Номер 654, страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 654, страница 154.

Условие 2023.

654 Проведи на бумаге без клеток прямую $l$ и ломаную $ABCD$, которая пересекает прямую $l$:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

Построй фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$.

Решение 2 (2023).

Для построения фигуры, симметричной ломаной `$ABCD$` относительно прямой `$l$`, необходимо построить точки `$A'$, `$B'`, `$C'`, `$D'`, которые симметричны вершинам ломаной `$A, B, C, D$` соответственно. Затем эти новые точки нужно соединить отрезками в том же порядке, чтобы получить искомую ломаную `$A'B'C'D'$`.

Построение точки `$P'$`, симметричной точке `$P$` относительно прямой `$l$`, выполняется в несколько шагов. Сначала из точки `$P$` нужно опустить перпендикуляр на прямую `$l$`. Обозначим точку их пересечения как `$H$`. Затем на продолжении перпендикуляра за точку `$H$` следует отложить отрезок `$HP'$`, равный отрезку `$PH$`. Полученная точка `$P'$` и будет искомой точкой, симметричной точке `$P$` относительно прямой `$l$`. Если какая-либо вершина ломаной лежит на самой прямой `$l$`, то она симметрична самой себе, то есть ее симметричная точка совпадает с ней.

а)

Сначала проведем на бумаге прямую `$l$` и ломаную `$ABCD$` так, чтобы они пересекались ровно в одной точке. Это можно сделать, например, если прямая `$l$` пересекает одно из звеньев ломаной (например, звено `$BC$`) в некоторой точке `$K$`, но не пересекает другие ее звенья.

Для построения симметричной ломаной `$A'B'C'D'$` необходимо последовательно построить точки `$A'$, `$B'$, `$C'$, `$D'$`, симметричные вершинам `$A, B, C, D$`. Для этого для каждой вершины выполняем описанную выше процедуру: опускаем перпендикуляр на прямую `$l$` и откладываем такое же расстояние по другую сторону от прямой. После того как все четыре симметричные вершины `$A', B', C', D'$` найдены, соединяем их последовательно отрезками. В результате получаем ломаную `$A'B'C'D'$`.

Эта новая ломаная будет симметричным отражением ломаной `$ABCD$` относительно прямой `$l$`. Точка пересечения `$K$` лежит на оси симметрии `$l$`, поэтому она симметрична самой себе. Это значит, что построенная ломаная `$A'B'C'D'$` также пройдет через точку `$K$`. Таким образом, исходная и симметричная ей ломаные будут пересекаться в той же единственной точке `$K$` на прямой `$l$`.

Ответ: Построение сводится к нахождению точек `$A', B', C', D'$`, симметричных вершинам исходной ломаной `$A, B, C, D$` относительно прямой `$l$`, и их последующему соединению отрезками в том же порядке. Полученная ломаная `$A'B'C'D'$` будет симметрична ломаной `$ABCD$`.

б)

Проведем на бумаге прямую `$l$` и ломаную `$ABCD$` так, чтобы они имели две общие точки. Например, прямая `$l$` может пересекать два разных звена ломаной, скажем, звено `$AB$` в точке `$K_1$` и звено `$CD$` в точке `$K_2$`.

Построение симметричной ломаной `$A'B'C'D'$` выполняется точно так же, как и в предыдущем случае. Для каждой из вершин `$A, B, C, D$` находим симметричную ей точку `$A', B', C', D'$` относительно прямой `$l$`. Затем последовательно соединяем отрезками полученные точки: `$A'B'`, `$B'C'`, `$C'D'$`.

Полученная ломаная `$A'B'C'D'$` будет симметрична исходной ломаной `$ABCD$` относительно прямой `$l$`. Точки пересечения `$K_1$` и `$K_2$` лежат на оси симметрии `$l$`, а значит, они симметричны самим себе. Следовательно, построенная симметричная ломаная `$A'B'C'D'$` также пройдет через эти две точки. Исходная и симметричная ломаные будут пересекаться в двух точках `$K_1$` и `$K_2$`, лежащих на прямой `$l$`.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения точек, симметричных вершинам исходной ломаной `$A, B, C, D$` относительно прямой `$l$`, и их последующего соединения. Полученная ломаная `$A'B'C'D'$` будет симметрична ломаной `$ABCD$`.

Условие 2010-2022.

654 Проведи на бумаге без клеток прямую $l$ и ломаную $ABCD$, которая пересекает прямую $l$: а) в одной точке; б) в двух точках. Построй фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).