Номер 657, страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 657, страница 154.

Условие 2023.

657. Перенеси рис. 124 в тетрадь и построй на прямой $l$ точку $C$ так, чтобы длина ломаной $ACB$ была наименьшей.

Рис. 124

Рис. 125

Решение 2 (2023).

Для нахождения на прямой $l$ точки $C$ такой, чтобы длина ломаной $ACB$ была наименьшей, необходимо использовать метод осевой симметрии. Идея состоит в том, чтобы "выпрямить" ломаную $ACB$ в одну прямую линию, длина которой будет минимально возможной.

Порядок построения

1. Выберем одну из точек, например $B$, и построим для нее симметричную точку $B'$ относительно прямой $l$. Для этого:

   • Проведем через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.

   • Измерим расстояние от точки $B$ до прямой $l$ вдоль этого перпендикуляра.

   • Отложим такое же расстояние на перпендикуляре по другую сторону от прямой $l$. Полученная точка будет являться точкой $B'$.

2. Соединим отрезком точку $A$ и построенную симметричную точку $B'$.

3. Точка пересечения отрезка $AB'$ с прямой $l$ и будет искомой точкой $C$.

Обоснование

Длина ломаной линии равна сумме длин ее сегментов: $L = AC + CB$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $C$, лежащей на прямой $l$, расстояние до симметричных точек $B$ и $B'$ одинаково, то есть $CB = CB'$.

Тогда длину ломаной можно записать как $L = AC + CB'$.

Сумма длин отрезков $AC$ и $CB'$ будет наименьшей, когда точки $A$, $C$ и $B'$ лежат на одной прямой (согласно аксиоме, кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая).

Наше построение как раз и обеспечивает, что точка $C$ лежит на отрезке $AB'$, что и делает сумму $AC + CB'$ (а значит, и $AC + CB$) минимальной.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения прямой $l$ с отрезком $AB'$, где $B'$ — точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $l$.

Условие 2010-2022.

657 Перенеси рис. 124 в тетрадь и построй на прямой $l$ точку $C$ так, чтобы длина ломаной $ACB$ была наименьшей.

Рис. 124

Рис. 125

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).