Номер 661, страница 155, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 661, страница 155.

Условие 2023.

661 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

а) $ \exists a \in Q: 2a < a; $

б) $ \forall b \in Q: b^2 \ge b; $

в) $ \forall m, n \in Q: m + n \ge m - n; $

г) $ \exists x, y \in Q: xy < x : y. $

Решение 2 (2023).

а) Высказывание $∃ a ∈ Q: 2a < a$ читается как "существует такое рациональное число $a$, что удвоенное значение $a$ меньше самого $a$".

Чтобы определить истинность, решим неравенство $2a < a$.

$2a - a < 0$

$a < 0$

Это неравенство верно для любого отрицательного рационального числа. Например, если взять $a = -5$, то $2 \cdot (-5) = -10$, и неравенство $-10 < -5$ является верным. Так как хотя бы одно такое число существует, данное высказывание истинно.

Ответ: истинно.

б) Высказывание $∀ b ∈ Q: b^2 ≥ b$ читается как "для любого рационального числа $b$ его квадрат больше или равен самому числу $b$".

Проверим истинность этого утверждения. Решим неравенство $b^2 ≥ b$:

$b^2 - b ≥ 0$

$b(b-1) ≥ 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство справедливо для $b \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Однако утверждение сделано для всех рациональных чисел, включая те, что лежат в интервале $(0, 1)$.

Выберем контрпример из этого интервала, например, $b = 1/2$.

Подставим в неравенство: $(1/2)^2 ≥ 1/2$, что равносильно $1/4 ≥ 1/2$. Это ложное утверждение.

Поскольку мы нашли хотя бы одно рациональное число, для которого высказывание не выполняется, оно является ложным.

Построим отрицание ложного высказывания. Отрицанием для $∀b P(b)$ является $∃b ¬P(b)$. Отрицанием неравенства $b^2 ≥ b$ является $b^2 < b$.

Отрицание: $∃ b ∈ Q: b^2 < b$.

Ответ: ложно; отрицание: $∃ b ∈ Q: b^2 < b$.

в) Высказывание $∀ m, n ∈ Q: m + n ≥ m - n$ читается как "для любых рациональных чисел $m$ и $n$ их сумма больше или равна их разности".

Упростим неравенство $m + n ≥ m - n$:

$n ≥ -n$

$2n ≥ 0$

$n ≥ 0$

Исходное неравенство эквивалентно условию $n ≥ 0$. Однако в высказывании утверждается, что оно верно для любого рационального числа $n$, включая отрицательные.

Приведем контрпример. Пусть $m = 5$ и $n = -3$.

Подставим в исходное неравенство: $5 + (-3) ≥ 5 - (-3)$, что равносильно $2 ≥ 8$. Это ложное утверждение.

Следовательно, исходное высказывание ложно.

Построим отрицание. Отрицанием для $∀m, n P(m, n)$ является $∃m, n ¬P(m, n)$. Отрицанием неравенства $m+n ≥ m-n$ является $m+n < m-n$.

Отрицание: $∃ m, n ∈ Q: m + n < m - n$.

Ответ: ложно; отрицание: $∃ m, n ∈ Q: m + n < m - n$.

г) Высказывание $∃ x, y ∈ Q: xy < x : y$ читается как "существуют такие рациональные числа $x$ и $y$ (причем $y \ne 0$), что их произведение меньше их частного".

Чтобы проверить истинность, нам достаточно найти хотя бы одну пару чисел $(x, y)$, для которых неравенство $xy < x/y$ выполняется.

Попробуем найти такое решение. Пусть $x=1$ и $y=1/2$. Оба числа рациональные.

Произведение: $xy = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Частное: $x : y = 1 : \frac{1}{2} = 2$.

Проверяем неравенство: $1/2 < 2$. Это верное неравенство.

Так как мы нашли пару чисел, для которой условие выполняется, высказывание истинно.

Ответ: истинно.

Условие 2010-2022.

661 Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. Построй отрицания ложных высказываний:

а) $\exists a \in Q: 2a < a;$

б) $\forall b \in Q: b^2 \ge b;$

в) $\forall m, n \in Q: m + n \ge m - n;$

г) $\exists x, y \in Q: xy < x: y.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).