Номер 658, страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 658, страница 154.

Условие 2023.

Рис. 124

Рис. 125

658 Пожарная машина должна как можно быстрее добраться до горящего дома, заехав на реку за водой (рис. 125). Воспроизведи рисунок и построй кратчайший путь пожарной машины.

Решение 2 (2023).

Решение

Пусть M — начальное положение пожарной машины, D — положение горящего дома, а прямая, изображающая реку, — это прямая l. Задача состоит в том, чтобы найти на прямой l такую точку P, чтобы сумма расстояний $MP + PD$ была наименьшей, так как кратчайшее время соответствует кратчайшему пути.

Эта задача является классической задачей на нахождение минимума и решается с помощью геометрического построения, основанного на осевой симметрии.

Построение кратчайшего пути:

1. Воспроизводим рисунок на клетчатой бумаге или в тетради. Обозначаем точку, где находится пожарная машина, как M, а точку, где находится горящий дом, — как D. Прямая, изображающая реку, будет осью.

2. Строим точку D', симметричную точке D относительно прямой l (реки). Для этого из точки D опускаем перпендикуляр на прямую l и на его продолжении за прямую откладываем отрезок, равный длине этого перпендикуляра. Если точка D находится на расстоянии h от реки, то точка D' будет находиться на том же расстоянии h от реки, но с противоположной стороны, на той же перпендикулярной линии.

3. Соединяем прямой линией начальную точку M (пожарная машина) с построенной симметричной точкой D'.

4. Точка пересечения отрезка MD' с прямой l (рекой) и есть искомая точка P, в которой машине следует заехать за водой.

5. Кратчайший путь пожарной машины будет состоять из двух отрезков: MP и PD. Этот путь представляет собой ломаную линию MPD.

Обоснование:

По свойству осевой симметрии, для любой точки P, лежащей на оси симметрии l, расстояние до точки D равно расстоянию до ее симметричного образа D'. То есть, $PD = PD'$.

Следовательно, длина всего пути $L = MP + PD$ может быть представлена как $L = MP + PD'$.

Сумма длин двух отрезков $MP + PD'$ будет наименьшей, когда точки M, P и D' лежат на одной прямой. Это следует из неравенства треугольника: для любой другой точки P₁ на прямой l, точки M, P₁ и D' образуют треугольник, и сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны: $MP_1 + P_1D' > MD'$.

Таким образом, построенный путь, где точка P лежит на отрезке MD', является кратчайшим.

Ответ: Кратчайший путь пожарной машины — это ломаная линия MPD, где P — это точка пересечения прямой, изображающей реку, с отрезком, соединяющим точку M (начальное положение машины) и точку D' (точку, симметричную горящему дому D относительно прямой реки).

Условие 2010-2022.

658 Пожарная машина должна как можно быстрее добраться до горящего дома, заехав на реку за водой (рис. 125). Воспроизведи рисунок и построй кратчайший путь пожарной машины.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).