D$` относительно прямой `$l$`, и их последующего соединения. Полученная ломаная `$A'B'C'D'$` будет симметрична ломаной `$ABCD$`.

654 Проведи на бумаге без клеток прямую $l$ и ломаную $ABCD$, которая пересекает прямую $l$: а) в одной точке; б) в двух точках. Построй фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$.

655 Начерти отрезок $AC$ и построй его серединный перпендикуляр $l$. Отметь на прямой $l$ точку $B$ и проведи отрезки $AB$ и $BC$. Пользуясь свойствами симметрии, докажи, что:

а) треугольник $ABC$ – равнобедренный;

б) углы при основании треугольника $ABC$ равны;

в) медианы, проведённые к боковым сторонам треугольника $ABC$, равны.

Построим отрезок $AC$ и его серединный перпендикуляр $l$. Отметим на прямой $l$ точку $B$ и проведем отрезки $AB$ и $BC$. Прямая $l$ является осью симметрии для отрезка $AC$.

а) докажи, что: треугольник ABC – равнобедренный;
Прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, а значит, и осью симметрии для точек $A$ и $C$. По свойству осевой симметрии, каждая точка оси симметрии равноудалена от двух симметричных точек. Точка $B$ лежит на оси симметрии $l$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $B$ до точки $C$, то есть $AB = BC$.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Так как $AB = BC$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.
Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

б) докажи, что: углы при основании треугольника ABC равны;
Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $l$. При этой симметрии точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ – в точку $A$. Точка $B$ лежит на оси симметрии, поэтому она переходит сама в себя.
Следовательно, луч $BA$ переходит в луч $BC$, а луч $CA$ переходит в луч $AC$. Таким образом, угол $BAC$ при симметрии отображается на угол $BCA$.
Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния и углы. Поэтому величина угла $BAC$ равна величине угла $BCA$.
$∠BAC = ∠BCA$.
Ответ: Углы при основании $AC$ треугольника $ABC$ равны, что и требовалось доказать.

в) докажи, что: медианы, проведённые к боковым сторонам треугольника ABC, равны.
Боковыми сторонами равнобедренного треугольника $ABC$ являются стороны $AB$ и $BC$. Проведем медиану $AM_1$ к стороне $BC$ и медиану $CM_2$ к стороне $AB$. Это означает, что точка $M_1$ – середина отрезка $BC$, а точка $M_2$ – середина отрезка $AB$.
Рассмотрим ту же осевую симметрию относительно прямой $l$. Как мы установили, при этой симметрии точка $A$ переходит в $C$, $C$ в $A$, а $B$ в $B$.
Следовательно, отрезок $AB$ симметрично отображается на отрезок $CB$. Так как осевая симметрия сохраняет расстояния, она также отображает середину отрезка в середину симметричного ему отрезка. Значит, середина отрезка $AB$, точка $M_2$, отображается на середину отрезка $CB$, точку $M_1$.
Теперь рассмотрим медиану $AM_1$. При симметрии точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $M_1$ переходит в точку $M_2$. Следовательно, отрезок (медиана) $AM_1$ отображается на отрезок (медиану) $CM_2$.
Так как осевая симметрия сохраняет расстояния (длины отрезков), то длина отрезка $AM_1$ равна длине отрезка $CM_2$.
$AM_1 = CM_2$.
Ответ: Медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника $ABC$, равны, что и требовалось доказать.

655 Начерти отрезок $AC$ и построй его серединный перпендикуляр $l$. Отметь на прямой $l$ точку $B$ и проведи отрезки $AB$ и $BC$. Пользуясь свойствами симметрии, докажи, что:

а) треугольник $\triangle ABC$ – равнобедренный;

б) углы при основании треугольника $\triangle ABC$ равны;

в) медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника $\triangle ABC$, равны.

656 Начерти отрезок $AB$ и отметь точку $O \notin AB$. Построй отрезок $A_1 B_1$, симметричный отрезок $AB$ относительно точки $O$. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков $AB$ и $A_1 B_1$?

Задача состоит из двух частей: сначала нужно выполнить построение, а затем на его основе ответить на вопрос о равенстве фигур.

Построение отрезка $A_1B_1$, симметричного отрезку $AB$ относительно точки $O$

Чтобы построить отрезок, симметричный данному относительно точки, необходимо построить точки, симметричные концам данного отрезка, и соединить их.

1. Начертим произвольный отрезок $AB$ и точку $O$, не лежащую на прямой, содержащей этот отрезок.
2. Проведем прямую через точки $A$ и $O$. На продолжении луча $AO$ за точку $O$ отложим отрезок $OA_1$, длина которого равна длине отрезка $OA$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$. Точка $A_1$ — это образ точки $A$ при симметрии относительно $O$.
3. Проведем прямую через точки $B$ и $O$. Аналогично, на продолжении луча $BO$ за точку $O$ отложим отрезок $OB_1$, равный по длине отрезку $OB$. Точка $O$ будет серединой отрезка $BB_1$. Точка $B_1$ — это образ точки $B$.
4. Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ и является искомым отрезком, симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков $AB$ и $A_1B_1$?

