Номер 649, страница 153, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 649, страница 153.

Условие 2023.

649. Начерти в тетради параллелограмм $ABCD$. Построй фигуру, которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма:

а) на вектор $\vec{BC}$;

б) на вектор $\vec{DB}$;

в) на вектор $\vec{AO}$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

Решение 2 (2023).

Сначала начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Чтобы осуществить параллельный перенос всего параллелограмма на заданный вектор, нужно перенести каждую его вершину ($A, B, C, D$) на этот вектор. В результате мы получим новые вершины ($A', B', C', D'$), которые образуют новый параллелограмм, равный исходному.

а) на вектор $\vec{BC}$
При параллельном переносе параллелограмма $ABCD$ на вектор $\vec{BC}$ каждая вершина смещается на этот вектор. Пусть $A'B'C'D'$ — полученный параллелограмм.
1. Вершина $A$ переходит в точку $A'$, такую что $\vec{AA'} = \vec{BC}$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть $\vec{AD} = \vec{BC}$. Отсюда следует, что $\vec{AA'} = \vec{AD}$, а это означает, что точка $A'$ совпадает с точкой $D$.
2. Вершина $B$ переходит в точку $B'$, такую что $\vec{BB'} = \vec{BC}$. Это означает, что точка $B'$ совпадает с точкой $C$.
3. Вершина $C$ переходит в точку $C'$, такую что $\vec{CC'} = \vec{BC}$. Для построения точки $C'$ нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$. Точки $B, C, C'$ будут лежать на одной прямой, причем $BC = CC'$.
4. Вершина $D$ переходит в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{BC}$. Для построения точки $D'$ нужно отложить от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$. Четырехугольник $BCD'D$ будет параллелограммом.
В результате параллельного переноса мы получаем параллелограмм $A'B'C'D'$, который является параллелограммом $DCC'D'$.
Ответ: Параллелограмм $DCC'D'$, где точка $D$ — это образ точки $A$, точка $C$ — образ точки $B$, а точки $C'$ и $D'$ определяются условиями $\vec{CC'} = \vec{BC}$ и $\vec{DD'} = \vec{BC}$.

б) на вектор $\vec{DB}$
При параллельном переносе параллелограмма $ABCD$ на вектор $\vec{DB}$ каждая вершина смещается на этот вектор. Пусть $A'B'C'D'$ — полученный параллелограмм.
1. Вершина $A$ переходит в точку $A'$, такую что $\vec{AA'} = \vec{DB}$. Для построения $A'$ нужно построить вектор, начинающийся в точке $A$, равный вектору $\vec{DB}$. Четырехугольник $DBA'A$ будет параллелограммом.
2. Вершина $B$ переходит в точку $B'$, такую что $\vec{BB'} = \vec{DB}$. Для построения $B'$ нужно отложить от точки $B$ вектор, равный $\vec{DB}$. Точки $D, B, B'$ будут лежать на одной прямой, причем $DB = BB'$.
3. Вершина $C$ переходит в точку $C'$, такую что $\vec{CC'} = \vec{DB}$. Для построения $C'$ нужно построить вектор, начинающийся в точке $C$, равный вектору $\vec{DB}$. Четырехугольник $DBC'C$ будет параллелограммом.
4. Вершина $D$ переходит в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{DB}$. Это означает, что точка $D'$ совпадает с точкой $B$.
В результате мы получаем параллелограмм $A'B'C'D'$, который является параллелограммом $A'B'C'B$.
Ответ: Параллелограмм $A'B'C'B$, где $B$ — это образ точки $D$, а точки $A', B', C'$ определяются условиями $\vec{AA'} = \vec{DB}$, $\vec{BB'} = \vec{DB}$ и $\vec{CC'} = \vec{DB}$.

в) на вектор $\vec{AO}$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$
По свойству параллелограмма, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, $\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
При параллельном переносе параллелограмма $ABCD$ на вектор $\vec{AO}$ каждая вершина смещается на этот вектор. Пусть $A'B'C'D'$ — полученный параллелограмм.
1. Вершина $A$ переходит в точку $A'$, такую что $\vec{AA'} = \vec{AO}$. Это означает, что точка $A'$ совпадает с точкой $O$.
2. Вершина $B$ переходит в точку $B'$, такую что $\vec{BB'} = \vec{AO}$. Для построения $B'$ нужно отложить от точки $B$ вектор, равный $\vec{AO}$. Четырехугольник $AOB'B$ будет параллелограммом.
3. Вершина $C$ переходит в точку $C'$, такую что $\vec{CC'} = \vec{AO}$. Так как $\vec{AO} = \vec{OC}$, то $\vec{CC'} = \vec{OC}$. Это означает, что точки $O, C, C'$ лежат на одной прямой, причем $OC = CC'$.
4. Вершина $D$ переходит в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{AO}$. Для построения $D'$ нужно отложить от точки $D$ вектор, равный $\vec{AO}$. Четырехугольник $AOD'D$ будет параллелограммом.
В результате мы получаем параллелограмм $A'B'C'D'$, который является параллелограммом $OB'C'D'$.
Ответ: Параллелограмм $OB'C'D'$, где $O$ — это образ точки $A$, а точки $B', C', D'$ определяются условиями $\vec{BB'} = \vec{AO}$, $\vec{CC'} = \vec{AO}$ и $\vec{DD'} = \vec{AO}$.

Условие 2010-2022.

649 Начерти в тетради параллелограмм $ABCD$. Построй фигуру, которая получится в результате параллельного переноса этого параллелограмма:
а) на вектор $\vec{BC}$;
б) на вектор $\vec{DB}$;
в) на вектор $\vec{AO}$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).