Номер 654, страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

654 Проведи на бумаге без клеток прямую $l$ и ломаную $ABCD$, которая пересекает прямую $l$:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

Построй фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$.

Для построения фигуры, симметричной ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$, необходимо построить точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, которые симметричны вершинам ломаной $A, B, C, D$ соответственно. Затем эти новые точки нужно соединить отрезками в том же порядке, чтобы получить искомую ломаную $A'B'C'D'$.

Построение точки $P'$, симметричной точке $P$ относительно прямой $l$, выполняется в несколько шагов. Сначала из точки $P$ нужно опустить перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения как $H$. Затем на продолжении перпендикуляра за точку $H$ следует отложить отрезок $HP'$, равный отрезку $PH$. Полученная точка $P'$ и будет искомой точкой, симметричной точке $P$ относительно прямой $l$. Если какая-либо вершина ломаной лежит на самой прямой $l$, то она симметрична самой себе, то есть ее симметричная точка совпадает с ней.

а)

Сначала проведем на бумаге прямую $l$ и ломаную $ABCD$ так, чтобы они пересекались ровно в одной точке. Это можно сделать, например, если прямая $l$ пересекает одно из звеньев ломаной (например, звено $BC$) в некоторой точке $K$, но не пересекает другие ее звенья.

Для построения симметричной ломаной $A'B'C'D'$ необходимо последовательно построить точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, симметричные вершинам $A, B, C, D$. Для этого для каждой вершины выполняем описанную выше процедуру: опускаем перпендикуляр на прямую $l$ и откладываем такое же расстояние по другую сторону от прямой. После того как все четыре симметричные вершины $A', B', C', D'$ найдены, соединяем их последовательно отрезками. В результате получаем ломаную $A'B'C'D'$.

Эта новая ломаная будет симметричным отражением ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$. Точка пересечения $K$ лежит на оси симметрии $l$, поэтому она симметрична самой себе. Это значит, что построенная ломаная $A'B'C'D'$ также пройдет через точку $K$. Таким образом, исходная и симметричная ей ломаные будут пересекаться в той же единственной точке $K$ на прямой $l$.

Ответ: Построение сводится к нахождению точек $A', B', C', D'$, симметричных вершинам исходной ломаной $A, B, C, D$ относительно прямой $l$, и их последующему соединению отрезками в том же порядке. Полученная ломаная $A'B'C'D'$ будет симметрична ломаной $ABCD$.

б)

Проведем на бумаге прямую $l$ и ломаную $ABCD$ так, чтобы они имели две общие точки. Например, прямая $l$ может пересекать два разных звена ломаной, скажем, звено $AB$ в точке $K_1$ и звено $CD$ в точке $K_2$.

Построение симметричной ломаной $A'B'C'D'$ выполняется точно так же, как и в предыдущем случае. Для каждой из вершин $A, B, C, D$ находим симметричную ей точку $A', B', C', D'$ относительно прямой $l$. Затем последовательно соединяем отрезками полученные точки: $A'B'$, $B'C'$, $C'D'$.

Полученная ломаная $A'B'C'D'$ будет симметрична исходной ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$. Точки пересечения $K_1$ и $K_2$ лежат на оси симметрии $l$, а значит, они симметричны самим себе. Следовательно, построенная симметричная ломаная $A'B'C'D'$ также пройдет через эти две точки. Исходная и симметричная ломаные будут пересекаться в двух точках $K_1$ и $K_2$, лежащих на прямой $l$.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения точек, симметричных вершинам исходной ломаной $A, B, C, D$ относительно прямой $l$, и их последующего соединения. Полученная ломаная $A'B'C'D'$ будет симметрична ломаной $ABCD$.

654 Проведи на бумаге без клеток прямую $l$ и ломаную $ABCD$, которая пересекает прямую $l$: а) в одной точке; б) в двух точках. Построй фигуру, симметричную ломаной $ABCD$ относительно прямой $l$.