Номер 656, страница 154, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 656, страница 154.

Условие 2023.

656 Начерти отрезок $AB$ и отметь точку $O \notin AB$. Построй отрезок $A_1 B_1$, симметричный отрезок $AB$ относительно точки $O$. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков $AB$ и $A_1 B_1$?

Решение 2 (2023).

Задача состоит из двух частей: сначала нужно выполнить построение, а затем на его основе ответить на вопрос о равенстве фигур.

Построение отрезка $A_1B_1$, симметричного отрезку $AB$ относительно точки $O$

Чтобы построить отрезок, симметричный данному относительно точки, необходимо построить точки, симметричные концам данного отрезка, и соединить их.

1. Начертим произвольный отрезок $AB$ и точку $O$, не лежащую на прямой, содержащей этот отрезок.
2. Проведем прямую через точки $A$ и $O$. На продолжении луча $AO$ за точку $O$ отложим отрезок $OA_1$, длина которого равна длине отрезка $OA$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$. Точка $A_1$ — это образ точки $A$ при симметрии относительно $O$.
3. Проведем прямую через точки $B$ и $O$. Аналогично, на продолжении луча $BO$ за точку $O$ отложим отрезок $OB_1$, равный по длине отрезку $OB$. Точка $O$ будет серединой отрезка $BB_1$. Точка $B_1$ — это образ точки $B$.
4. Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ и является искомым отрезком, симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков $AB$ и $A_1B_1$?

Центральная симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Из этого основного свойства, а также из самого построения, следует равенство (конгруэнтность) нескольких геометрических фигур.

1. Поскольку симметрия сохраняет расстояния, любая фигура равна своему образу. Следовательно, отрезок $AB$ равен отрезку $A_1B_1$. Это означает, что их длины равны:
$AB = A_1B_1$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$. Мы можем доказать их равенство, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• Сторона $AO$ равна стороне $A_1O$ (по построению, так как точки $A$ и $A_1$ симметричны относительно $O$).
• Сторона $BO$ равна стороне $B_1O$ (по построению, так как точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно $O$).
• Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle A_1OB_1$ (так как они являются вертикальными).

Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle A_1OB_1$:
$\triangle AOB \cong \triangle A_1OB_1$.

Ответ: Из симметрии отрезков $AB$ и $A_1B_1$ относительно точки $O$ следует равенство (конгруэнтность) следующих геометрических фигур: 1) отрезка $AB$ и отрезка $A_1B_1$ (т.е. $AB = A_1B_1$); 2) треугольника $AOB$ и треугольника $A_1OB_1$ (т.е. $\triangle AOB \cong \triangle A_1OB_1$).

Условие 2010-2022.

656 Начерти отрезок $AB$ и отметить точку $O \notin AB$. Построй отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезок $AB$ относительно точки $O$. Равенство каких геометрических фигур следует из симметрии отрезков $AB$ и $A_1B_1$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).