Номер 655, страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 655, страница 154.

Условие 2023.

655 Начерти отрезок $AC$ и построй его серединный перпендикуляр $l$. Отметь на прямой $l$ точку $B$ и проведи отрезки $AB$ и $BC$. Пользуясь свойствами симметрии, докажи, что:

а) треугольник $ABC$ – равнобедренный;

б) углы при основании треугольника $ABC$ равны;

в) медианы, проведённые к боковым сторонам треугольника $ABC$, равны.

Решение 2 (2023).

Построим отрезок $AC$ и его серединный перпендикуляр $l$. Отметим на прямой $l$ точку $B$ и проведем отрезки $AB$ и $BC$. Прямая $l$ является осью симметрии для отрезка $AC$.

а) докажи, что: треугольник ABC – равнобедренный;
Прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, а значит, и осью симметрии для точек $A$ и $C$. По свойству осевой симметрии, каждая точка оси симметрии равноудалена от двух симметричных точек. Точка $B$ лежит на оси симметрии $l$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $B$ до точки $C$, то есть $AB = BC$.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Так как $AB = BC$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.
Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

б) докажи, что: углы при основании треугольника ABC равны;
Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $l$. При этой симметрии точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ – в точку $A$. Точка $B$ лежит на оси симметрии, поэтому она переходит сама в себя.
Следовательно, луч $BA$ переходит в луч $BC$, а луч $CA$ переходит в луч $AC$. Таким образом, угол $BAC$ при симметрии отображается на угол $BCA$.
Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния и углы. Поэтому величина угла $BAC$ равна величине угла $BCA$.
$∠BAC = ∠BCA$.
Ответ: Углы при основании $AC$ треугольника $ABC$ равны, что и требовалось доказать.

в) докажи, что: медианы, проведённые к боковым сторонам треугольника ABC, равны.
Боковыми сторонами равнобедренного треугольника $ABC$ являются стороны $AB$ и $BC$. Проведем медиану $AM_1$ к стороне $BC$ и медиану $CM_2$ к стороне $AB$. Это означает, что точка $M_1$ – середина отрезка $BC$, а точка $M_2$ – середина отрезка $AB$.
Рассмотрим ту же осевую симметрию относительно прямой $l$. Как мы установили, при этой симметрии точка $A$ переходит в $C$, $C$ в $A$, а $B$ в $B$.
Следовательно, отрезок $AB$ симметрично отображается на отрезок $CB$. Так как осевая симметрия сохраняет расстояния, она также отображает середину отрезка в середину симметричного ему отрезка. Значит, середина отрезка $AB$, точка $M_2$, отображается на середину отрезка $CB$, точку $M_1$.
Теперь рассмотрим медиану $AM_1$. При симметрии точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $M_1$ переходит в точку $M_2$. Следовательно, отрезок (медиана) $AM_1$ отображается на отрезок (медиану) $CM_2$.
Так как осевая симметрия сохраняет расстояния (длины отрезков), то длина отрезка $AM_1$ равна длине отрезка $CM_2$.
$AM_1 = CM_2$.
Ответ: Медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника $ABC$, равны, что и требовалось доказать.

Условие 2010-2022.

655 Начерти отрезок $AC$ и построй его серединный перпендикуляр $l$. Отметь на прямой $l$ точку $B$ и проведи отрезки $AB$ и $BC$. Пользуясь свойствами симметрии, докажи, что:

а) треугольник $\triangle ABC$ – равнобедренный;

б) углы при основании треугольника $\triangle ABC$ равны;

в) медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника $\triangle ABC$, равны.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).