Центральная симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Из этого основного свойства, а также из самого построения, следует равенство (конгруэнтность) нескольких геометрических фигур.

1. Поскольку симметрия сохраняет расстояния, любая фигура равна своему образу. Следовательно, отрезок $AB$ равен отрезку $A_1B_1$. Это означает, что их длины равны:
$AB = A_1B_1$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$. Мы можем доказать их равенство, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• Сторона $AO$ равна стороне $A_1O$ (по построению, так как точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно $O$).
• Сторона $BO$ равна стороне $B_1O$ (по построению, так как точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно $O$).
• Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A_1OB_1$ (так как они являются вертикальными).

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle A_1OB_1$:
$\triangle AOB \cong \triangle A_1OB_1$.

Ответ: Из симметрии отрезков $AB$ и $A_1B_1$ относительно точки $O$ следует равенство (конгруэнтность) следующих геометрических фигур: 1) отрезка $AB$ и отрезка $A_1B_1$ (т.е. $AB = A_1B_1$); 2) треугольника $AOB$ и треугольника $A_1OB_1$ (т.е. $\triangle AOB \cong \triangle A_1OB_1$).

656 Начерти отрезок $AB$ и отметить точку $O \notin AB$. Построй отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезок $AB$ относительно точки $O$. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков $AB$ и $A_1B_1$?

657. Перенеси рис. 124 в тетрадь и построй на прямой $l$ точку $C$ так, чтобы длина ломаной $ACB$ была наименьшей.

Рис. 124

Рис. 125

Для нахождения на прямой $l$ точки $C$ такой, чтобы длина ломаной $ACB$ была наименьшей, необходимо использовать метод осевой симметрии. Идея состоит в том, чтобы "выпрямить" ломаную $ACB$ в одну прямую линию, длина которой будет минимально возможной.

Порядок построения

1. Выберем одну из точек, например $B$, и построим для нее симметричную точку $B'$ относительно прямой $l$. Для этого:

   • Проведем через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.

   • Измерим расстояние от точки $B$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра.

   • Отложим такое же расстояние на перпендикуляре по другую сторону от прямой $l$. Полученная точка будет являться точкой $B'$.

2. Соединим отрезком точку $A$ и построенную симметричную точку $B'$.

3. Точка пересечения отрезка $AB'$ с прямой $l$ и будет искомой точкой $C$.

Обоснование

Длина ломаной линии равна сумме длин ее сегментов: $L = AC + CB$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $C$, лежащей на прямой $l$, расстояние до симметричных точек $B$ и $B'$ одинаково, то есть $CB = CB'$.

Тогда длину ломаной можно записать как $L = AC + CB'$.

Сумма длин отрезков $AC$ и $CB'$ будет наименьшей, когда точки $A$, $C$ и $B'$ лежат на одной прямой (согласно аксиоме, кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая).

Наше построение как раз и обеспечивает, что точка $C$ лежит на отрезке $AB'$, что и делает сумму $AC + CB'$ (а значит, и $AC + CB$) минимальной.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой $l$ с отрезком $AB'$, где $B'$ — точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $l$.

657 Перенеси рис. 124 в тетрадь и построй на прямой $l$ точку $C$ так, чтобы длина ломаной $ACB$ была наименьшей.

Рис. 124

Рис. 125

Рис. 124

Рис. 125

658 Пожарная машина должна как можно быстрее добраться до горящего дома, заехав на реку за водой (рис. 125). Воспроизведи рисунок и построй кратчайший путь пожарной машины.

Решение

Пусть M — начальное положение пожарной машины, D — положение горящего дома, а прямая, изображающая реку, — это прямая l. Задача состоит в том, чтобы найти на прямой l такую точку P, чтобы сумма расстояний $MP + PD$ была наименьшей, так как кратчайшее время соответствует кратчайшему пути.

Эта задача является классической задачей на нахождение минимума и решается с помощью геометрического построения, основанного на осевой симметрии.

Построение кратчайшего пути:

1. Воспроизводим рисунок на клетчатой бумаге или в тетради. Обозначаем точку, где находится пожарная машина, как M, а точку, где находится горящий дом, — как D. Прямая, изображающая реку, будет осью.

2. Строим точку D', симметричную точке D относительно прямой l (реки). Для этого из точки D опускаем перпендикуляр на прямую l и на его продолжении за прямую откладываем отрезок, равный длине этого перпендикуляра. Если точка D находится на расстоянии h от реки, то точка D' будет находиться на том же расстоянии h от реки, но с противоположной стороны, на той же перпендикулярной линии.

3. Соединяем прямой линией начальную точку M (пожарная машина) с построенной симметричной точкой D'.

4. Точка пересечения отрезка MD' с прямой l (рекой) и есть искомая точка P, в которой машине следует заехать за водой.

5. Кратчайший путь пожарной машины будет состоять из двух отрезков: MP и PD. Этот путь представляет собой ломаную линию MPD.

Обоснование:

По свойству осевой симметрии, для любой точки P, лежащей на оси симметрии l, расстояние до точки D равно расстоянию до ее симметричного образа D'. То есть, $PD = PD'$.

Следовательно, длина всего пути $L = MP + PD$ может быть представлена как $L = MP + PD'$.

Сумма длин двух отрезков $MP + PD'$ будет наименьшей, когда точки M, P и D' лежат на одной прямой. Это следует из неравенства треугольника: для любой другой точки P₁ на прямой l, точки M, P₁ и D' образуют треугольник, и сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны: $MP_1 + P_1D' > MD'$.

Таким образом, построенный путь, где точка P лежит на отрезке MD', является кратчайшим.

Ответ: Кратчайший путь пожарной машины — это ломаная линия MPD, где P — это точка пересечения прямой, изображающей реку, с отрезком, соединяющим точку M (начальное положение машины) и точку D' (точку, симметричную горящему дому D относительно прямой реки).

658 Пожарная машина должна как можно быстрее добраться до горящего дома, заехав на реку за водой (рис. 125). Воспроизведи рисунок и построй кратчайший путь пожарной машины.

659 Вычисли устно:

а) $2 \cdot 31,8 \cdot 500$;

б) $0,574 \cdot 25 \cdot 4$;

в) $12,5 \cdot 9,2 \cdot 80$;

г) $5,26 \cdot 0,4 \cdot 50$;

д) $0,025 \cdot 7,2 \cdot 40$;

е) $0,2 \cdot 16,4 \cdot 0,5 \cdot 0,1$.

а) Используя сочетательное свойство умножения, сгруппируем множители для упрощения вычислений: $2 \cdot 31,8 \cdot 500 = (2 \cdot 500) \cdot 31,8$. Выполним умножение в скобках: $2 \cdot 500 = 1000$. Теперь умножим результат на $31,8$: $1000 \cdot 31,8 = 31800$. Ответ: 31800

б) Сгруппируем множители для удобства: $0,574 \cdot 25 \cdot 4 = 0,574 \cdot (25 \cdot 4)$. Сначала вычислим произведение $25 \cdot 4 = 100$. Затем умножим $0,574$ на $100$, переместив запятую на два знака вправо: $0,574 \cdot 100 = 57,4$. Ответ: 57,4

в) Перегруппируем множители: $12,5 \cdot 9,2 \cdot 80 = (12,5 \cdot 80) \cdot 9,2$. Умножим $12,5$ на $80$: $12,5 \cdot 80 = 12,5 \cdot 8 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000$. Теперь умножим $1000$ на $9,2$: $1000 \cdot 9,2 = 9200$. Ответ: 9200

г) Сгруппируем множители следующим образом: $5,26 \cdot 0,4 \cdot 50 = 5,26 \cdot (0,4 \cdot 50)$. Вычислим произведение в скобках: $0,4 \cdot 50 = 4 \cdot 5 = 20$. Затем умножим $5,26$ на $20$: $5,26 \cdot 20 = 5,26 \cdot 2 \cdot 10 = 10,52 \cdot 10 = 105,2$. Ответ: 105,2

д) Переставим и сгруппируем множители: $0,025 \cdot 7,2 \cdot 40 = (0,025 \cdot 40) \cdot 7,2$. Вычислим произведение $0,025 \cdot 40 = 0,025 \cdot 4 \cdot 10 = 0,1 \cdot 10 = 1$. Теперь умножим $1$ на $7,2$: $1 \cdot 7,2 = 7,2$. Ответ: 7,2

е) Сгруппируем множители для удобства вычислений: $0,2 \cdot 16,4 \cdot 0,5 \cdot 0,1 = (0,2 \cdot 0,5) \cdot 16,4 \cdot 0,1$. Произведение $0,2 \cdot 0,5 = 0,1$. Теперь выражение выглядит так: $0,1 \cdot 16,4 \cdot 0,1$. Умножим $16,4$ на $0,1$: $16,4 \cdot 0,1 = 1,64$. И наконец, умножим $1,64$ на оставшийся множитель $0,1$: $1,64 \cdot 0,1 = 0,164$. Ответ: 0,164

659 Вычисли устно:

а) $2 \cdot 31,8 \cdot 500;$

б) $0,574 \cdot 25 \cdot 4;$

в) $12,5 \cdot 9,2 \cdot 80;$

г) $5,26 \cdot 0,4 \cdot 50;$

д) $0,025 \cdot 7,2 \cdot 40;$

е) $0,2 \cdot 16,4 \cdot 0,5 \cdot 0,1.$